立方体（代数）

Number raised to the third power

1 ≤ x ≤ 25の値に対して、 y = x ³です。

算術と代数において、数nの立方とは、その3乗、つまりnを3つ掛け合わせた結果です。数nの立方とは、上付き文字^の3を用いてn ³と表されます。例えば、2 ³ = 8 です。立方演算は、他の数式に対しても定義できます。例えば、( x + 1) ^{3 です}。

立方とは、その数をその2乗で掛け合わせた数でもあります。

n ³ = n × n ² = n × n × n

3乗関数は、数をその立方体に写像する関数 x ↦ x ³（多くの場合、y = x ³と表記されます）です。奇関数であり、

(− n ) ³ = −( n ³ )です。

幾何学的な立方体の体積は、その辺の長さの3乗であるため、この名前が付けられています。立方体がnである数を求める逆演算は、 nの立方根を求めると呼ばれます。これは、与えられた体積の立方体の辺を決定します。これはnの3分の1乗でもあります。

3乗関数のグラフは、3次放物線として知られています。3乗関数は奇関数であるため、この曲線は原点に対称中心を持ちますが、対称軸はありません。

整数の場合

立方数、完全立方数、または単に立方数とは、整数の立方数です。60⁻³までの非負完全立方数は^次のとおりです（OEISのシーケンスA000578）。

0⁻³ =	0
1⁻³ =	1	11⁻³ =	1331	21⁻³ =	9261	31⁻³ =		41⁻³ =		51⁻³ =	132651
2⁻³ =	8	12⁻³ =	1728	22⁻³ =	10648	32⁻³ =		42⁻³ =	74088	52⁻³ =
3 3 =	27	13 3 =	2197	23 3 =	12,167	33 3 =	35,937	43 3 =	79,507	53 3 =	148,877
4 3 =	64	14 3 =	2744	24 3 =	13,824	34 3 =	39,304	44 3 =	85,184	54 3 =	157,464
5 3 =	125	15 3 =	3375	25 3 =	15,625	35 3 =	42,875	45 3 =	91,125	55 3 =	166,375
6 3 =	216	16 3 =	4096	26 3 =	17,576	36 3 =	46,656	46 3 =	97,336	56 3 =	175,616
7 3 =	343	17 3 =	4913	27 3 =	19,683	37 3 =	50,653	47 3 =	103,823	57 3 =	185,193
8 3 =	512	18 3 =	5832	28 3 =	21,952	38 3 =	54,872	48 3 =	110,592	58 3 =	195,112
9 3 =	729	19 3 =	6859	29 3 =	24,389	39 3 =	59,319	49 3 =	117,649	59 3 =	205,379
10 3 =	1000	20 3 =	8000	30 3 =	27,000	40 3 =	64,000	50 3 =	125,000	60 3 =	216,000

幾何学的に言えば、正の整数mが完全立方体であるためには、m個の立体単位立方体をより大きな立体立方体に配置できる必要があります。例えば、 3 × 3 × 3 = 27となるため、 27個の小さな立方体をルービックキューブのような大きな立方体に配置できます。

連続する整数の立方体の差は次のように表すことができます。

n ³ − ( n − 1) ³ = 3( n − 1) n + 1。

または

( n + 1) ³ − n ³ = 3( n + 1) n + 1。

負の整数の立方体は負であるため、最小の完全立方体は存在しません。例えば、(−4) × (−4) × (−4) = −64。

10進数

完全平方数とは異なり、完全立方数では下2桁の数字の可能性は少なくありません。5で割り切れる立方数（下2桁は25、75、00のみ）を除き、下2桁が奇数である任意の数字の組み合わせが、完全立方数の下2桁として出現する可能性があります。偶数立方数の場合はかなりの制限があり、00、o2、e4、o6、e8のみが完全立方数の下2桁として出現する可能性があります（oは任意の奇数、eは任意の偶数を表します）。立方数の中には平方数でもあるものがあります。例えば、64は平方数（8×8）であり、立方数（4×4×4）でもあります。これは、数が完全6乗（この場合は2× ⁶）である場合にのみ発生します。

それぞれの3乗の下2桁は次のとおりです。

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

しかし、ほとんどの数は完全立方数ではないことは簡単に示せます。なぜなら、すべての完全立方数は必ず数値ルートが 1、8、または9になるからです。つまり、9を法とする値は0、1、8のみになります。さらに、任意の数の立方数の数値ルートは、その数を3で割ったときの余りによって決定できます。

