位数6の二面体群

Non-commutative group with 6 elements

三角形の順列を含むケーリーグラフ

3 要素の順列行列を持つサイクル グラフ
(生成元aとbは、上記の Cayley グラフと同じです。)

順列行列の乗算表としてのケーリー表

ケーリー表における 6 つの要素の位置
中立要素のみが主対角線に対して対称であるため、このグループはアーベル群ではありません。

一般（および特殊）線型群 GL(2, 2)としてのケーリー表

数学において、D ₃ （ D ₆と表記されることもある）は、次数3、位数6の二面体群である。対称群S ₃と同型である。また、最小の非可換群でもある。^[1]

このページでは、このグループを例として、さまざまなグループの概念を説明します。

正三角形の対称性

二面体群 D _3は正三角形の対称群であり、すなわち、この三角形の形状と位置を固定するすべての剛体変換（鏡映、回転、およびこれらの組み合わせ）の集合である。D ₃の場合、三角形の頂点のあらゆる可能な順列がこのような変換を構成するため、これらの対称群は、 3つの異なる要素のすべての順列の対称群 S _3と同型である。これは、高次の二面体群には当てはまらない。

二面体群 D ₃は、3次元の他の2つの対称群と同型です。

• 3回回転軸とそれに垂直な2回回転軸を持つもの（つまり3つ）: D ₃
• 反射面（したがって他の2つの反射面でも）に3回回転軸を持つもの：C _3v

3つのオブジェクトのセットの順列

3つの色付きブロック（赤、緑、青）をRGBの順に並べたとします。対称群S _{3は、これらのブロックのあらゆる可能な}並び替えの集合です。 「最初の2つのブロックを入れ替える」という動作をaで、最後の2つのブロックを入れ替えるという動作をbで表すと、これら2つの動作を用いて、あらゆる可能な順列を表すことができます。

乗法形式では、伝統的に「まずy を行い、次にxを行う」という複合動作をxy と書きます。つまり、abはRGB ↦ RBG ↦ BRG 、つまり「最後のブロックを取って先頭に移動する」という動作です。 「ブロックをそのままにする」（恒等動作）をeと書くと、3つのブロックの集合の6つの順列を以下の動作で表すことができます。

• e  : RGB ↦ RGB または ()
• a  : RGB ↦ GRB または (RG)
• b  : RGB ↦ RBG または (GB)
• ab  : RGB ↦ BRG または (RGB)
• ba  : RGB ↦ GBR または (RBG)
• aba  : RGB ↦ BGR または (RB)

括弧内の表記はサイクル表記です。

アクションaaはRGB ↦ GRB ↦ RGBという効果を持ち、ブロックはそのまま残るので、aa = eと書くことができる。同様に、

• bb = e、
• ( aba )( aba )= eであり、
• ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = e ;

したがって、上記の各アクションには逆のアクションがあります。

考察によって、結合性と閉包性（必要な群公理の2つ）も決定できる。例えば、

• ( ab ) a = a ( ba ) = aba、そして
• ( ba ) b = b ( ab ) = bab。

例えば​​ab ≠ baであるため、この群は非可換群である。この群は基本作用aとbから構成されるため、集合{ a , b }がこの群 を生成するという。

グループはプレゼンテーションを行う

${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3}=1,a^{2}=1,ara=r^{-1}\rangle }$とも表記される ${\displaystyle \langle r,a\mid r^{3},a^{2},arar\rangle }$

または

${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{3}=1\rangle }$とも表記される ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2},(ab)^{3}\rangle }$

ここで、aとbは交換であり、r = abは巡回置換です。2番目の表現は、群がコクセター群であることを意味することに注意してください。（実際、すべての二面体群と対称群はコクセター群です。）

グループ事業の概要

生成子aとbを用いて、 c  := aba、d  := ab、f  := baという追加の省略形を定義します。これにより、 a、 b、 c、 d、 e、fはすべてこの群の元となります。そして、群の演算をケイリー表の形でまとめることができます。

*	e	1つの	b	c	d	f
e	e	1つの	b	c	d	f
1つの	1つの	e	d	f	b	c
b	b	f	e	d	c	1つの
c	c	d	f	e	1つの	b
d	d	c	1つの	b	f	e
f	f	b	c	1つの	e	d

