クラップスの原則

確率論において、クラップス原理は、反復IID試行における事象 確率に関する定理です。ある試行で発生する可能性のある、互いに排他的な2つの事象を と とします。すると、の前に発生する確率は、 が次の試行で発生する、またはが次の試行で発生するという条件付き確率に等しくなります。これは ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {P} [E_{1}\,\,{\text{before}}\,\,E_{2}]=\operatorname {P} \left[E_{1}\mid E_{1}\cup E_{2}\right]={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{\operatorname {P} [E_{1}]+\operatorname {P} [E_{2}]}}}$

イベントとイベントは、必ずしも網羅的である必要はない（網羅的であれば、結果は自明である）。^{[1] [2]} ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

証拠

は の前に起こる事象とする。 は、与えられた試行においても も起こらない事象とする。 、、 は互いに排他的であり、最初の試行において集合的に網羅的であるため、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A)=\operatorname {P} (E_{1})\operatorname {P} (A\mid E_{1})+\operatorname {P} (E_{2})\operatorname {P} (A\mid E_{2})+\operatorname {P} (B)\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (E_{1})+\operatorname {P} (B)\operatorname {P} (A\mid B)}$

と である。試行は iid なので となる。表示されている式を使って について解くと、次の式が得られる。 ${\displaystyle \operatorname {P} (B)=1-\operatorname {P} (E_{1})-\operatorname {P} (E_{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A|E_{1})=1,\quad \operatorname {P} (A|E_{2})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A)={\frac {\operatorname {P} (E_{1})}{\operatorname {P} (E_{1})+\operatorname {P} (E_{2})}}}$。

応用

トライアルが2人のプレイヤー間のゲームの繰り返しであり、イベントが

${\displaystyle E_{1}:\mathrm {player\ 1\ wins} }$

${\displaystyle E_{2}:\mathrm {player\ 2\ wins} }$

すると、クラップスの原理は、誰かが勝つ（つまり、引き分けが発生しない）という条件付きで、各プレイヤーが特定の繰り返しで勝つ条件付き確率をそれぞれ与えます。実際には、結果は勝利と引き分けの相対的な周辺確率のみに影響され 、特に引き分けの確率は無関係です。 ${\displaystyle \operatorname {P} [E_{1}]}$ ${\displaystyle \operatorname {P} [E_{2}]}$

停止

誰かが勝つまでゲームを繰り返しプレイする場合、上記の条件付き確率はプレイヤーがゲームに勝つ確率です。これは、別の証明を用いて、 元のクラップスゲームで以下に示されています。

クラップスの例

プレイされているゲームがクラップスの場合、この原理は特定のシナリオにおける勝率の計算を大幅に簡素化します。具体的には、最初のロールが4、5、6、8、9、または10の場合、以下のいずれかの事象が発生するまでサイコロを繰り返し振り直します。

${\displaystyle E_{1}:{\text{ the original roll (called ‘the point’) is rolled (a win) }}}$

${\displaystyle E_{2}:{\text{ a 7 is rolled (a loss) }}}$

と は互いに排他的であるため、クラップスの原理が適用されます。例えば、最初のロールで4が出た場合、勝つ確率は ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle {\frac {3/36}{3/36+6/36}}={\frac {1}{3}}}$

これにより、すべての可能な結果に対応する無限級数を合計する必要がなくなります。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {P} [{\text{first i rolls are ties,}}(i+1)^{\text{th}}{\text{roll is ‘the point’}}]}$

数学的には、引き分けの後にポイントが出る確率を次のように表すことができます。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \operatorname {P} [{\text{first i rolls are ties, }}(i+1)^{\text{th}}{\text{roll is ‘the point’}}]=(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}\operatorname {P} [E_{1}]}$

合計は無限等比級数になる。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}\operatorname {P} [E_{1}]=\operatorname {P} [E_{1}]\sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{1-(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])}}={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{\operatorname {P} [E_{1}]+\operatorname {P} [E_{2}]}}}$

これは以前の結果と一致しています。

参考文献

1. Susan Holmes (1998年12月7日). 「The Craps principal 10/16」. statweb.stanford.edu . 2016年3月17日閲覧。
2. ジェニファー・ウエレット（2010年8月31日）『微積分日記：数学で体重を減らし、ラスベガスで勝ち、ゾンビ黙示録を生き延びる方法』ペンギン出版グループ、50～51頁。ISBN 978-1-101-45903-4。

注記

• ピットマン、ジム (1993). 確率論. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. p. 210. ISBN 0-387-97974-3。

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