Generalization of Pythagorean theorem
図1 – 三角形。角 α （または A ）、 β （または B ）、 γ （または C ）は、それぞれ辺 a 、 b 、 c と向かい合っています。 三角 法において 、 余弦定理（ 余弦の公式 または 余弦定理 とも呼ばれる）は、 三角形 の辺の長さ と その 角の1つの 余弦との関係を規定します。辺が 、 、 で、それぞれ対角が 、 、 である三角形 （図1参照）の場合、余弦定理は次のように示します。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma }
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ , a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,\\[3mu]b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\end{aligned}}}
余弦定理は ピタゴラスの定理を一般化したものですが、これは 直角三角形 にのみ当てはまります 。つまり 、 が γ {\displaystyle \gamma } 直角 であれば cos γ = 0 {\displaystyle \cos \gamma =0} となり 、余弦定理は に簡約されます 。 c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
余弦定理は、 3 辺すべて、または 2 辺とその内角が与えられているときに 三角形を解くのに役立ちます。
三角形を解くときに使う 図 3 – 余弦定理の応用: 未知の辺と未知の角度。 三角形の辺 b と c および角度 γが与えられると、 a の解が 2 つ存在することがあります 。 この定理は 三角形の解を 求めるために使用されます。つまり、次の式を求めます (図 3 を参照)。
2 辺とそれらの間の角度がわかっている場合の三角形の 3 番目の辺: c = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ ; {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;} 3 辺がわかっている場合の三角形の角度: γ = arccos ( a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) ; {\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;} 2辺とそのうちの1辺に対向する角度が分かっている場合の三角形の3番目の辺（この辺は 正弦定理 を2回適用することでも求めることができる）: [a] a = b cos γ ± c 2 − b 2 sin 2 γ . {\displaystyle a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.} これらの式では、 三角形が非常に鋭角な場合、つまり cが a に比べて小さく 、 b または γ が 1 に比べて小さい場合、浮動小数点 計算で大きな 丸め誤差 が生じます。角度のコサインに対して 1 よりわずかに大きい結果が得られる可能性もあります。
3番目の式は、二次 方程式 a 2 − 2 ab cos γ + b 2 − c 2 = 0を a について解いた結果です 。この方程式は、与えられたデータから考えられる三角形の数に応じて、2、1、または0個の正の解を持ちます。b sin γ < c < b の場合は2つの正の解 、 c = b sin γ の 場合 は 1 つ の 正の解、 c < b sin γ の場合は解が存在しません。これらの異なるケースは 、辺と辺角の合同性の曖昧性 によっても説明されます 。
歴史 ユークリッドの 『原論』 第 2 巻は紀元前 300 年頃に 1 世紀か 2 世紀前の資料から編纂されたもので、余弦定理に相当する幾何学の定理が含まれていますが、これは当時の長方形の面積という言語で表現されています。ヘレニズム時代の三角法は後に発展し、正弦と余弦自体は数世紀後にインドで初めて登場しました。
鈍角三角形と鋭角三角形 （負の余弦と正の余弦の2つのケースに対応）の場合は 、命題II.12とII.13で別々に扱われます。 [1]
命題 12. 鈍角三角形において、鈍角に接する辺の正方形は、鈍角を含む辺の正方形よりも、鈍角の周りの 1 つの辺、つまり垂線が落ちる辺と、鈍角に向かって垂線によって外側に切り取られた直線によって囲まれる長方形の 2 倍だけ大きい。
命題13は鋭角三角形についても同様の命題を含んでいる。アレクサンドリアのヘロンは 、（現在は失われ、断片的な引用によってのみ保存されている）注釈において、 II.12とII.13の両方の 逆 命題の証明を与えている 。 [2]
図2 – 鈍角三角形 ABC と垂直な BH 図2のような表記法を用いると、ユークリッドの命題II.12の記述は、より簡潔に（時代錯誤的ではあるが）次の式で表すことができる。
A B 2 = C A 2 + C B 2 + 2 ( C A ) ( C H ) . {\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).}
