逆非含意

Logical connective

ベン図（赤い部分が真） ${\displaystyle P\nleftarrow Q}$

論理学において、逆非含意^[1]は、逆含意の否定（含意の逆の否定と同義）となる論理接続詞である。

意味

逆非含意は、 またはと表記され、および と論理的に等価です。 ${\displaystyle P\nleftarrow Q}$ ${\displaystyle P\not \subset Q}$ ${\displaystyle \neg (P\leftarrow Q)}$ ${\displaystyle \neg P\wedge Q}$

真理値表

の真理値表。^[2] ${\displaystyle A\nleftarrow B}$

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\nleftarrow B}$
F	F	F
F	T	T
T	F	F
T	T	F

表記

逆の非含意は と表記されます。これは逆の含意( )の左矢印を線 ( / ) で否定したものです。 ${\textstyle p\nleftarrow q}$ ${\textstyle \leftarrow }$

代替案としては

• ${\textstyle p\not \subset q}$は、逆の含意の を 、ストローク ( / ) で否定したものを組み合わせたものです。 ${\displaystyle \subset }$
• ${\textstyle p{\tilde {\leftarrow }}q}$これは、逆含意の左矢印 ( ) と否定のチルダ ( ) を組み合わせたものです。 ${\textstyle \leftarrow }$ ${\textstyle \sim }$
• M pq（ボチェンスキー記法）

プロパティ

偽保持：すべての変数に「偽」の真理値が割り当てられる解釈は、逆非含意の結果として「偽」の真理値を生成する。

自然言語

文法的

例、

雨が降れば（P）、私は濡れます（Q）、濡れているからといって（Q）雨が降っているわけではありません。実際、私は男女混合のスタッフと一緒に服を着たままプールパーティーに行きました（~P）、それが私がこの状態でこの講義を行っている理由です（Q）。

修辞的な

Q は P を意味するものではありません。

口語

PではなくQです。

ブール代数

一般ブール代数における逆非含意はと定義されます。 ${\textstyle q\nleftarrow p=q'p}$

2 要素ブール代数の例: 0 をゼロ、1 を単位元とする 2 つの要素 {0,1}、補数演算子、結合演算子、および会合演算子として演算子を使用して、命題論理のブール代数を構築します。 ${\textstyle \sim }$ ${\textstyle \vee }$ ${\textstyle \wedge }$

${\textstyle {}\sim x}$ 1 0 × 0 1	そして	y 1 1 1 0 0 1 ${\textstyle y_{\vee }x}$ 0 1 ×	そして	y 1 0 1 0 0 0 ${\textstyle y_{\wedge }x}$ 0 1 ×	つまり​ ${\displaystyle \scriptstyle {y\nleftarrow x}\!}$	y 1 0 0 0 0 1 ${\displaystyle \scriptstyle {y\nleftarrow x}\!}$ 0 1 ×
（否定）		（包含的または）		（そして）		（逆非含意）

4 要素ブール代数の例: 1 をゼロ、6 を単位元とする 6 の 4 つの約数 {1、2、3、6}、演算子(6 の約数) を補数演算子、(最小公倍数) を結合演算子、(最大公約数) を結合演算子として使用して、ブール代数を構築します。 ${\displaystyle \scriptstyle {^{c}}\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle {_{\vee }}\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle {_{\wedge }}\!}$

${\displaystyle \scriptstyle {x^{c}}\!}$ 6 3 2 1 × 1 2 3 6	そして	y 6 6 6 6 6 3 3 6 3 6 2 2 2 6 6 1 1 2 3 6 ${\displaystyle \scriptstyle {y_{\vee }x}\!}$ 1 2 3 6 ×	そして	y 6 1 2 3 6 3 1 1 3 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ${\displaystyle \scriptstyle {y_{\wedge }x}}$ 1 2 3 6 ×	つまり​ ${\displaystyle \scriptstyle {y\nleftarrow x}\!}$	y 6 1 1 1 1 3 1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 6 ${\displaystyle \scriptstyle {y\nleftarrow x}\!}$ 1 2 3 6 ×
（約数6）		（最小公倍数）		（最大公約数）		（xの最大の約数はyと互いに素）

プロパティ

非結合的

${\displaystyle r\nleftarrow (q\nleftarrow p)=(r\nleftarrow q)\nleftarrow p}$のときのみ、#s5 となる（2要素ブール代数では後者の条件は またはとなる）。したがって、非自明なブール代数では、逆非含意は非結合的である。 ${\displaystyle rp=0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle p=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(r\nleftarrow q)\nleftarrow p&=r'q\nleftarrow p&{\text{(by definition)}}\\&=(r'q)'p&{\text{(by definition)}}\\&=(r+q')p&{\text{(De Morgan's laws)}}\\&=(r+r'q')p&{\text{(Absorption law)}}\\&=rp+r'q'p\\&=rp+r'(q\nleftarrow p)&{\text{(by definition)}}\\&=rp+r\nleftarrow (q\nleftarrow p)&{\text{(by definition)}}\\\end{aligned}}}$$

