6-オルソプレックス

6-オルソプレックスヘキサクロス
ペトリー多角形内の直交投影
タイプ	正6次元多面体
家族	オルソプレックス
シュレーフリ記号	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
コクセター・ディンキン図	＝
5面	64 {3 ⁴ }
4面	192 {3 ³ }
細胞	240 {3,3}
顔	160 {3}
エッジ	60
頂点	12
頂点図形	5-オルソプレックス
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	B ₆ , [4,3 ⁴ ] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
デュアル	6キューブ
プロパティ	凸面、ハンナー多面体

幾何学において、6 直交多面体、または 6交差多面体とは、12個の頂点、60 個の辺、160 個の三角形面、240 個の四面体セル、192 個の5 セル 4 面、および 64 個の5 面を持つ正6 多面体です。

これには 2 つの構成形式があり、1 つ目はSchläfli 記号{3 ^{4 ,4} を持つ正規形式、2 つ目は Schläfli 記号 {3,3,3,3}^1,1 } またはCoxeter 記号 3 ₁₁を持つ、交互にラベル付けされた (チェッカーボード状の) 面を持つ形式です。

これは、交差多面体または正多面体と呼ばれる無限の多面体族の一部です。双対多面体は6次元超立方体、またはヘキセラクトです。

別名

ヘキサクロスは、ギリシャ語で 6 (次元) を意味するhexと、クロス多面体 (cross polytope ) という姓を組み合わせたものです。
64面体 6 次元多面体としてのヘキサコンタテトラペトン。
頭字語: gee (Jonathan Bowers)

構成として

この配置行列は6-オルソプレックスを表しています。行と列は頂点、辺、面、セル、4面体、5面体に対応しています。対角線上の数字は、各要素が6-オルソプレックス全体にいくつ出現するかを示します。非対角線上の数字は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ出現するかを示します。^[1]^[2]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}12&10&40&80&80&32\\2&60&8&24&32&16\\3&3&160&6&12&8\\4&6&4&240&4&4\\5&10&10&5&192&2\\6&15&20&15&6&64\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

工事

6-オルソプレックスに関連するコクセター群は3つあり、1つは正則群、もう1つはC ₆または[4,3,3,3,3]コクセター群とのヘキセラクトの双対群、もう1つはD ₆または[3 ^3,1,1 ]コクセター群との5-単体面の2つのコピーを交互に持つ半対称群である。最も対称性の低い構成は、 6-オルソトープの双対に基づくもので、6-フュシルと呼ばれる。

名前	シュレーフリ	対称	注文
通常の6-オルソプレックス	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
準規則性6-オルソプレックス	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6連装砲	{3,3,3,4}+{}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4}+{4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2{3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4}+2{}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4}+{4}+{}	[4,3,2,4,2]	768
	3{4}	[4、2、4、2、4]	512
	{3,4}+3{}	[4,3,2,2,2]	384
	2{4}+2{}	[4,2,4,2,2]	256
	{4}+4{}	[4,2,2,2,2]	128
	6{}	[2、2、2、2、2]	64

直交座標

原点を中心とした6次元直交複体の頂点の直交座標は、

(±1,0,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0,0), (0,0,±1,0,0,0), (0,0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,0,±1)

対角を除くすべての頂点ペアは、辺によって接続されます。

画像

正投影図
コクセター飛行機	B6	B5	B4
グラフ
二面対称性	[12]	[10]	[8]
コクセター飛行機	B3	B2
グラフ
二面対称性	[6]	[4]
コクセター飛行機	A5	A3
グラフ
二面対称性	[6]	[4]

関連する多面体

6次元正複合体は、正二十面体の頂点に3次元に投影することができます。^[3]