これを余弦定理のよく知られた表現に変換するには、 A B = c {\displaystyle AB=c} 、 C A = b {\displaystyle CA=b} 、 C B = a {\displaystyle CB=a} 、およびを置き換えます 。 C H = a cos ( π − γ ) {\displaystyle CH=a\cos(\pi -\gamma )\ } = − a cos γ {\displaystyle \!{}=-a\cos \gamma }
命題II.13はユークリッドの時代には三角形の解法 には用いられなかったが、後に アル・ビールニー （11世紀）や ヨハネス・デ・ムリス （14世紀） によって天文学の問題を解く過程でそのように用いられた。 [3] 球面余弦定理 に相当するものは、 アル・フワーリズミー （9世紀）、 アル・バッターニー （9世紀）、 ニーラカンタ （15世紀）によって用いられた（ただし、一般的には述べられていない ）。 [4]
13世紀のペルシャの数学者 ナスィール・アル＝ディーン・アル＝トゥーシー は、著書『 完全な四辺形に関する書』 （ Kitāb al-Shakl al-qattāʴ 、1250年頃）の中で、与えられたデータの様々な組み合わせから三角形を解く方法を体系的に説明した。不等辺三角形の2辺とその夾角が与えられた場合、彼は未知の角度の1つの頂点から反対側の底辺に垂線を下ろして3つ目の辺を求めることを提案した。これは、既知の角度と斜辺から正弦定理を用いて1つの直角三角形の脚を求め 、次に ピタゴラスの定理 を用いて既知の2辺から別の直角三角形の斜辺を求めるという問題に簡略化される 。 [5]
約2世紀後、 当時最も正確な三角関数の表を作成した別のペルシャの数学者 ジャムシード・アル＝カーシーも、著書 『 算術の鍵』 （ 1427年）の中で、与えられたデータのさまざまな組み合わせから三角形を解く方法を記述し、アル＝トゥーシーの方法を基本的に繰り返して、1つの式に統合し、より明確な詳細を含めました。その内容は次のとおりです。 [6]
現代の代数表記法で表現された、アル・カシ版の余弦定理（ γ が鈍角の場合）です。 もう1つのケース は、2辺とそれらの間の角度が既知で、残りの辺が未知の場合です。片方の辺に、（既知の）角度の正弦を1回掛け、もう片方の辺に、その補角の正弦を変換したものを1回掛けます。そして、鋭角の場合は2回目の結果をもう一方の辺から引き、鈍角の場合は2回目の結果を足します。そして、その結果を2乗し、最初の結果の2乗を足します。そして、その合計の平方根を取って残りの辺を求めます。
— アル・カーシーの 『Miftāḥ al-ḥisāb 』、 Nuh Aydin、Lakhdar Hammoudi、Ghada Bakbouk による翻訳 [7]
現代の代数記法と慣例を用いると、これは次のように書けるだろう。
c = ( b − a cos γ ) 2 + ( a sin γ ) 2 {\displaystyle c={\sqrt {(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}}}}
γ {\displaystyle \gamma } が急性 または
c = ( b + a | cos γ | ) 2 + ( a sin γ ) 2 {\displaystyle c={\sqrt {\left(b+a\left|\cos \gamma \right|\right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}}}}
γ {\displaystyle \gamma } が鈍角の場合 。（ γ {\displaystyle \gamma } が鈍角の場合、現代の慣例では、 cos γ {\displaystyle \cos \gamma } は負で、 は正です。歴史的には、正弦と余弦は負でない長さの線分であると考えられていました。）両辺を二乗し、二乗した二項式 を展開し 、ピタゴラスの三角恒等式 を適用すると、よく知られた余弦定理が得られます。 cos ( π − γ ) = − cos γ {\displaystyle \cos(\pi -\gamma )=-\cos \gamma } cos 2 γ + sin 2 γ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1}
c 2 = b 2 − 2 b a cos γ + a 2 cos 2 γ + a 2 sin 2 γ = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}
フランス では 、余弦定理は アル・カシの定理 と呼ばれることもあります。 [8] [9]
アル＝トゥーシーが使用したのと同じ方法は、15世紀初頭にヨーロッパで、 当時知られていた平面三角法と球面三角法の包括的な調査書である レギオモンタヌス の『 あらゆる 種類の三角形について 』 （ 1464年）に登場しました。 [10]
この定理は、 16世紀に フランソワ・ヴィエト によって代数記法を用いて初めて記述されました。19世紀初頭には、現代の代数記法によって、余弦定理を現在の記号形式で記述できるようになりました。 [11]
証明
ピタゴラスの定理を使う ピタゴラスの定理を用いた鋭角三角形と鈍角三角形の 余弦定理 の証明 高さBH の 鈍角三角形 ABC
鈍角の場合 ユークリッドは、図2の2つの直角三角形（ AHB と CHB ） それぞれに ピタゴラスの定理を 適用することでこの定理を証明した。 線分 CBを a 、 線分 ACを b 、 線分 ABを c 、 線分 CHを d 、 高さ BHを h とすると、三角形 AHBは 次の式を得る
