コットンテンソル

微分幾何学において、n次元の擬リーマン多様体上のコットンテンソルは、計量テンソルに付随する3 階テンソルです。n = 3の場合にコットンテンソルがゼロになることは、多様体が局所的に共形平坦になるための必要十分条件です。対照的に、n ≥ 4次元では、計量が共形平坦になるためにコットンテンソルがゼロになることは必要十分条件ではありません。その代わり、これらの高次元で対応する必要十分条件はワイルテンソルがゼロになることですが、コットンテンソルは単にワイルテンソルの発散の定数倍になります。n < 3 の場合、コットンテンソルは常にゼロです。この概念はエミール・コットンにちなんで名付けられました。

n = 3の場合にコットンテンソルが消滅することは計量が共形平坦であることと同値であるという古典的な結果の証明は、アイゼンハートによって標準的な積分可能性の議論を用いて与えられている。このテンソル密度は、アルダーズリー (1979) によって示されたように、任意の計量テンソルに対して微分可能であるという要求と共形的な性質を併せ持つことによって、独自に特徴付けられる。

近年、コットンテンソルがアインシュタイン方程式のリッチテンソルとエネルギー運動量テンソルの関係を制限し、一般相対性理論のハミルトン形式で重要な役割を果たすことから、3次元空間の研究は大きな関心を集めています。

意味

座標において、リッチテンソルをR _ij、スカラー曲率をRとすると、コットンテンソルの成分は

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}$

コットンテンソルはベクトル値の2形式とみなすことができ、n = 3の場合、ホッジスター演算子はこれを2次のトレースフリーテンソル密度に変換します。

${\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},}$

コットン・ヨークテンソルと呼ばれることもあります。

プロパティ

等角再スケーリング

あるスカラー関数に対する計量の共形再スケーリングの下で​​、クリストッフェル記号は次のように変換されることがわかる。 ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

テンソルはどこにあるか ${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega }$

リーマン曲率テンソルは次のように変換される。

${\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}$

次元多様体では、変換されたリーマンテンソルを縮約することでリッチテンソルが得られ、次のように変換される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}$

同様にリッチスカラーは次のように変換される。

${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }$

これらの事実をすべて組み合わせると、コットン・ヨークテンソル変換は次のように結論づけられる。

${\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}$

または座標非依存言語として

${\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+(n-2)\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}$

ここで、勾配はワイルテンソル Wと縮約されます。

対称性

コットンテンソルには次の対称性があります。

${\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}}$

したがって^{[説明が必要]}

${\displaystyle C_{[ijk]}=0.}$

さらに、ワイルテンソルのビアンキの公式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \delta W=(3-n)C,}$

ここで、 Wの最初の要素における正の発散です。 ${\displaystyle \delta }$

参考文献

• Aldersley, SJ (1979). 「3次元空間におけるある種の発散のないテンソル密度に関するコメント」. Journal of Mathematical Physics . 20 (9): 1905– 1907. Bibcode :1979JMP....20.1905A. doi : 10.1063/1.524289 .
• ショケ＝ブリュア、イヴォンヌ（2009年）『一般相対性理論とアインシュタイン方程式』オックスフォード大学出版局（イギリス）ISBN 978-0-19-923072-3。
• コットン、E.（1899年）。 「トロワの次元の多様性」。トゥールーズ科学学部の年次報告書。 II. 1 (4): 385–438。オリジナルは 2007 年 10 月 10 日にアーカイブされました。
• アイゼンハート, ルーサー・P. (1977) [1925].リーマン幾何学. プリンストン, ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08026-7。
• Garcia, A.; Hehl, FW; Heinicke, C.; Macias, A. (2004). 「リーマン時空におけるコットンテンソル」.古典重力と量子重力. 21 (4): 1099– 1118. arXiv : gr-qc/0309008 . Bibcode :2004CQGra..21.1099G. doi :10.1088/0264-9381/21/4/024.

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