関係（数学）

数学において、関係とは、集合内の2 つのオブジェクト間の何らかの関係を表します。この関係は、成立する場合もあれば、成立しない場合もあります。^[1]たとえば、「はより小さい」は自然数の集合上の関係です。この関係は、たとえば、値 $1$ と $3の間 ($ $1 < 3$ と表記)、同様に $3$ と $4の間 ($ $3 < 4$ と表記) に成立しますが、値 $3$ と $1 の$ 間や $4$ と $4$ の間では成立しません。つまり、 $3 < 1$ と $4 < 4$ は両方とも false と評価されます。別の例として、「は姉妹である」はすべての人物の集合上の関係であり、たとえばMarie CurieとBronisława Dłuskaの間で成立し、同様にその逆も同様です。集合のメンバーは、「ある程度」関係にあるとは限りません。つまり、関係にあるか、ないかのどちらかです。

正式には、集合 $X$ 上の関係 $Rは、$ $X$ の要素の順序付きペア $($ $x$ $、$ $y$ $)$ の集合と見なすことができます。^[2] $($ $x$ $、$ $y$ $)が$ $R$ の要素である場合、 $x$ と $y$ の間に関係 $R$ が成り立ちます。たとえば、自然数上の関係「はより小さい」は、 $(1,3)$ と $(3,4)$ の両方を含み、 $(3,1)$ と $(4,4)のどちらも含まない、自然数のペアの$ 無限集合 $R$ $より小さいです$ 。1 桁の自然数の集合上の関係「はの非自明な約数である」は、ここに示すほど十分に小さいです。 $R$ $dv$ $= { (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8) }$ 。例えば、 $2は$ $8$ の非自明な約数ですが、その逆は当てはまりません。したがって、 $(2,8) \in$ $R$ $dv$ ですが、 $(8,2) \notin$ $R$ $dv です$ 。

$R が$ $x$ と $y$ に関して成り立つ関係である場合、しばしば $xRy$ と表記されます。数学における一般的な関係のほとんどには、特別な記号が導入されています。例えば、「より小さい」を表すには「 $<$ 」、「約数である」を表すには「 $|$ 」、そして「等しい」を表すには最も一般的な「 $=$ 」が用いられます。例えば、「 $1 < 3$ 」、「 $1は$ $3$ より小さい」、「 $(1,3) \in$ $R$ $より小さい$ $」はすべて同じ意味です。「 (1,3) \in (<)$ 」と書く人もいます。

関係の様々な特性が調査される。関係 $Rは、$ $xRx が$ $すべてのx$ に対して成り立つ場合反射的であり、 $xRx が$ $どのx$ に対しても成り立たない場合非反射的である。 $xRy が$ 常に $yRx$ を意味する場合対称的であり、 $xRy が$ $yRx$ が不可能を意味する場合非対称的である。 $xRy$ と $yRz$ が常に $xRz$ を意味する場合推移的である。例えば、「はより小さい」は非反射的、非対称的、推移的であるが、反射的でも対称的でもない。「はの姉妹」は反射的（例えばピエール・キュリーは自身の姉妹ではない）でも対称的でも非対称的でもない。非反射的かどうかは定義の問題かもしれないが（すべての女性は自身の姉妹か？）、^「はの祖先」は推移的であるが、「はの親」は推移的ではない。関係特性の組み合わせに関する数学的定理が知られている。例えば、「推移的関係が非対称である場合、かつその場合に限り非反射的である」などである。

特に重要なのは、特定の性質の組み合わせを満たす関係です。半順序とは、反射的、反対称的、推移的な関係です。^[3]同値関係とは、反射的、対称的、推移的な関係です。[ ^4]関数とは、右一意かつ左全である関係です（下記参照）。^[5]^[6]

関係は集合であるため、和集合、積集合、補集合などの集合演算を用いて操作することができ、集合代数へと導くことができる。さらに、関係の計算には、逆元を求める演算や関係を合成する演算も含まれる。^[7]^[8]^[9]

^{上記の関係[b]}の概念は、2 つの異なる集合のメンバー間の関係 (幾何学におけるすべての点の集合とすべての直線の集合の間の「は上にある」のような異種関係)、3 つ以上の集合間の関係 ( 「人 $x は$ 時刻 $z$ に町 $y$ に住んでいる」のような有限関係)、およびクラス間の関係^[c] (すべての集合のクラス上の「はの要素である」のような、二項関係 § 集合とクラスを参照) を認めるように一般化されています。