。 c 2 = ( b + d ) 2 + h 2 , {\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},}
そして三角形 CHB は d 2 + h 2 = a 2 . {\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.}
最初の式 を展開すると c 2 = b 2 + 2 b d + d 2 + h 2 . {\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.}
これに 2 番目の式を代入すると、次のようになります。 c 2 = a 2 + b 2 + 2 b d . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.}
これはユークリッドの原論 第二巻の命題12である 。 [12] これを余弦定理の現代形に置き換えると、 d = a cos ( π − γ ) = − a cos γ . {\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .}
鋭角の場合 ユークリッドの命題 13 の証明は、命題 12 の証明と同じように進められます。つまり、角度 γ を囲む辺の 1 つに垂線を落とすことによって形成される 2 つの直角三角形にピタゴラスの定理を適用し、差の 2 乗を使用して簡略化します。
急性期におけるもう一つの証拠 図6 – 鋭角の場合の三角法を用いた簡単な証明 三角法をさらに用いると、余弦定理はピタゴラスの定理を一度だけ用いるだけで導出できます。実際、図6の左側の直角三角形を用いることで、次のことが示せます。
c 2 = ( b − a cos γ ) 2 + ( a sin γ ) 2 = b 2 − 2 a b cos γ + a 2 cos 2 γ + a 2 sin 2 γ = b 2 + a 2 − 2 a b cos γ , {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}
三角関数の 恒等式 を 使用します 。 cos 2 γ + sin 2 γ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1}
b < a cos( γ ) の場合、この証明は若干の修正が必要となる 。この場合、ピタゴラスの定理が適用される直角三角形は 三角形 ABC の 外側に 移動してしまう。計算への影響は、 b − a cos( γ )が a cos( γ ) − b に置き換わる点のみである 。この量は平方根を通してのみ計算に用いられるため、証明の残りの部分は影響を受けない。しかし、この問題は β が鈍角の場合にのみ発生し、三角形を γ の二等分線で鏡映することで回避できる 。
図6を参照すると、対辺aの 角度 が α の場合、次のようになることに注目すべきである。 tan α = a sin γ b − a cos γ . {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}.}
これは、2 つの辺と内角が指定されている場合に、2 番目の角度を直接計算するのに役立ちます。
3つの高度から 図5 – 垂直線を持つ鋭角三角形 頂点 Cを通る 高低差 は、辺 c に垂直な線分である 。高低差の麓から頂点 A までの距離と、高低差の麓から頂点 Bまでの距離の和は、辺 c の長さに等しい （図5参照）。これらの距離はそれぞれ、他の辺の長さに隣接する角の余弦を乗じた値として表すことができる。 [13] c = a cos β + b cos α . {\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha .}
（ α または β が鈍角であっても、垂線が三角形の外側に出る場合は同じです 。）両辺に c を掛ける
と、 c 2 = a c cos β + b c cos α . {\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .}
他のいずれかの辺を三角形の底辺として扱う場合も、同じ手順が同様に機能します。 a 2 = a c cos β + a b cos γ , b 2 = b c cos α + a b cos γ . {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}}
c 2 {\displaystyle c^{2}} の方程式を取り、 b 2 {\displaystyle b^{2}} と a 2 {\displaystyle a^{2}} の方程式を引くと 、 c 2 − a 2 − b 2 = a c cos β + b c cos α − a c cos β − b c cos α − 2 a b cos γ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}
この証明は、 直角三角形の余弦の定義のみに基づいており、辺の長さの二乗を代数的に求めるという点で、 ピタゴラスの定理とは独立しています。他の証明では、通常、ピタゴラスの定理を明示的に用い、より幾何学的な手法を用いて、 cos γ を 特定の線分の長さを表すラベルとして扱います。 [13]
多くの証明とは異なり、この証明では鈍角 γ と鋭角 γ の場合を統一的に扱います。
