計量器

数学、特に測度論において、計数測度は任意の集合に測度を置く直感的な方法である。部分集合の「大きさ」は、部分集合が有限個の要素を持つ場合は部分集合内の要素の数、部分集合が無限個の要素を持つ場合は無限大とされる。^[1] $\infty$

計数測度は任意の測定可能空間（つまりシグマ代数を伴う任意の集合）上で定義できるが、主に可算集合上で用いられる。^[1] $X$

形式記法では、任意の集合を可測空間に変換するには、の冪集合をシグマ代数、すなわちのすべての部分集合が可測集合となるようにする。すると、この可測空間上の計数測度は、のすべてに対してで定義される正測度となる。ここでは集合の濃度を表す^[2] $X$ $X$ $\Sigma ;$ $X$ $\mu$ $(X,\Sigma )$ $\Sigma \to [0,+\infty ]$ $\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}$ $A\in \Sigma ,$ $\vert A\vert$ $A.$

上の計数測度がσ有限となるのは、空間が可算である場合に限ります。^[3] $(X,\Sigma )$ $X$

計数測度を持つ自然数の集合上の積分

測度空間をとる。ここでは自然数と計数測度の部分集合全体の集合である。任意の測度をとる。は上で定義されているので、点ごとに次のように表すことができる。 $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mu$ $f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]$ $\mathbb {N}$ $f$ $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)$

それぞれは測定可能である。さらに、それぞれは単純な関数であるため、単調収束定理により $\phi _{M}$ $\phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)$ $\phi _{M}$ $\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)$ $\int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

議論

計数測度は、より一般的な構成の特殊なケースです。上記の記法を用いると、任意の関数はを介して上の測度を定義します。ここで、実数の非可算和は、すべての有限部分集合上の和の上限として定義されます。つまり、すべてのに対してをとると、計数測度が得られます。 $f:X\to [0,\infty )$ $\mu$ $(X,\Sigma )$ $\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,$ $\sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$ $f(x)=1$ $x\in X$

参照

ピップ（数える） – 簡単に数えられるもの
ランダム計数測定 – 測度論における測度
集合関数 – 集合から数値への関数

参考文献

^ ab PlanetMathの Counting Measure 。
^ シリング、ルネ L. (2005)。メジャー、積分およびマーチンゲール。ケンブリッジ大学出版局。 p. 27.ISBN 0-521-61525-9。
^ ハンセン、エルンスト (2009).測度論（第4版）. コペンハーゲン大学数学科学部. p. 47. ISBN 978-87-91927-44-7。

[pm-1] PlanetMathの Counting Measure 。

[2] シリング、ルネ L. (2005)。メジャー、積分およびマーチンゲール。ケンブリッジ大学出版局。 p. 27.ISBN 0-521-61525-9。

[3] ハンセン、エルンスト (2009).測度論（第4版）. コペンハーゲン大学数学科学部. p. 47. ISBN 978-87-91927-44-7。