意味

集合 $Xが与えられたとき、$ $X$ 上の関係 $Rは$ $X$ の要素の順序付きペアの集合であり、正式には $R$ $\subseteq { ($ $x$ $,$ $y$ $) |$ $x$ $,$ $y$ $\in$ $X$ $}$ となる。^[2]^[10]

$(x, y) \in R$ は「 $xは$ $yと$ $R$ に関連している」という意味で、中置記法では $xRy$ と書きます。^[7]^[8]要素の順序は重要です。x ≠ y の場合、 $yRx$ $は$ xRy $と$ $は$ $独立$ に真または偽になります。例えば、 $3は$ $9 を$ 割り切れますが、 $9 は$ $3$ を割り切れません。

関係の表現

y ×	1	2	3	4	6	12
1
2
3
4
6
12
$R div$ をブール行列として表現する

有限集合 $X$ 上の関係 $R$ は次のように表すことができます。

有向グラフ: $X$ の各メンバーは頂点に対応します。 $xから$ $y$ への有向エッジは、 $(x 、 y) \in R$ の場合にのみ存在します。
ブール行列: $X$ の要素は $x 1$ , ..., $x n$ の固定された順序で並べられます。行列の次元は $n \times nで、$ $i$ 行 $j$ 列の要素は、 $(x i, x j) \in R$ の場合、かつ、さもないと。
2D プロット: ブール行列の一般化として、実数の無限集合 $R$ 上の関係を2 次元の幾何学的図形として表すことができます。直交座標を使用して、 $($ $x$ $、$ $y$ $) \in$ $R$ の場合は常に $($ $x$ $、$ $y$ $)$ に点を描きます。

有限集合 $X$ 上の推移的^[d]関係 $R$ は次のようにも表される。

ハッセ図： $X$ の各要素は頂点に対応し、有向辺は、 $($ $x$ $,$ $y$ $)$ $\inR$ の場合にのみ $x$ から $y$ への有向パスが存在するように描画されます。有向グラフ表現と比較して、ハッセ図では必要な辺の数が少なく、より複雑な図が得られます。「 $xから$ $y$ への有向パスが存在する」という関係は推移的であるため、ハッセ図では推移的な関係のみを表現できます。通常、図はすべての辺が上向きになるように配置され、矢印は省略されます。

例えば、 $12$ のすべての約数の集合において、関係 $R divを$ 次のように定義する。

xが

y

の約数であり、

x \neq y

の場合

、 x

R

div

y と

なります。

正式には、 $X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }$ であり、 $R div = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12) } である。R$ $div$ $を$ ブール行列として表現したものを中央の表に示し、ハッセ図と有向グラフの両方として表現したものを左の図に示す。

以下は同等です:

$x R div y$ は真です。
$(x, y) \in R div$ 。
$R$ $div$ を表すハッセ図には、 $xから$ $y$ へのパスが存在します。
$R$ $div$ を表す有向グラフには、 $xから$ $y$ へのエッジが存在します。
$R div$ を表すブール行列において、行 $x$ 、列 $y$ の要素は「「」。

$別の例として、 R$ 上の関係 $R elを$ 次のように定義する。

x 2 + xy + y 2 = 1

の場合

、 x

R

el

y となります

。

$R el$ を2次元プロットで表現すると楕円が得られます（右図参照）。R $は$ 有限ではないため、有向グラフ、有限ブール行列、ハッセ図のいずれも $R el$ を表すのに使用できません。

関係の性質

集合 $X$ 上の関係 $R$ が持つ可能性のある重要な特性は次のとおりです。

反射的: $すべてのx \in X$ に対して $xRx が成り立ちます$ 。例えば、 $\geq$ は反射関係ですが、 $>$ は反射関係ではありません。

非反射的（または厳密）: すべての $x \in X$ に対して成り立ちますが、 $xRx$ に対しては成り立ちません。例えば、 $>$ は非反射的な関係ですが、 $\geq$ はそうではありません。

前の 2 つの選択肢は網羅的ではありません。たとえば、下の図に示す赤い関係 $y = x 2$ $は、ペア(0,0)$ を含みますが、ペア $(2,2)$ を含まないため、非反射的でも反射的でもありません。

