連続方程式

連続方程式または輸送方程式は、ある量の輸送を記述する方程式です。これは保存量に適用すると特に単純かつ強力ですが、一般化して任意の広がりのある量に適用できます。質量、エネルギー、運動量、電荷などの自然量は、それぞれの適切な条件下で保存されるため、様々な物理現象を連続方程式を用いて記述することができます。

連続の方程式は、保存則のより強力で局所的な形です。たとえば、エネルギー保存の法則の弱いバージョンでは、エネルギーは生成も破壊もされない、つまり宇宙のエネルギーの総量は一定であると述べられています。この記述は、ある量のエネルギーが一点から消えると同時に別の点に現れる可能性を排除しません。より強力な記述は、エネルギーは局所的に保存される、というものです。エネルギーは生成も破壊もされず、ある場所から別の場所へ「テレポート」することもできません。エネルギーは連続的な流れによってのみ移動できます。連続の方程式は、この種の記述を表現する数学的な方法です。たとえば、電荷の連続の方程式は、任意の空間体積内の電荷量は、その境界を通ってその体積に出入りする電流の量によってのみ変化しうると述べています。

より一般的には、連続方程式には「ソース項」と「シンク項」が含まれることがあります。これらの項は、化学反応によって生成または破壊される分子種の密度など、保存されることが多いが必ずしも保存されるとは限らない量を記述することができます。身近な例として、生存人数に関する連続方程式があります。この方程式には、生まれる人を表す「ソース項」と、死ぬ人を表す「シンク項」があります。

任意の連続方程式は、任意の有限領域に適用される「積分形式」（フラックス積分の観点から）で表現することも、点に適用される「微分形式」（発散演算子の観点から）で表現することもできます。

連続方程式は、対流拡散方程式、ボルツマン輸送方程式、ナビエ・ストークス方程式などのより特殊な輸送方程式の基礎となります。

連続方程式によって支配される流れは、サンキー図を使用して視覚化できます。

一般的な方程式

フラックスの定義

連続の式は、フラックスを定義できる場合に有用です。フラックスを定義するには、まず質量、エネルギー、電荷、運動量、分子数など、流れたり移動したりできる量 $qが必要です。ρ$ $を$ この量の体積密度、つまり単位体積あたりの $q$ の量とします。

$この量q$ の流れ方は、そのフラックスによって記述されます。 $q$ のフラックスはベクトル場であり、これをjと表記します。以下にフラックスの例と特性をいくつか示します。

フラックスの次元は「単位時間あたり、単位面積を流れる量 $q$ 」です。例えば、流水の質量連続の式において、断面積1 cm ²のパイプを毎秒1グラムの水が流れる場合、パイプ内の平均質量フラックス $j$ は(1 g/s) / cm ²となり、その方向は水の流れの方向と平行になります。パイプの外側、つまり水が流れていない場所では、フラックスはゼロになります。
関連する流れを記述する速度場 $u$ がある場合、言い換えれば、点 $xにおけるすべての量$ $q$ が速度 $u$ $($ $x$ $)$ で移動している場合、フラックスは定義により密度と速度場の積に等しくなります。

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

たとえば、流水の質量連続方程式で、

u が

各点における水の速度、

ρ が

各点における水の密度である場合、

j は

質量流束、つまり物質排出量になります。

よく知られている例では、電荷の流れは電流密度です。

$仮想面S$ がある場合、 $S$ 上の磁束の表面積分は、単位時間あたりに面 $S$ を通過する $q$ の量に等しくなります。

$({\text{Rate that }}q{\text{ is flowing through the imaginary surface }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

ここでは面積分です。

{\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }

（ここで「フラックス」と呼ばれている概念は、一部の文献ではフラックス密度とも呼ばれており、その文脈では「フラックス」はフラックス密度の面積分を表します。詳細については、フラックスに関するメイン記事を参照してください。）

積分形式

連続方程式の積分形式は次のようになります。

領域内の $q$ の量は、追加の $q が$ 領域の表面を通って内側に流れると増加し、外側に流れると減少します。
領域内の $q$ の量は、その領域内に新しい $q$ が生成されると増加し、 $q$ が破壊されると減少します。
これら 2 つのプロセス以外に、領域内の $q$ の量を変更する方法はありません。