• 数xが3で割り切れる場合、その立方数の数値ルートは9です。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (actually}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• 3で割ったときの余りが1の場合、その立方数の数値ルートは1です。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• 3で割ったときの余りが2の場合、その立方数の数値ルートは8です。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

2つの立方数の和

3つの立方数の和

9を法として±4と合同でないすべての整数（正または負）は、3つの（正または負の）立方数の和として無限通り書き表せると予想されます。 ^[1]例えば、9を法として±4と合同な整数は、3つの立方数の和として書き表すことができないため除外されます。 ${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$

そのような和が知られていない最小の整数は114です。2019年9月、3つの立方数の和が知られていない、これまで最小の整数は42で、この式を満たすことが分かりました。^[2]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

の1つの解は、 n ≤ 78、かつnが9を法として4または5と合同でない場合、以下の表に示されている。選択される解は、原始的（gcd( x , y , z ) = 1 ）であり、または（解の無限族であるため）の形ではなく、 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z |を満たし、| z |と| y |の値が最小である（この順序でテストされる）ものである。^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ ${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$ ${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$

非原始解はnの値が小さい場合の解から自明に演繹できるため、原始解のみが選択されます。例えば、n = 24の場合、解はすべてを で乗じた解から得られます。したがって、これも選択される解です。同様に、n = 48の場合、解( x , y , z ) = (-2,-2,4)は除外され、選択される解( x , y , z ) = (-23,-26,31)となります。 ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$ ${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$ ${\displaystyle 8=2^{3}.}$

nが1から78の  場合の原始解
n	x	y	z		n	x	y	z
1	9	10	-12		39	117 367	134 476	-159 380
2	1 214 928	3 480 205	-3 528 875		42	12 602 123 297 335 631	80 435 758 145 817 515	−80 538 738 812 075 974
3	1	1	1		43	2	2	3
6	−1	−1	2		44	−5	−7	8
7	0	−1	2		45	2	−3	4
8	9	15	−16		46	−2	3	3
9	0	1	2		47	6	7	−8
10	1	1	2		48	−23	−26	31
11	−2	−2	3		51	602	659	−796
12	7	10	−11		52	23 961 292 454	60 702 901 317	−61 922 712 865
15	−1	2	2		53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626		54	−7	−11	12
17	1	2	2		55	1	3	3
18	−1	−2	3		56	−11	−21	22
19	0	−2	3		57	1	−2	4
20	1	−2	3		60	−1	−4	5
21	−11	−14	16		61	0	−4	5
24	−2 901 096 694	−15 550 555 555	15 584 139 827		62	2	3	3
25	−1	−1	3		63	0	−1	4
26	0	−1	3		64	−3	−5	6
27	−4	−5	6		65	0	1	4
28	0	1	3		66	1	1	4
29	1	1	3		69	2	−4	5
30	−283 059 965	−2 218 888 517	2 220 422 932		70	11	20	−21
33	−2 736 111 468 807 040	−8 778 405 442 862 239	8 866 128 975 287 528		71	−1	2	4
34	−1	2	3		72	7	9	−10
35	0	2	3		73	1	2	4
36	1	2	3		74	66 229 832 190 556	283 450 105 697 727	−284 650 292 555 885
37	0	−3	4		75	4 381 159	435 203 083	−435 203 231
38	1	−3	4		78	26	53	−55

フェルマーの立方体の最終定理

方程式x ^≠ + y ^≠ = z ^{≠ は、}整数において非自明な（すなわちxyz ≠ 0）解を持ちません。実際、アイゼンシュタイン整数においては、この解は存在しません。^[6]

これらの記述は両方とも、方程式^[7] x ^≠ + y ^≠ = 3 z ^≠についても成り立ちます。

最初のn立方数の和

最初のn個の立方数の和は、n 番目の三角数の2乗です。

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

1 ^≒ 3 ⁺ 2 ≒ 3 + ^{3 ≒} 4 ^≒ 5 ≒ ³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ≒ ^{2 で}あることの視覚的証明。

証明。チャールズ・ホイートストン （1854）は、和の各立方数を連続する奇数の集合に展開することにより、特に簡単な導出を与えています。彼はまず、恒等式を与えます。