対称的: $すべてのx, y \in X$ について、 $xRy$ ならば $yRx が$ 成り立ちます。例えば、「は〜の血縁者である」は対称関係です。なぜなら、 $x が$ $y$ の血縁者であるためには、 $y が$ $x$ の血縁者である必要があるからです。

反対称: $すべてのx, y \in X$ に対して、 $xRy$ かつ $yRx$ ならば $x = y$ となる。例えば、 $\geq$ は反対称関係であり、 $>$ も同様であるが、これは空虚な関係である（定義中の条件は常に偽である）。^[11]

非対称: $すべてのx, y \in X$ について、 $xRyならば$ $yRx$ ではない。関係が非対称となるのは、反対称かつ非反射的な場合のみである。^[12]例えば、 $>$ は非対称関係であるが、 $\geq は$ そうではない。

繰り返しますが、前の 3 つの選択肢は網羅的ではありません。自然数の例として、 $x$ $> 2$ で定義される関係 $xRy$ は対称的 (たとえば、 $5$ $R$ $1$ だが $1$ $R$ $5$ ではない) でも反対称的 (たとえば $、 6$ $R$ $4$ だが $4$ $R$ $6$ でもある) でもなく、ましてや非対称的ではありません。

推移的: $すべてのx, y, z \in X$ について、 $xRy$ かつ $yRz$ ならば $xRz と$ なる。推移関係が非反射的であるのは、それが非対称的である場合に限ります。^[13]例えば、「〜の祖先である」は推移関係ですが、「〜の親である」は推移関係ではありません。

接続: $すべてのx, y \in X$ に対し、 $x \neq y$ ならば $xRy$ または $yRx$ 。例えば、自然数では $<$ は連結されているが、「はの約数である」は連結されていない（例えば、 $5 R 7$ でも $7 R 5$ でもない）。

強くつながっている: $すべてのx, y \in X$ 、 $xRy$ 、 $yRx$ に対して成り立ちます。例えば、自然数では、 $\leq$ は強連結ですが、 $< は$ 強連結ではありません。関係が強連結であるためには、連結かつ反射的である必要があります。

一意性特性

単射^[e]（左一意^[14]とも呼ばれる）: $すべてのx, y, z \in X$ について、 $xRy$ かつ $zRy$ ならば $x = z$ 。例えば、図の緑と青の関係は単射ですが、赤の関係は単射ではありません（ $-1$ と $1 の両方が$ $1$ に関係するため）。黒の関係も単射ではありません（ $-1$ と $1 の両方が$ $0$ に関係するため）。
関数型^[15]^[16]^[17]^[e]（右一意型^[14] 、右確定型^[18]、一価型^[9]とも呼ばれる）: $すべてのx, y, z \in X$ について、 $xRy$ かつ $xRz$ ならば $y = z$ が成り立ちます。このような関係は部分関数と呼ばれます。例えば、図の赤と緑の関係は関数ですが、青の関係は関数ではありません（ $1を$ $-1$ と $1の$ 両方に関連付けるため）。また、黒の関係も関数ではありません（0を-1と1の両方に関連付けるため）。

全体性特性

シリアル^[e]（合計または左合計とも呼ばれる）: $すべてのx \in X$ に対して、 $xRy$ となるような $y \in X$ が存在する。たとえば、図の赤と緑の関係は完全だが、青の関係は完全ではない（ $-1 を$ どの実数にも関連付けていないため）。黒の関係も完全ではない（ $2 を$ どの実数にも関連付けていないため）。別の例として、 $>$ は整数にわたって直列関係である。しかし、正の整数にわたっては直列関係ではない。なぜなら、 $1 >$ $y$ となるような正の整数には $y が$ 存在しないからである。^[19]ただし、 $<$ は正の整数、有理数、実数にわたって直列関係である。すべての反射関係は直列である。つまり、与えられた $x$ に対して、 $y$ $=$ $x$ を選択する。

全射^[e]（右全^[14]または全射とも呼ばれる）: $任意のy \in Y$ に対して、 $xRy$ となるような $x \in X$ が存在する。例えば、図の緑と青の関係は射影的であるが、赤の関係は射影的ではない（どの実数も $-1に関連しないため）。黒の関係も射影的ではない（どの実数も$ $2$ に関連しないため）。