数学的には、体積 $V内の$ $q$ の増加率を表す連続方程式の積分形式は次のようになります。

${\frac {\partial q}{\partial t}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

連続方程式の積分形において、 $S は$ 、左側の面のいずれかのように、体積 $V$ を完全に囲む任意の閉面です。S $は$ 、右側の面のように境界を持つ面になることはでき*ません*。（面は青、境界は赤で示されています。）

どこ

$S$ は体積 $V$ を囲む任意の仮想閉曲面であり、
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ は、その閉曲面上の面積分を表す。
$qは体積$ $V$ 内の量の総量であり、
$jは$ $q$ のフラックス、
$それ$ は時間です、
$Σ$ は、体積 $V内で単位時間あたりに生成される$ $q$ の正味速度です。qが生成されているとき $（$ つまり、のとき）、その領域は $q$ のソースと呼ばれ、 $Σはより正の値になります。q$ $が$ 破壊されているとき（つまり、のとき）、その領域は $q$ のシンクと呼ばれ、 $Σ$ はより負の値になります。Σは、 $と$ 表記されることもあります。また、制御体積内での $q$ の生成または破壊による変化の総量を表すこともあります。 ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}>0$ ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}<0$ $dq/dt|_{\text{gen}}$

簡単な例として、 $V を$ 建物、 $q を$ 建物内に住んでいる人の数とします。表面 $S は$ 、建物の壁、ドア、屋根、基礎で構成されます。連続の式によれば、建物内の生存者の数は、(1) 生存者が建物に入ると増加します（つまり、表面を通る内向きのフラックスがある場合）、(2) 生存者が建物から出ると減少します（つまり、表面を通る外向きのフラックスがある場合）、(3) 建物内の誰かが新しい生命を産むと増加します（つまり、体積内の時間変化率が正の場合）、(4) 建物内の誰かが亡くなった場合減少します（つまり、体積内の時間変化率が負の場合）。結論として、この例では、正味率 $Σ$ が変化する4つの異なる方法があります。

微分形式

発散定理により、一般的な連続方程式は「微分形式」でも表すことができます。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

どこ

$\nabla\cdotは$ 発散であり、
$ρ$ は量 $q$ の密度（つまり単位体積あたりの量 $q ）である。$
$jは$ $q$ のフラックス（つまりj = ρ v、ここでvは量 $q$ の動きを表すベクトル場）である。
$それ$ は時間です、
$σ$ は単位時間当たり単位体積あたりの $q$ の生成量です $。qを$ 生成する項（すなわち $σ > 0$ ）と $q$ を除去する項（すなわち $σ < 0 ）は、それぞれ$ ソースとシンクと呼ばれます。

この一般的な方程式は、体積連続方程式のような単純なものからナビエ・ストークス方程式のような複雑なものまで、あらゆる連続方程式を導くために用いることができます。また、この方程式は移流方程式を一般化します。ガウスの電場の法則やガウスの重力の法則など、物理学における他の方程式も連続方程式と同様の数学的形式を持ちますが、これらの場合の $j は$ 実際の物理量の流れを表していないため、通常は「連続方程式」とは呼ばれません。

$q$ が生成も破壊もできない保存量（エネルギーなど）である場合、 $σ = 0$ となり、方程式は次のようになります。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

電磁気

電磁気学において、連続の方程式は（局所的な）電荷保存を表す経験則である。数学的にはマクスウェル方程式から自動的に導かれる帰結であるが、電荷保存則はマクスウェル方程式よりもより基本的なものである。連続の方程式は、電流密度 $J$ （アンペア/平方メートル）の発散が、電荷密度 $ρ$ （クーロン/立方メートル）の負の変化率に等しいことを述べている。 $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

マクスウェル方程式との整合性

マクスウェル方程式の一つであるアンペールの法則（マクスウェル補正付き）は、 $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

両辺の発散（時間可換における発散と偏微分）をとると、次の式が得られる。しかし回転の発散はゼロなので、 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$

しかし、ガウスの法則（別のマクスウェル方程式）は、前の式に代入して連続方程式を得ることができると述べています。 $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$ $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

電流は電荷の移動です。連続の式によれば、電荷が微分体積から外へ移動する（つまり、電流密度の発散が正）場合、その体積内の電荷量は減少するため、電荷密度の変化率は負になります。したがって、連続の式は電荷の保存則に相当します。