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.}$

この恒等式は、三角数 と次のように関係しています ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

そして、加数の形成は、それまでのすべての値の形成の直後から始まります。この性質を、もう1つのよく知られた恒等式とともに適用すると、次のようになります ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle 1^{3}}$ ${\displaystyle (n-1)^{3}}$

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

以下の導出が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

三角数の2乗が3乗の和に等しいことを視覚的に証明する。

より最近の数学文献では、Stein (1971) はこれらの数の長方形計数解釈を用いて恒等式の幾何学的証明を行っています（Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 も参照）。彼は、帰納法によっても容易に（しかし情報量は少ないものの）証明できることを指摘し、Toeplitz (1963) が「興味深い古いアラビア語の証明」を提供していると述べています。Kanim (2004) は純粋に視覚的な証明を提供し、Benjamin & Orrison (2002) は2つの追加の証明を提供し、Nelsen (1993) は7つの幾何学的証明を提供しています。

例えば、最初の5つの立方数の和は、5番目の三角数の2乗です。

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

最初のy個の 奇数立方数 の和についても同様の結果が得られます。

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

ただし、x、yは負のペル方程式 x ² − 2 y ² = −1を満たす必要があります。例えば、y = 5と29の場合、

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

以下同様です。また、最小数を除くすべての偶数 完全数は、最初の2つの ^{p −1 / 2}
奇数立方数（p = 3、5、7、…）の和です。

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

等差数列における数の立方数の和

プラトンの数の1つの解釈、3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³

等差数列における数の立方数で、和が立方数になる例があります

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

最初のものは、謎めいたプラトン数と呼ばれることもあります。 等差数列のn個の数の立方数の和を求め、 公差がdで最初の立方数がa ^3である公式Fは、

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

によって与えられます。

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

の媒介変数解は、

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

1829年にパリアーニによって発見された、d = 1 、つまり連続する立方数の特殊なケースで知られています。 ^[8]

連続する奇数の和としての立方数

奇数の列1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、…において、最初のものは立方数（1 = 1 ³）、次の2つの和は次の立方数（3 + 5 = 2 ³）、次の3つの和は次の立方数（7 + 9 + 11 = 3 ³）などです。

立方数に関するウォーリングの問題

すべての正の整数は、9個（またはそれ以下）の正の立方数の和として表すことができます。この9個の立方数の上限は、例えば23は9個未満の正の立方数の和として表すことができないため、減らすことはできません

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 3 + ^{1 3} + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³

有理数において

すべての正の有理数は、3つの正の有理数の立方数の和です。^[9]また、2つの有理数の立方数の和ではない有理数も存在します。^[10]

実数、その他の体、環において

直交平面上にプロットされたy = x ³

実数において、3次関数は順序を保存します。つまり、数が大きいほど3次関数も大きくなります。言い換えれば、3次関数は（厳密に）単調に増加します。また、その余域は実数直線全体です。関数x ↦ x ³  : R → Rは全射です（すべての可能な値を取ります）。自身の3次関数に等しい数は、-1、0、1の3つだけです。-1 < x < 0または1 < xの場合、x ³ > xです。x < -1または0 < x < 1の場合、x ³ < xです。前述のすべての性質は、実数の任意の高次の奇数乗（x ⁵、x ⁷ 、…）にも当てはまります。 等式と不等式は、任意の順序付き環においても成り立ちます

相似ユークリッド立体の体積は、その線形サイズの立方体として関係付けられます。

複素数において、純虚数の立方体もまた純虚数です。例えば、i ³ = − iです。

x ³の導関数は3 x ²です。

立方体は他の体でも時折、射影性を持ちます。例えば、p ≠ 1 (mod 3)となるような素数pの場合、 F _pでは射影性を持ちます。 ^[11]ただし、必ずしもそうとは限りません。上記の有理数に関する反例を参照してください。また、F ₇では、合計7つの元のうち、0、±1の3つだけが完全立方体です。−1、0、1はどこでも完全立方体であり、体の元の中で、自身の立方体と等しいのはx ³ − x = x ( x − 1)( x + 1)です。