直交座標 図4 – 座標幾何学の証明 辺の長さがそれぞれa 、 b 、 c である三角形を考えます。 ここで、 θは長さ c の辺と反対側の角度です。この三角形は 、辺 a をx 軸に沿わせ 、角度 θ を原点とする直交座標系 上に配置できます 。これは、図 4 に示すように、三角形の 3 点の成分をプロットすることで実現できます。 A = ( b cos θ , b sin θ ) , B = ( a , 0 ) , and C = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ and }}C=(0,0).}
距離の公式 によれば 、 [14]
c = ( a − b cos θ ) 2 + ( 0 − b sin θ ) 2 . {\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.}
両辺を2乗して単純化する c 2 = ( a − b cos θ ) 2 + ( − b sin θ ) 2 = a 2 − 2 a b cos θ + b 2 cos 2 θ + b 2 sin 2 θ = a 2 + b 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) − 2 a b cos θ = a 2 + b 2 − 2 a b cos θ . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}
この証明の利点は、角 γ が鋭角、直角、鈍角のいずれであるかに応じて個別のケースを検討する必要がないことです。しかしながら、 『原論』第II 編 12-13節以降、al-Ṭūsī、al-Kāshīらによって個別に扱われたケースは、符号付き長さと面積の概念、そして符号付き余弦の概念を用いることで、完全な直交座標系を必要とせずに組み合わせることができました。
プトレマイオスの定理を使う プトレマイオスの定理を用いた余弦定理の証明 図を参照すると、 辺 AB = c 、 BC = a 、 AC = b の三角形ABCが 、図のようにその外接円の内側に描かれています。三角形 ABDは、三角形 ABC と 合同で、 AD = BC 、 BD = AC です。D と Cからの垂線は 、それぞれ E と F で 底辺 AB と交わります。したがって、 B F = A E = B C cos B ^ = a cos B ^ ⇒ D C = E F = A B − 2 B F = c − 2 a cos B ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}
余弦定理は、 プトレマイオスの定理を 円四辺形 ABCD に直接適用することで表されます 。 A D × B C + A B × D C = A C × B D ⇒ a 2 + c ( c − 2 a cos B ^ ) = b 2 ⇒ a 2 + c 2 − 2 a c cos B ^ = b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}
明らかに角 B が直角 であれば 、 ABCD は長方形であり、プトレマイオスの定理を適用すると ピタゴラスの定理 が得られます。 a 2 + c 2 = b 2 . {\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.}
エリアを比較することで 図 7a – 「切り取りと貼り付け」による鋭角 γ の余弦定理の証明。 図7b – 「切り取りと貼り付け」による鈍角 γ の余弦定理の証明。 余弦定理は 面積を計算することで証明することもできます。γ 角 が鈍角になると符号が変化するため、 場合分けが必要になります。
思い出してください
a 2 、 b 2 、 c 2はそれぞれ、辺が a 、 b 、 c の正方形の面積です 。 γ が鋭角の 場合、 ab cos γ は、辺 a と b が角度 γ′ を形成する平行四辺形 の面積です = π / 2 − γ ; γ が鈍角で、 cos γ が負の 場合、 − ab cos γ は、辺 a と b が γ′ = γ の角度を形成する 平行四辺形 の面積です − π / 2 。 鋭い例。 図7aは、 余弦定理の証明のために 七角形を（2つの異なる方法で）小さな部分に分割した例である。それぞれの部分は
ピンク色は、左側の 領域 a 2 、 b 2 と、右側の領域 2 ab cos γ および c 2です。 青色で、三角形 ABC が 左側と右側にあります。 灰色の補助三角形はすべて ABC と 合同で 、左側と右側の数はどちらも同じ (つまり 2) です。 左辺と右辺の面積が等しいことから、 a 2 + b 2 = c 2 + 2 a b cos γ . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma .}
鈍角の場合。 図7bは 六角形を2つの異なる方法で小さな部分に分割し、角 γ が鈍角の場合の余弦定理の証明を示しています 。
ピンク色は、左側の 領域 a 2 、 b 2 、および −2 ab cos γ、 右側の領域 c 2です。 青色で、三角形 ABC を 左側と右側に 2 回表示します。 左辺と右辺の面積が等しいことから、 a 2 + b 2 − 2 a b cos ( γ ) = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.}
厳密な証明には、様々な図形が合同で あり、したがって面積が等しいことを証明することが含まれます。これには 合同三角形 の理論が用いられます 。