磁気単極子が存在する場合、単極子電流にも連続方程式が存在するはずです。背景と電流と磁気電流の二重性については、単極子の記事を参照してください。

流体力学

流体力学では、連続方程式は、質量がシステムに入る速度は、質量がシステムから出る速度とシステム内の質量の蓄積の合計に等しいと述べている。^[1]^[2]連続方程式の微分形は次の通りである。^[1]ここで ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

$ρ$ は流体の密度であり、
$それ$ は時間です、
$u$ は流速ベクトル場です。

時間微分は系における質量の蓄積（または損失）として理解でき、発散項は流入量と流出量の差を表します。この文脈において、この方程式はオイラー方程式（流体力学）の一つでもあります。ナビエ・ストークス方程式は、線形運動量保存則を記述するベクトル連続方程式を形成します。

流体が非圧縮性（体積ひずみ速度がゼロ）の場合、質量連続方程式は体積連続方程式に簡略化されます。^{[3]これは、速度場の}発散があらゆる場所でゼロであることを意味します。物理的には、これは局所的な体積膨張率がゼロであることを意味します。したがって、収束管を通る水の流れは、水がほぼ非圧縮性であるため、速度の増加のみによって調整されます。 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$

コンピュータービジョン

コンピュータビジョンにおいて、オプティカルフローとは、視覚シーンにおける物体の見かけの動きのパターンを指します。2つの画像フレーム間で移動物体の明るさが変化しなかったという仮定のもと、オプティカルフロー方程式は次のように導かれます。^[要出典]ここで ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$

$それ$ は時間です、
画像内の $x$ $、$ $y座標、$
$I$ $は画像座標（ x 、 y ）$ と時刻 $t$ における画像強度である。
$V$ は画像座標 $（$ $x$ $、$ $y$ $）$ と時刻 $t$ における光学フロー速度ベクトルである。 $(V_{x},V_{y})$

エネルギーと熱

エネルギー保存則によれば、エネルギーは生成も破壊もされない。（一般相対性理論に関するニュアンスについては下記を参照。）したがって、エネルギーの流れには連続の式が存在する。ここで ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$

$u$ 、局所エネルギー密度（単位体積あたりのエネルギー）、
$q$ 、エネルギーフラックス（単位断面積当たりの単位時間当たりのエネルギー伝達）をベクトルとして、

重要な実例として熱の流れが挙げられます。固体内部で熱が流れる場合、連続の式とフーリエの法則（熱流束は温度勾配に比例する）を組み合わせることで、熱方程式が得られます。熱流方程式には、熱源項が含まれる場合もあります。エネルギーは生成も破壊もできませんが、摩擦やジュール熱など、他の種類のエネルギーから熱を生成することは可能です。

確率分布

ブラウン運動する単一の溶解分子の位置のように、確率的（ランダム）な過程に従って連続的に移動する量がある場合、その確率分布の連続方程式が存在します。この場合のフラックスは、粒子が表面を通過する単位面積単位時間あたりの確率です。連続方程式によれば、このフラックスの負の発散は、確率密度の変化率に等しくなります。連続方程式は、分子が常にどこかに存在する（その確率分布の積分は常に1に等しい）こと、および分子が連続的な運動（テレポートなし）によって移動するという事実を反映しています。

量子力学

量子力学は、確率保存則に関連する連続方程式が存在するもう一つの分野です。この方程式中の用語は以下のように定義する必要がありますが、上記の他の例と比べてややわかりにくいため、ここで概説します。

位置空間（運動量空間ではなく）における単一粒子の波動関数 Ψ $、$ つまり位置 $r$ と時間 $t$ の関数、 $Ψ = Ψ($ $r$ $,$ $t$ $)$ 。
確率密度関数は $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
$t$ において $V$ 内で粒子が見つかる確率は次のように表され定義される。 $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
確率流（確率フラックス）は $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

これらの定義を用いると、連続方程式は次のようになります。 $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

どちらの形式でも引用できます。直感的に、上記の量はこれが確率の流れを表していることを示しています。粒子が位置 $r$ と時刻 $tに存在する$ 確率は流体のように流れます。そのため、確率流、つまりベクトル場と呼ばれます。粒子自体はこのベクトル場内を決定論的に流れるわけではありません。