2D		3D
二十面体 {3,5} = H ₃コクセター機	6-オルソプレックス {3,3,3,3 ^1,1 } = D ₆コクセター機	二十面体	6-オルソプレックス
この構成は、幾何学的には、6次元正複体の12頂点を正二十面体の頂点として3次元に投影したものと見ることができます。これは、D 6 から H 3 までのコクセター群の幾何学的折り畳み_を表し_ています。に左側の2次元コクセター平面直交投影図では、重なり合う2つの中心頂点がこの写像における3番目の軸を定義しています。6次元直交複合体のすべての頂点ペアは、対角の頂点を除いて接続されています。30本の辺がイコサヘドロンと共有され、さらに30本の辺が6次元直交複合体からイコサヘドロンの内部に投影されています。

これは、コクセターによって_3k1級数として表現された、一様な多面体とハニカムの次元級数である。（退化した4次元の例としては、3球面タイリング、正四面体ホソヘドロンがある。）

3k _1次元図形
空間	有限				ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8	9
コクセターグループ	A ₃ A ₁	A5	D6	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
コクセター図
対称	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
注文	48	720	46,080	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	3 _1,-1	3 ₁₀	311	3_月21日	3_月31日	341

この多面体は、B ₆コクセター平面から生成される 63 個の均一な 6 次元多面体のうちの 1 つであり、これには正則6 次元立方体または 6 次元正多面体が含まれます。

B6多面体
β6	t ₁ β ₆	t ₂ β ₆	t ₂ γ ₆	t ₁ γ ₆	γ ₆	t _0,1 β ₆	t _0,2 β ₆
t _1,2 β ₆	t _0,3 β ₆	t _1,3 β ₆	t _2,3 γ ₆	t _0,4 β ₆	t _1,4 γ ₆	t _1,3 γ ₆	t _1,2 γ ₆
t _0,5 γ ₆	t _0,4 γ ₆	t _0,3 γ ₆	t _0,2 γ ₆	t _0,1 γ ₆	t _0,1,2 β ₆	t _0,1,3 β ₆	t _0,2,3 β ₆
t _1,2,3 β ₆	t _0,1,4 β ₆	t _0,2,4 β ₆	t _1,2,4 β ₆	t _0,3,4 β ₆	t _1,2,4 γ ₆	t _1,2,3 γ ₆	t _0,1,5 β ₆
t _0,2,5 β ₆	t _0,3,4 γ ₆	t _0,2,5 γ ₆	t _0,2,4 γ ₆	t _0,2,3 γ ₆	t _0,1,5 γ ₆	t _0,1,4 γ ₆	t _0,1,3 γ ₆
t _0,1,2 γ ₆	t _0,1,2,3 β ₆	t _0,1,2,4 β ₆	t _0,1,3,4 β ₆	t _0,2,3,4 β ₆	t _1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 β ₆	t _0,1,3,5 β ₆
t _0,2,3,5 γ ₆	t _0,2,3,4 γ ₆	t _0,1,4,5 γ ₆	t _0,1,3,5 γ ₆	t _0,1,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 γ ₆	t _0,1,2,4 γ ₆	t _0,1,2,3 γ ₆
t _0,1,2,3,4 β ₆	t _0,1,2,3,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 γ ₆	t _0,1,2,3,5 γ ₆	t _0,1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,3,4,5 γ ₆

参考文献

HSMコクセター：
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover New York, 1973
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  - （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  - （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. 1966
Klitzing、リチャード。「6D 均一多面体 (ポリペタ) x3o3o3o3o4o - gee」。

特定の

^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 配置
^ コクセター『複素正多面体』p.117
^ 準結晶と幾何学、マージョリー・セネシャル、1996年、ケンブリッジ大学出版、p. 64。2.7.1 I ₆結晶

外部リンク

オルシェフスキー、ジョージ. 「交差多面体」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
様々な次元の多面体
多次元用語集

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス • 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[1] Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 配置

[2] コクセター『複素正多面体』p.117

[3] 準結晶と幾何学、マージョリー・セネシャル、1996年、ケンブリッジ大学出版、p. 64。2.7.1 I ₆結晶