円形状の使用 図8a – 三角形 ABC （ピンク）、補助円（水色）、補助直角三角形（黄色） 図8b – 三角形 ABC （ピンク）、補助円（水色）、および2つの補助直角三角形（黄色） 図9 – 点のべき乗定理を用いた余弦定理の証明。 円の幾何学 を用いることで、 ピタゴラスの定理のみを用いるよりも幾何 学的な 証明 を与えることができる 。 代数的な 操作（特に 二項定理 ）は避けられる。
鋭角 γ の場合、 a > 2 b cos γ です。A から 垂線を a = BC に 下ろし、長さ b cos γ の線分を作ります 。 直角三角形 を複製して二等辺三角形 ACP を 作ります 。 中心 A 、半径 b の円を 描き、その 接線 h = BHが B を通ります 。接線 hは半径 b と直角をなします （『ユークリッド 原論 』第3巻、命題18、または こちらを 参照）。したがって、図8の黄色の三角形は直角です。 ピタゴラスの定理 を適用して、 c 2 = b 2 + h 2 . {\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}.}
次に、 接線正接定理 （ユークリッド 原論 ：第3巻、命題36）を用いる。これは、円の外側の点 B を通る接線上の正方形は、 B を通る円の任意の 正接線によって作られる2つの線分の積（ B から）に等しいというものである 。この場合、 BH 2 = BC · BP 、または h 2 = a ( a − 2 b cos γ ) . {\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).}
前の式に代入すると余弦定理が得られます。 c 2 = b 2 + a ( a − 2 b cos γ ) . {\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).}
h 2 は 円に対する点 B のべき乗で ある ことに注意してください 。ピタゴラスの定理と接線正接定理の使用は、 点のべき乗定理 を1回適用することで置き換えることができます。
鋭角 γ の場合、 a < 2 b cos γ 。 A から a = BC に 垂線 を下ろし、長さ b cos γ の線分を作成します 。 直角三角形を複製して 二等辺三角形 ACP を形成します。 中心 A 、半径 b の円 を描き、 B を通り c = AB に垂直な 弦を描きます 。弦の半分は h = BH です 。 ピタゴラスの定理 を適用して、次の式 を得ます 。 b 2 = c 2 + h 2 . {\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}
ここで、 弦定理 （ユークリッド 原論 ：第3巻、命題35）を用います。これは、2本の弦が交差する場合、一方の弦で得られる2本の線分の積は、もう一方の弦で得られる2本の線分の積に等しいというものです。この場合、 BH 2 = BC · BP 、 または h 2 = a ( 2 b cos γ − a ) . {\displaystyle h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).}
前の式に代入すると余弦定理が得られます。 b 2 = c 2 + a ( 2 b cos γ − a ) . {\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a).}
点 B の円に対するべき乗は負の値−h 2 を持つ こと に 注意 してください。
鈍角 γ の場合。 この証明は、接線や弦を描くことによって得られる補助三角形を使わずに、点のべき乗定理を直接用います。中心 B 、半径 a の円を描きます（図9参照）。この円は、 A と C を通る 正割線と C と K で交差します 。円に対する 点 A のべき乗は、 AB 2 − BC 2 と AC · AK の両方に等しいです 。したがって、 c 2 − a 2 = b ( b + 2 a cos ( π − γ ) ) = b ( b − 2 a cos γ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}}
それは余弦定理です。
線分の代数的尺度（線分の長さとして 負の数を 許容）を使用すると、鈍角（ CK > 0 ）と鋭角（ CK < 0 ）のケースを同時に処理できます。
正弦定理を利用する 余弦定理は、正弦定理 といくつかの標準的な三角 法の恒等式から代数的に証明できます。 [15] まず、三角形の3つの角の和は 直角 （ ラジアン）になります。したがって、正弦と余弦の角の和の恒等式により、 α + β + γ = π {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }
sin γ = − sin ( π − γ ) = − sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β , cos γ = − cos ( π − γ ) = − cos ( α + β ) = sin α sin β − cos α cos β . {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignedat}}}