プロパティの組み合わせ

財産による関係
	反射性	対称	推移性	つながり	例
半順序	反射	反対語	はい		サブセット
厳密な半順序	イレフル	非対称	はい		厳密なサブセット
合計注文	反射	反対語	はい	はい	アルファベット順
厳密な全順序	イレフル	非対称	はい	はい	厳密なアルファベット順
同値関係	反射	シン	はい		平等

上記の特性の特定の組み合わせを満たす関係は特に有用であるため、独自の名前が付けられています。

同値関係: 反射的、対称的、推移的な関係。これらの特性は反射性を意味するため、対称的、推移的、直列的な関係でもある。

注文

半順序: 反射的、反対称的、推移的な関係。

厳密な半順序: 非反射的、非対称的、推移的な関係。

合計注文: 反射的、反対称的、推移的、連結的な関係。^[20]

厳密な全順序: 非反射的、非対称的、推移的、かつ連結的な関係。

一意性特性

一対一^[e]: 単射かつ関数的。例えば、図の緑の関係は1対1ですが、赤、青、黒の関係は1対1ではありません。
1対多^[e]: 単射的であり、関数的ではありません。例えば、図の青い関係は1対多ですが、赤、緑、黒の関係はそうではありません。
多対一^[e]: 関数的であり、単射的ではありません。例えば、図の赤い関係は多対一ですが、緑、青、黒の関係は多対一ではありません。
多対多^[e]: 単射でも関数的でもない。例えば、図の黒い関係は多対多ですが、赤、緑、青の関係は多対多ではありません。

一意性と全体性

関数[^e]: 関数的かつ完全な関係。例えば、図中の赤と緑の関係は関数ですが、青と黒の関係は関数ではありません。
注射^[e]: 単射的な関数。例えば、図の緑の関係は単射ですが、赤、青、黒の関係は単射ではありません。
一射影^[e]: 射影的な関数。例えば、図の緑の関係は射影的ですが、赤、青、黒の関係は射影的ではありません。
一対一表現^[e]: 単射かつ全射である関数。例えば、図の緑の関係は単射ですが、赤、青、黒の関係は単射ではありません。

関係に対する操作

ユニオン^[f]: $R$ と $Sが$ $X$ 上の関係である場合、 $R \cup S = { (x, y) | xRy または xSy}は$ $R$ と $S$ の和集合関係です。この演算の単位元は空関係です。例えば、 $\leqは$ $<$ と $=$ の和集合であり、 $\geq は$ $>$ と $=$ の和集合です。

交差点^[f]: $R$ と $Sが$ $X$ 上の関係である場合、 $R \cap S = { (x, y) | xRy と xSy}は$ $R$ と $S$ の交差関係です。この演算の単位元は普遍関係です。例えば、「同じスートの低いカードである」は、「より低いカードである」と「同じスートに属する」の交差です。

構成^[f]: $R$ と $Sが$ $X$ 上の関係である場合、 $S \circ R = { (x 、 z ) | y \in X が存在し、 xRy および ySz} ($ $R; S$ とも表記) は $R$ と $S$ の相対積です。単位元は恒等関係です。ここで使用する表記 $S$ $\circ$ $Rにおける$ $R$ と $S$ の順序は、関数の合成の標準的な表記順序と一致しています。たとえば、「〜の母親である」∘「 $〜$ の親である」という合成は「〜の母方の祖父母である」となり、また「〜の親である」 $\circ$ 「〜の母親である」という合成は「〜の祖母である」となります。前者の場合、 $xが$ $y$ の親で、 $y が$ $z$ の母親である場合、 $xは$ $z$ の母方の祖父母です。

コンバース^[f]: $Rが集合$ $X$ と $Y$ 上の関係である場合、 $R T = { (y, x) | xRy}は$ $R$ の $Y$ と $X$ 上の逆関係です。例えば、 $=$ はそれ自身の逆であり、 $\neq も$ 同様です。また、 $<$ と $>$ は互いの逆であり、 $\leq$ と $\geq も$ 同様です。

補数^[f]: $Rが$ $X$ 上の関係である場合、 $R = { (x, y) | x, y \in Xかつ xRy ではない} （$ $R$ または $\neg R$ とも表記）は $R$ の補関係です。例えば、 $=$ と $\neq は$ 互いに補関係であり、 $\subseteq$ と $⊈$ 、 $\supseteq$ と $⊉$ 、 $\in$ と $\notin$ も同様です。また、全順序の場合、 $<$ と $\geq$ 、 $>$ と $\leqも同様です。$ 逆関係 $R$ $T$ の補関係は、補関係の逆です。 ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