歴史

大きな数の立方を求めることは、多くの古代文明において非常に一般的でした。メソポタミアの数学者は、古バビロニア時代（紀元前20世紀から16世紀）までに、立方数と立方根を計算するための表を記した楔形文字の粘土板を作成しました。 ^{[12] [13]}三次方程式は古代ギリシャの数学者ディオファントスにも知られていました。^[14] アレクサンドリアのヘロンは、紀元1世紀に立方根を計算する方法を考案しました。^[15]三次方程式を解き、立方根を求める方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、紀元3世紀に劉徽によって注釈が付けられた中国の数学書『九章算術』に記載されています。^[16]

関連項目

• キャブタクシ数
• 三次方程式
• 立方数の2倍
• 8乗
• オイラーの累乗和予想
• 第五乗
• 第四乗
• ケプラーの惑星運動の法則#第三法則
• モンキーサドル
• 完全乗
• 第七乗
• 第六乗
• 平方
• タクシー番号

注記

1. Unicodeの上付き文字³は、 n³のようにタイプセットにも使用できます。

参考文献

1. Huisman, Sander G. (2016年4月27日). "Newer sums of three cubes". arXiv : 1604.07746 [math.NT]
2. Booker, Andrew R.; Sutherland, Andrew V. (2021). 「Mordellの問題について」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 118 (11) e2022377118. arXiv : 2007.01209 . Bibcode : 2021PNAS..11822377B. doi : 10.1073/pnas.2022377118 . PMC 7980389. PMID  33692126. 
3. OEISの配列A060465、A060466、A060467
4. Threecubes
5. n=x^3+y^3+z^3
6. Hardy & Wright, Thm. 227
7. Hardy & Wright, Thm. 232
8. Bennett, Michael A.; Patel, Vandita; Siksek, Samir (2017), "Perfect powers that are sums of consecutive cubes", Mathematika, 63 (1): 230–249, arXiv:1603.08901, doi:10.1112/S0025579316000231, MR 3610012
9. Hardy & Wright, Thm. 234
10. Hardy & Wright, Thm. 233
11. F _pの乗法群は位数p − 1 の巡回群であり、3で割り切れない場合、立方体は群の自己同型性を定義する。
12. Cooke, Roger (2012年11月8日). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0。
13. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia . Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN  978-0-313-29497-6。
14. Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
15. スミリー、J. ギルバート (1920). 「立方根のヘロンの公式」.ヘルマセナ. 19 (42). トリニティ・カレッジ・ダブリン: 64–67 . JSTOR  23037103.
16. クロスリー、ジョン; ルン、アンソニー (1999). 『数学の技巧に関する9つの章：手引きと解説』. オックスフォード大学出版局. 176, 213ページ. ISBN 978-0-19-853936-0。

出典

• ベンジャミン、アーサー・T.；オリソン、マイケル・E.（2002年11月）「Σ k = 1 nk 3 = ( \smallmatrix n+1 2 \endsmallmatrix ) 2 の2つの簡単な組合せ論的証明」（PDF）。カレッジ数学ジャーナル。33 （5）：406。doi ：10.2307/1559017。JSTOR  1559017。
• ベンジャミン、アーサー・T.；クイン、ジェニファー・J.；ワーツ、カリッサ（2006年11月1日）「長方形を数えて 立方体を合計する」。カレッジ数学ジャーナル。37（5）：387–389。doi ： 10.2307/27646391。JSTOR 27646391
• ハーディ、GH、ライト、EM（1980年）『数論入門（第5版）』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN   978-0-19-853171-5。
• カニム、キャサリン（2004年10月1日）「言葉を使わない証明：立方体の和：アルキメデスの平方和の拡張」『数学マガジン』77 (4): 298-299 . doi :10.2307/ 3219288 . JSTOR  3219288.
• ネルセン、ロジャー・B（1993年）『言葉を使わない証明：視覚的思考の練習』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-88385-700-7。
• スタイン、ロバート・G. (1971年5月1日). 「Σ k3 = (Σ k)2 の組合せ論的証明」.数学マガジン. 44 (3): 161–162 . doi :10.2307/2688231. JSTOR  2688231
• トゥープリッツ、オットー(1963). 『微積分：遺伝的アプローチ』. シカゴ：シカゴ大学出版局. ISBN 978-0-226-80667-9。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ホイートストン、C. (1854). 「等差数列からのべき乗の形成について」.ロンドン王立協会紀要. 7 : 145–151 .書誌コード: 1854RSPS....7..145W. doi : 10.1098/rspl.1854.0036. S2CID  121885197.

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