これらの恒等式の最初のものを二乗し、次に 2 番目から代入し、最後にピタゴラスの三角関数の恒等式を置き換えると 、 次 のようになります。 cos α cos β = {\displaystyle \cos \alpha \,\cos \beta ={}} sin α sin β − cos γ {\displaystyle \sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma } cos 2 α + sin 2 α = {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ={}} cos 2 β + sin 2 β = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1,}
sin 2 γ = ( sin α cos β + cos α sin β ) 2 = sin 2 α cos 2 β + 2 sin α sin β cos α cos β + cos 2 α sin 2 β = sin 2 α cos 2 β + 2 sin α sin β ( sin α sin β − cos γ ) + cos 2 α sin 2 β = sin 2 α ( cos 2 β + sin 2 β ) + sin 2 β ( cos 2 α + sin 2 α ) − 2 sin α sin β cos γ = sin 2 α + sin 2 β − 2 sin α sin β cos γ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{aligned}}}
正弦の法則によれば a sin α β = b sin β = c sin γ β = k , {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha {\vphantom {\beta }}}}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma {\vphantom {\beta }}}}=k,}
余弦定理を証明するには、前の恒等式の両辺に k 2 {\displaystyle k^{2}} を掛けます。
sin 2 γ c 2 sin 2 γ = sin 2 α a 2 sin 2 α + sin 2 β b 2 sin 2 β − 2 sin α sin β cos γ a b sin α sin β sin 2 c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma {\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}&=\sin ^{2}\alpha {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+\sin ^{2}\beta {\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta {\vphantom {\sin ^{2}}}}}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}
これで証明は終わりです。
ベクトルの使用 ベクトルエッジ a と b が角度 θ で分離された三角形。 示す
C B → = a → , C A → = b → , A B → = c → {\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}
したがって、 c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}
各辺とその辺自身との ドット 積をとると、次のようになります。 c → ⋅ c → = ( a → − b → ) ⋅ ( a → − b → ) ‖ c → ‖ 2 = ‖ a → ‖ 2 + ‖ b → ‖ 2 − 2 a → ⋅ b → {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}&=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\end{aligned}}}
アイデンティティの使用
u → ⋅ v → = ‖ u → ‖ ‖ v → ‖ cos ∠ ( u → , v → ) {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})}
につながる
‖ c → ‖ 2 = ‖ a → ‖ 2 + ‖ b → ‖ 2 − 2 ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ∠ ( a → , b → ) {\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})}
結果は以下の通りです。
二等辺三角形の場合 a = b 、つまり 三角形が 二等辺三角形 で、角 γ に接する2辺の長さが等しい場合、余弦定理は大幅に単純化されます。つまり、 a 2 + b 2 = 2 a 2 = 2 ab となるため、余弦定理は次のようになります
。 cos γ = 1 − c 2 2 a 2 {\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}
または c 2 = 2 a 2 ( 1 − cos γ ) . {\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).}