明らかに、 の場合のみ結合的です。 ${\displaystyle rp=0}$

非可換

• ${\displaystyle q\nleftarrow p=p\nleftarrow q}$は#s6のときのみ成り立つ。したがって逆非含意は非可換である。 ${\displaystyle q=p}$

中性元素と吸収元素

• 0は左中立要素（）と右吸収要素（）です。 ${\displaystyle 0\nleftarrow p=p}$ ${\displaystyle {p\nleftarrow 0=0}}$
• ${\displaystyle 1\nleftarrow p=0}$、、 そして。 ${\displaystyle p\nleftarrow 1=p'}$ ${\displaystyle p\nleftarrow p=0}$
• 含意は、逆非含意#s7の双対です。 ${\displaystyle q\rightarrow p}$ ${\displaystyle q\nleftarrow p}$

逆非含意は非可換である
ステップ	活用する	その結果
1節	意味	${\displaystyle \scriptstyle {q{\tilde {\leftarrow }}p=q'p\,}\!}$
2条	意味	${\displaystyle \scriptstyle {p{\tilde {\leftarrow }}q=p'q\,}\!}$
3条	第1条 第2条	${\displaystyle \scriptstyle {q{\tilde {\leftarrow }}p=p{\tilde {\leftarrow }}q\ \Leftrightarrow \ q'p=qp'\,}\!}$
第4条		${\displaystyle \scriptstyle {q\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q.1\,}\!}$
5条	s.4.right - ユニット要素を展開		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q.(p+p')\,}\!}$
6条	s.5.right - 式を評価する		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {qp+qp'\,}\!}$
7条	s.4.左 = s.6.右	${\displaystyle \scriptstyle {q=qp+qp'\,}\!}$
第8条		${\displaystyle \scriptstyle {q'p=qp'\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow \,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {qp+qp'=qp+q'p\,}\!}$
第9条	s.8 - 共通因数を再編成する		${\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow \,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q.(p+p')=(q+q').p\,}\!}$
第10条	s.9 - 補語の結合は統一に等しい		${\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow \,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q.1=1.p\,}\!}$
第11条	s.10.right - 式を評価する		${\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow \,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q=p\,}\!}$
第12条	第8条第11項	${\displaystyle \scriptstyle {q'p=qp'\ \Rightarrow \ q=p\,}\!}$
第13条		${\displaystyle \scriptstyle {q=p\ \Rightarrow \ q'p=qp'\,}\!}$
第14条	第12条 第13条	${\displaystyle \scriptstyle {q=p\ \Leftrightarrow \ q'p=qp'\,}\!}$
第15条	第3条第14項	${\displaystyle \scriptstyle {q{\tilde {\leftarrow }}p=p{\tilde {\leftarrow }}q\ \Leftrightarrow \ q=p\,}\!}$

含意は逆非含意の双対である
ステップ	活用する	その結果
1節	意味	${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {dual} (q{\tilde {\leftarrow }}p)\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {dual} (q'p)\,}\!}$
2条	s.1.right - .の双対は+		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q'+p\,}\!}$
3条	s.2.right -退縮補数		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {(q'+p)''\,}\!}$
第4条	s.3.right -ド・モルガンの法則を一度適用		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {(qp')'\,}\!}$
5条	s.4.right -交換法則		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {(p'q)'\,}\!}$
6条	s.5.右		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {(p{\tilde {\leftarrow }}q)'\,}\!}$
7条	第6条右		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {p\leftarrow q\,}\!}$
第8条	第7条右		${\displaystyle \scriptstyle {=\,}\!}$	${\displaystyle \scriptstyle {q\rightarrow p\,}\!}$
第9条	s.1.左 = s.8.右	${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {dual} (q{\tilde {\leftarrow }}p)=q\rightarrow p\,}\!}$

コンピュータサイエンス

コンピュータサイエンスにおける逆非含意の例としては、データベースのテーブルセットに対して右外部結合を実行するときに、「左」のテーブルからの結合条件に一致しないレコードが除外される場合が挙げられます。^[3]

参考文献

1. レトネン、エーロ、ポイコネン、JH
2. クヌース 2011、49ページ
3. 「SQL結合のビジュアル説明」2007年10月11日。2014年2月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年3月24日閲覧。

• ドナルド・E.・クヌース（2011年）『コンピュータプログラミングの技法』第4A巻：組み合わせアルゴリズム、パート1（第1版）Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-201-03804-0。

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおける逆非含意に関連するメディア

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