制限^[f]: $Rが$ $X$ 上の関係であり、 $Sが$ $X$ の部分集合である場合、 $R | S = { (x, y) | xRy かつ x, y \in S}$ は $Rから$ $S$ への制約関係。式 $R | S = { (x, y) | xRy かつ x \in S}$ は $Rから$ $S$ への左制約関係。式 $R | S = { (x, y) | xRy かつ y \in S}$ は $Rから$ $S$ への右制約関係。関係が反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移、全的、三分的、半順序、全順序、厳密な弱順序、全前順序(弱順序)、または同値関係である場合、その制約も同様です。ただし、推移閉包は推移閉包の制約のサブセットです。つまり、一般には等しくありません。たとえば、「 x は $y$ $の$ 親である $」という関係を女性に制限すると、「 x$ は女性 $y$ の母親である」という関係が生成されます。この推移閉包では、女性と父方の祖母は関連付けられません。一方、「〜の親である」の推移閉包は「〜の祖先である」であり、これを女性に制限すると、女性と父方の祖母は関連付けられます。

集合 $X$ と $Y$ の関係 $R$ は、 $R$ $\subseteq$ $S$ と書き $、 R$ $が$ $S$ の部分集合であるとき、つまりすべての $x$ $\in$ $X$ と $y$ $\in$ $Y$ について $、 xRy$ ならば $xSy$ $で$ あるとき、 $R が$ $S$ $に$ 含まれ $、 S$ が $R$ に含まれるとき、R $と$ S $は$ 等しいと $言い、 R$ $=$ $S$ と書きます $。 Rが$ $S$ に含まれるが $S が$ $R$ に含まれない場合、 $R$ は等しいと言います。 $S$ より小さい、 $R ⊊ S$ と。例えば有理数、関係 $>$ $\geq$ より小さく、合成 $> \circ >$ 。

関係に関する定理

関係が非対称となるのは、反対称かつ非反射的である場合のみです。
推移的な関係は、非対称である場合にのみ、非反射的です。
関係が反射的となるのは、その補関係が非反射的である場合のみです。
関係が強く接続されるのは、それが接続されていて反射的である場合のみです。
関係は、対称的である場合に限り、その逆関係と等しくなります。
関係は、その補関係が反対称である場合にのみ連結されます。
関係が強く結びついているのは、その補関係が非対称である場合に限ります。^[21]
RとSが集合X上の関係であり、RがSに含まれる場合、
- $R$ が再帰的、連結的、強連結的、左合計的、または右合計的である場合、 $S$ も同様です。
- $S$ が非反射的、非対称的、反対称的、左一意的、または右一意的である場合、 $R$ も同様です。
関係は、その逆がそれぞれ反射的、非反射的、対称的、非対称的、反対称的、連結的、強く連結的、推移的である場合に、それぞれ反射的、非反射的、対称的、非対称的、反対称的、連結的、強く連結的、推移的となります。

例

厳密な順序を含む順序関係:
- より大きい
- より大きいか等しい
- 未満
- 以下
- 均等に割る
- サブセット
同値関係：
- 平等
- と平行（アフィン空間の場合）
- は単射である
- 同型
許容関係、反射的かつ対称的な関係：
- 依存関係、有限許容関係
- 独立関係、依存関係の補完
親族関係

一般化

上記の関係の概念は、2つの異なる集合の要素間の関係を許容するように一般化されています。集合 $X$ と $Y$ が与えられたとき、 $X$ と $Y$ 上の異種関係 $R$ $は{ ($ $x$ $、$ $y$ $) |$ $x$ $\in$ $X$ $、$ $y$ $\in$ $Y$ $}$ のサブセットです。^[2]^[22] $X$ $=$ $Y$ のとき、上記の関係の概念が得られます。これは、その一般化と区別するために、同種関係(または自己内関係) ^[23]^{[24]と呼ばれることがよくあります。}^[e]と^[f]でそれぞれマークされている上記のプロパティと操作は、異種関係にも一般化されます。異種関係の例としては、「海 $x は$ 大陸 $y$ に接する」などがあります。最もよく知られている例は、 $sqrt :$ $N$ $\to$ $R$ $+$ などの、異なる定義域と値域を持つ関数^[g]です。