四面体の類似体 4つの面がそれぞれ面積 A 、 B 、 C 、 D を持ち、 面 A と面 Bの間の 二面角が である任意の 四面体 を考えると、余弦定理の高次元版は次のようになる： [16] φ a b {\displaystyle \varphi _{ab}} A 2 = B 2 + C 2 + D 2 − 2 ( B C cos φ b c + C D cos φ c d + D B cos φ d b ) . {\displaystyle A^{2}=B^{2}+C^{2}+D^{2}-2\left(BC\cos \varphi _{bc}+CD\cos \varphi _{cd}+DB\cos \varphi _{db}\right).}
小さな角度に適したバージョン 角度 γ が小さく、隣接する辺 a と b の長さが同程度である場合、余弦定理の標準形の右辺は数値近似において 破滅的な相殺を受ける可能性があります。これが重要な懸念事項となる状況では、余弦 定理の公式 に似た、数学的に等価なバージョンが 有用となる場合があります。 c 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b sin 2 ( γ 2 ) = ( a − b ) 2 + 4 a b haversin ( γ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a-b)^{2}+4ab\operatorname {haversin} (\gamma ).\end{aligned}}}
無限小角度の限界では、余弦定理は 円弧の長さの 公式 c = a γ に退化します。
非ユークリッド幾何学では 余弦定理によって解かれる球面三角形。 ユークリッド幾何学と同様に、余弦定理を用いて、 辺 a 、 b 、 c から 角度 A 、 B 、 C を 決定 する こと が できます。ユークリッド幾何学とは対照的に、非ユークリッド幾何学モデルでは逆のことも可能です。つまり、角度 A 、 B 、 C から辺 a 、 b 、 c が決定されます。
三角形は、単位球面上の3点 u 、 v 、 w と、それらを結ぶ大円 の弧によって定義されます 。これらの大円が、 対辺 a 、 b 、 c とそれぞれ角 A 、 B 、 C を 成す 場合 、 球面 余弦定理 によれば 、以下の関係がすべて成り立ちます。
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a cos a = cos A + cos B cos C sin B sin C . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a\\\cos a&={\frac {\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C}}.\end{aligned}}}
双曲幾何学 では 、2つの方程式がまとめて 双曲余弦定理 として知られています。最初の方程式は cosh a = cosh b cosh c − sinh b sinh c cos A {\displaystyle \cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A}
ここで 、sinh と coshは 双曲線正弦と双曲線余弦 であり 、2番目は cos A = − cos B cos C + sin B sin C cosh a . {\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.}
辺の長さは次のように計算できます。
cosh a = cos A + cos B cos C sin B sin C . {\displaystyle \cosh a={\frac {\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C}}.}
多面体 余弦定理は、 ベクトル辺を持つ任意の多面体を考え、 発散定理を適用することで、すべての 多面体 に一般化することができます。 [17]
参照
注記 ^ 辺 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 、 角度 γ {\displaystyle \gamma } が与えられている場合、 sin β {\displaystyle \sin \beta } は 正弦定理を用いて求めることができます。この場合、角度 β {\displaystyle \beta } には最大2つの可能性が残ります。どちらの選択肢を選んでも α {\displaystyle \alpha } は決定されます。なぜなら、3つの内角の合計は直角になるからです。最終的に は、 a {\displaystyle a} c {\displaystyle c} 、 γ {\displaystyle \gamma } 、および α {\displaystyle \alpha } から正弦定理をもう一度適用することで 求めることができます。
参考文献 ^ ab Euclid. Thomas L. Heath (ed.). "Elements". Thomas L. Heath 訳 . 2023年 1月24日 閲覧。 ^ ヒース、トーマス (1956) [1908]. 「序論」 ユークリッド 原論 13巻 （第2版）。 ^ Kennedy, ES; Muruwwa, Ahmad (1958). 「Bīrūnī on the Solar Equation」. Journal of Near Eastern Studies . 17 (2): 112– 121. doi :10.1086/371451. JSTOR 542617.