シュレーディンガー方程式との整合性

時間依存シュレーディンガー方程式とその複素共役（全体を通して $i \to - i$ ）はそれぞれ次の通りである：^[4]ここで $U$ はポテンシャル関数である。ρの $t$ に関する偏微分は $次$ の通りである： ${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$ ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

シュレーディンガー方程式に $Ψ*を掛けて$ $Ψ*$ を解く $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}∂Ψ/∂ t⁠$ 、同様に複素共役シュレーディンガー方程式に $Ψを掛けて$ $Ψ$ $⁠$ を解くと $\partialΨ* / \partial t ⁠$ ; ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

$ρ$ の時間微分に代入すると： ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

上記の結果のラプラシアン演算子( $\nabla$ $2$ ) は、右辺が $jの発散であることを示唆しており、項の順序が逆になっていることから、全体として$ $j$ の負であることが示唆されます。したがって、連続方程式は次のようになります。 ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

積分形式は一般方程式と同様です。

半導体

半導体内の全電流の流れは、伝導帯の電子と価電子帯の正孔の両方のドリフト電流と拡散電流で構成されます。

1次元電子の一般的な形式:ここで: ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

nは電子の局所濃度である
$\mu _{n}$ 電子移動度は
Eは空乏領域を横切る電界である
D _nは電子の拡散係数である
G _nは電子の生成速度である
R _nは電子の再結合速度である

同様に、穴の場合: ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$

pは正孔の局所濃度である
$\mu _{p}$ 正孔移動度は
Eは空乏領域を横切る電界である
D _pは正孔の拡散係数である
G _pは正孔の生成速度である
R _pは正孔の再結合速度である

導出

このセクションでは、電子に関する上記の式の導出を示します。正孔に関する式についても同様の導出が見られます。

断面積がA、x軸方向の長さがdxの半導体材料の体積全体にわたって電子数が保存されるという事実を考えてみましょう。より正確には、次のように言えます。 ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

数学的には、この等式は次のように表すことができます。ここでJは、半導体の対象となる体積内の電子の流れによって生じる電流密度（慣例的に電子の流れと逆方向）を表します。これは電子電流密度とも呼ばれます。 ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$

総電子電流密度はドリフト電流密度と拡散電流密度の合計です。 $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

したがって、我々は ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

積の法則を適用すると、最終的な式は次のようになります。 ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

解決

実際のデバイスでこれらの方程式を解くための鍵は、可能な限り、メカニズムの大部分が無視できる領域を選択して、方程式をはるかに単純な形にすることです。

相対論的バージョン

特殊相対性理論

特殊相対論の表記法とツール、特に4 次元ベクトルと4 次元勾配は、任意の連続方程式を書くための便利な方法を提供します。

$量ρ$ の密度とその電流 $j は$ 、 4次元電流と呼ばれる4次元ベクトルに統合できます。ここで $c$ は光速です。この電流の 4次元発散は次式で表されます。ここで $\partial$ $μ$ は4次元勾配、 $μ$ は時空次元を表すインデックスです。すると、エネルギーや電荷のように完全に保存される量、つまりソースやシンクが存在しない通常のケースでは、連続方程式は次のようになります。この連続方程式は、明らかに（「明らかに」）ローレンツ不変です。 $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

この形式でよく書かれる連続方程式の例には、電荷保存則（ $J$ は電流）やエネルギー運動量保存則（ T $は$ 応力エネルギーテンソル）などがあります。 $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$

一般相対性理論

一般相対性理論では、時空が曲がっているため、エネルギー、電荷、その他の保存量の連続方程式（微分形式）には、通常の発散ではなく共変発散が含まれます。

例えば、応力エネルギーテンソルは、質量エネルギー分布のエネルギー運動量密度、エネルギー運動量フラックス、およびせん断応力を含む2階のテンソル場です。一般相対論におけるエネルギー運動量保存則の微分形は、応力エネルギーテンソルの共変発散がゼロであることを述べています。 ${T^{\mu }}_{\nu ;\mu }=0.$

これは一般相対論におけるアインシュタイン場の方程式の形に対する重要な制約である。^[5]

しかし、応力エネルギーテンソルの通常の 発散は必ずしもゼロになるわけではない：^[6] $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