参照

発生構造、点と線の集合間の異質な関係
順序理論は、順序関係の性質を研究する。
関係代数

注記

^ そうであれば、「 is sister of 」も推移的になります。
一般化からの描写が重要な場合には「同次二項関係（集合上）」と呼ばれる
^ 集合の一般化
^ 下記参照
^ abcdefghijklm これらの特性は異種関係にも一般化されます。
^ abcdefg この操作は異種関係にも一般化されます。
^ つまり、右は一意、左は合計は異質な関係である

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[3] そうであれば、「 is sister of 」も推移的になります。

[11] 一般化からの描写が重要な場合には「同次二項関係（集合上）」と呼ばれる

[12] 集合の一般化

[14] 下記参照

[heterogeneous-18] これらの特性は異種関係にも一般化されます。

[heterogeneous_operation-26] この操作は異種関係にも一般化されます。

[31] つまり、右は一意、左は合計は異質な関係である

[1] ストール、ロバート・R. (1963).集合論と論理. サンフランシスコ、カリフォルニア州: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4。 {{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）

[FOOTNOTECodd1970-2] コッド 1970

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_14-4] ハルモス 1968、第14章

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_7-5] ハルモス 1968、第7章

[6] 「関係の定義 – Math Insight」. mathinsight.org . 2019年12月11日閲覧。

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_8-7] ハルモス 1968、第8章

[Schroder.1895-8] Ernst Schröder (1895) Algebra und Logic der Relative、インターネットアーカイブ経由

[Lewis.1918-9] CI Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic、pp. 269–279、インターネットアーカイブ経由

[FOOTNOTESchmidt2010Chapt._5-10] Schmidt 2010、第5章

[FOOTNOTEEnderton1977Ch_3._p._40-13] エンダートン 1977年、第3章、40ページ

[FOOTNOTESmithEggenSt._Andre2006160-15] スミス、エッゲン、セントアンドレ、2006、p. 160

[FOOTNOTENievergelt2002[httpsbooksgooglecombooksid_H_nJdagqL8CpgPA158_158]-16] ニーバーゲルト 2002, p. 158

[FOOTNOTEFlaškaJežekKepkaKortelainen2007p.1_Lemma_1.1_(iv)._This_source_refers_to_asymmetric_relations_as_"strictly_antisymmetric".-17] Flaška et al. 2007, p.1 補題1.1 (iv). この文献では、非対称な関係を「厳密に反対称的」と呼んでいます。

[kkm-19] Kilp, Knauer & Mikhalev 2000, p. 3. 同じ4つの定義が以下の文献にも見られる: Pahl & Damrath 2001, p. 506, Best 1996, pp. 19–21, Riemann 1999, pp. 21–22

[20] ヴァン・ガスターレン 1990、45ページ。

[21] 「関数関係 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2024年6月13日閲覧。

[22] 「nLabにおける機能関係」ncatlab.org . 2024年6月13日閲覧。

[FOOTNOTEMäs2007-23] 2007年以降

[FOOTNOTEYaoWong1995-24] ヤオ＆ウォン 1995

[FOOTNOTERosenstein19824-25] ローゼンスタイン 1982, 4ページ

[FOOTNOTESchmidtStröhlein1993-27] シュミット＆シュトロライン 1993

[28] エンダートン 1977年、第3章、40ページ

[FOOTNOTEMüller201222-29] ミュラー 2012、22ページ

[FOOTNOTEPahlDamrath2001496-30] パール＆ダムラス 2001、496ページ

v t e 関数
歴史具体的な機能一覧
ドメインとコドメインによる型	$X \to 𝔹$ $𝔹 \to X$ $𝔹ⁿ \to X$ $X \to ℤ$ $ℤ \to X$ $X \to ℝ$ $ℝ \to X$ $ℝⁿ \to X$ $X \to ℂ$ $ℂ \to X$ $ℂⁿ \to X$
クラス/プロパティ	絶え間ない身元リニア多項式ラショナル代数的分析的スムーズ連続測定可能単射射影的全単射
建設	制限構成 λ 逆
一般化	関係（二項関係）設定値多値部分的暗黙空間高次のモルフィズムファンクタ
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