ヨハネス・デ・ムリスは、著書 『De Arte Mesurandi』 の関連部分を匿名の著者に帰しています。Van Brummelen, Glen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth . Princeton University Press. pp. 240– 241を参照。 ^ Van Brummelen, Glen (2012). 『天上の数学：忘れられた球面三角法 』 プリンストン大学出版局. p. 98. ^ ナージール・アルディーン・アルーシー (1891)。 「第 3.2 章: 三角形と三角形の角度を計算するマニエール」。 Traité du quadrilatère attribué a Nassirudinel-Toussy (フランス語)。 カラテオドリ、アレクサンドル・パシャ 訳 。タイポグラフィとリトグラフのオスマニエ。 p. 69. 角度のない角度で。 [...] Que si l'angle donné est compris entre les deux côtés donnés, comme l'angle A est compris entre les deux côtés AB AC, abaissez de B sur AC la perpendiculaire BE.三角形の長方形 [BEA] を参照して、AB と角度 A を確認しないでください。 BE、EA、その他のレトンベラに関する前例に関する情報。 c.ああ。 d. BE、CE ソント・コヌス。 on connaîtra dès lors BC et l'angle C, comme nous l'avons expliqué [... 角度 A が 2 つの辺 AB AC の間に含まれていると仮定すると、B から AC への垂直 BE への降下。したがって、辺 AB と角 A がわかっている直角三角形 [BEA] が得られます。この三角形では BE、EA が計算され、問題は前述のいずれかのケースに帰着します。つまり、BE、CE が既知の場合です。これまで説明したように、BC と角度 C がわかります。 ^ Azarian, Mohammad K. (2000). 「Meftab Al-Hesab: A Summary」 （PDF） . Missouri Journal of Mathematical Sciences . 12 (2): 75– 95. doi : 10.35834/2000/1202075 . ^ アイディン、ヌー;ハモウディ、ラクダル;ガーダ州バクボク（2020）。 アル・カシの『ミフタ・アル・ヒサブ』第 2 巻: 幾何学 。ビルクホイザー。 p. 31. 土井 ：10.1007/978-3-030-61330-3。 ISBN 978-3-030-61329-7 。 ^ ピックオーバー、クリフォード・A. (2009). 『数学の本：ピタゴラスから57次元まで』スターリング出版社、p.106. ISBN 9781402757969 。 ^ Program de mathématiques de première générale (フランス語)。国立教育省および児童省。 2022 年。11、12 ページ。 ^ ヒューズ、バーナバス編 (1967). 『三角形のレギオモンタヌス』マディソン: ウィスコンシン大学出版局. ヨハン・ミュラー（別名レギオモンタヌス）著『 De triangulis omnimodis 』の英訳。 1533年ラテン語版の複製付き。定理I.49、98～101頁。 ^ たとえば 、ラザールのカルノー (1803)。位置の幾何学。 JBMデュプラット。 p. 202. ^ クラーク大学の DE Joyce 教授による Java アプレット バージョン。 ^ ab Alexander Bogomolny は この証明を John Molokach 先生 (2011) に帰していますが、実際はもっと古い可能性があります。Bogomolny , Alexander . 「The Law of Cosines (Independent of the Pythagorean Theorem)」. Cut the Knot . 2024年1月9日 閲覧 。 ^ ワイリー、クラレンス・レイモンド (1955). 平面三角法 . マグロウヒル. §9.1 余弦定理, pp. 195–198. LCCN 54-11278. ^ Burton, LJ (1949). 「正弦と余弦の法則」. アメリカ数学月刊誌 . 56 (8): 550– 551. doi :10.1080/00029890.1949.11999439. JSTOR 2305533. ^ ケイシー、ジョン（1889年） 『球面三角法に関する論文：測地学と天文学への応用と多数の例 』ロンドン：ロングマンズ・グリーン社、133頁。 ^ Collins, L; Osler, T (2011). 「任意の多角形と任意の多面体に対する一般化された余弦定理」. The Mathematical Gazette . 95 (533): 240– 243. doi :10.1017/S0025557200002953. JSTOR 23248682.
外部リンク ウィキメディア コモンズには、余弦定理 に関連するメディアがあります 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,\\[3mu]b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9a9823b7eec03c9da379cfba653a92126cb4ff)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317b2e91d7a1bddb42c9124185d7dced06a64116)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec43ca073e684947a90ffc34bbefa0f6860aefdc)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d283e4de8ec09723fcd183cd7f1f3200236e817f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a2847cd22b82f635192953cc5d329754a6d3a2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma {\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}&=\sin ^{2}\alpha {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+\sin ^{2}\beta {\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta {\vphantom {\sin ^{2}}}}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52b2a0f1d5749c823865977ece562cafddc99e5)