右側の辺は、平坦なジオメトリの場合のみ厳密に消えます。

その結果、連続方程式の積分形式は定義が難しく、時空が大きく曲がっている領域（例えばブラックホールの周りや宇宙全体）では必ずしも有効ではない。^[7]

素粒子物理学

クォークとグルーオンはカラー電荷を持ち、これは電荷と同様に常に保存され、そのようなカラー電荷電流に対する連続方程式が存在します（電流の明示的な表現はグルーオン場強度テンソルで与えられます）。

素粒子物理学には、しばしばあるいは常に保存される多くの量があります。重粒子数（クォークの数から反クォークの数を引いた値）、電子数、ミュー数、タウ数、アイソスピンなどです。^[8]これらのそれぞれには対応する連続方程式があり、ソース/シンク項を含む場合もあります。

ネーターの定理

物理学において保存方程式が頻繁に現れる理由の一つは、ノイマンの定理です。これは、物理法則が連続対称性を持つ場合、何らかの保存される物理量について連続方程式が存在するというものです。最も有名な例を3つ挙げると、

物理法則は時間移動に対して不変です。例えば、今日の物理法則は昨日と同じです。この対称性は、エネルギー保存則の連続方程式につながります。
物理法則は空間移動に対して不変です。たとえば、宇宙空間のロケットは、任意の方向 (たとえば、x、y、z) に移動しても異なる力やポテンシャルの影響を受けないため、運動量の 3 つの要素が保存されます。
物理法則は向きによって不変です。例えば、宇宙空間に浮かんでいる場合、「どちらが上か」を判断する測定法はありません。物理法則は、どのような向きであっても同じです。この対称性から、角運動量保存則の連続の式が導かれます。

参照

参考文献

^ ab ペドロスキー, ジョセフ (1987). 地球流体力学.シュプリンガー. pp. 10–13. ISBN 978-0-387-96387-7。
^ Clancy, LJ(1975)「空気力学」第3.3節、Pitman Publishing Limited、ロンドン
^ フィールディング、スザンヌ. 「流体力学の基礎」(PDF) .ダラム大学. 2019年12月22日閲覧。
^ この導出については、例えばMcMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBNを参照のこと。 0-07-145546-9。
^ D. マクマホン (2006). 『相対性理論の謎を解き明かす』マグロウヒル (アメリカ). ISBN 0-07-145545-0。
^ CWミスナー、KSソーン、JAウィーラー（1973年）。『重力』 WHフリーマン社ISBN 0-7167-0344-0。
^ Michael Weiss、John Baez. 「一般相対性理論においてエネルギーは保存されるか？」2014年4月25日閲覧。
^ CWミスナー、KSソーン、JAウィーラー（1973年）『重力』WHフリーマン社、 pp.558-559、ISBN 0-7167-0344-0。

さらに読む

ラム, H. (2006) [1932].流体力学（第6版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-45868-9。
グリフィス, DJ (1999).電気力学入門（第3版）. ピアソン・エデュケーション社. ISBN 81-7758-293-3。
Grant, I.S.; Phillips, WR (2008).電磁気学. マンチェスター物理学シリーズ（第2版）. ISBN 978-0-471-92712-9。
Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). 『重力』 WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。

[Pedlosky-1] ペドロスキー, ジョセフ (1987). 地球流体力学.シュプリンガー. pp. 10–13. ISBN 978-0-387-96387-7。

[2] Clancy, LJ(1975)「空気力学」第3.3節、Pitman Publishing Limited、ロンドン

[Fielding-3] フィールディング、スザンヌ. 「流体力学の基礎」(PDF) .ダラム大学. 2019年12月22日閲覧。

[4] この導出については、例えばMcMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBNを参照のこと。 0-07-145546-9。

[5] D. マクマホン (2006). 『相対性理論の謎を解き明かす』マグロウヒル (アメリカ). ISBN 0-07-145545-0。

[6] CWミスナー、KSソーン、JAウィーラー（1973年）。『重力』 WHフリーマン社ISBN 0-7167-0344-0。

[7] Michael Weiss、John Baez. 「一般相対性理論においてエネルギーは保存されるか？」2014年4月25日閲覧。

[8] CWミスナー、KSソーン、JAウィーラー（1973年）『重力』WHフリーマン社、 pp.558-559、ISBN 0-7167-0344-0。