等しくない非単位元は、互いの逆元である場合にのみ交換することに注意してください。したがって、群は中心を持たない、つまり群の中心は単位元のみで構成されます。

共役類

3つのブロックの3種類の順列、つまり群の共役類を簡単に区別することができます。

• 変化なし（）、位数1の群要素
• 2つのブロックを交換する：(RG)、(RB)、(GB)、2次の3つの群要素
• 3つのブロックすべての巡回順列：（RGB）、（RBG）、位数3の2つの群要素

例えば、(RG) と (RB) はどちらも ( x y ) という形式です。R、G、B の文字を順列化すると (GB) となり、(RG) は (RB) になります。したがって、(GB)、(RB)、そして (GB) の逆数 (これも (GB)) を適用すると、結果として得られる順列は (RG) となります。

共役群の要素は常に同じ位数を持ちますが、一般に同じ位数を持つ 2 つの群の要素は共役である必要はありません。

サブグループ

ラグランジュの定理から、6 つの要素を持つグループの非自明な部分群は、必ず位数 2 または 3 を持つことがわかります。実際、単位元を持つ 3 つのブロックすべての 2 つの巡回置換は、位数 3、インデックス2 の部分群を形成し、それぞれ単位元を持つ 2 つのブロックの入れ替えは、位数 2、インデックス 3 の 3 つの部分群を形成します。位数 2 と 3 の部分群の存在は、コーシーの定理の結果でもあります。

最初に述べたのは{ (), (RGB), (RBG) }、交代グループA 3_です。

_{A 3}の左剰余類と右剰余類は一致しており（指数 2 の任意の部分群の場合と同様）、A ₃と 3 つのスワップの集合{ (RB)、(RG)、(BG) } から構成されます。

{ (), (RG) }の左剰余類は次の通りである。

• { (), (RG) }
• { (RB), (RGB) }
• { (GB), (RBG) }

{ (RG), () }の右剰余類は次の通りである。

• { (RG), () }
• { (RBG), (RB) }
• { (RGB), (GB) }

したがって、A _3は正規群であり、他の3つの非自明な部分群は正規群ではない。商群 G / A ₃はC ₂と同型である。

${\displaystyle G=\mathrm {A} _{3}\rtimes H}$は半直積であり、Hは2つの元（）と3つのスワップのうちの1つからなる部分群である。この分解は、シュール・ザッセンハウスの定理の帰結（特殊なケース）でもある。

順列の観点から見ると、 G / A ₃の 2 つのグループ要素は、偶数順列の集合と奇数順列の集合です。

元のグループが、平面を一点を中心に 120° 回転させ、その点を通る直線に関して反射させることによって生成されるグループである場合、商グループには、「単に回転する (または何もしない)」サブセットと「鏡像を取る」サブセットとして説明できる 2 つの要素があります。

正方形の対称群の場合、頂点の不均等な順列は鏡像を取ることではなく、長方形では許可されていない操作、つまり 90° 回転と対角線の反射軸の適用に対応することに注意してください。

半直接製品

${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\rtimes _{\varphi }\mathrm {C} _{2}}$φ (0) とφ (1) が両方とも恒等写像である場合、半直積は位数 6 の二面体群と同型となる。φ (0) が恒等写像であり、φ (1) が C ₃の非自明な自己同型写像​​（これは元を反転する）である場合、半直積は位数 6 の二面体群と同型となる。 ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}\times \mathrm {C} _{2}}$

したがって次のようになります:

( n ₁ , 0) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ + n ₂ , h ₂ )

( n ₁ , 1) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ − n ₂ , 1 + h ₂ )

C _{3のすべての}n ₁、n ₂ 、およびC 2 の_すべてのh ₂について。より簡潔に言うと、

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

C _{3のすべての}n ₁、n ₂およびC _{2のすべての}h ₁、h ₂について。

ケイリー表では次のようになります。

	00	10	20	01	11	21
00	00	10	20	01	11	21
10	10	20	00	11	21	01
20	20	00	10	21	01	11
01	01	21	11	00	20	10
11	11	01	21	10	00	20
21	21	11	01	20	10	00

2桁目については、基本的に2×2の表で、4つのセルそれぞれに3×3の等しい値が割り当てられていることに注意してください。1桁目については、表の左半分は右半分と同じですが、上半分は下半分と異なります。

直積の場合、表の下半分の最初の桁が上半分と同じであることを除いて、表は同じです。

集団行動

D _{3 を}、平面の等長対称群として幾何学的に考察し、0 を反射軸の 1 つとし、0 から 29 の番号が付けられた円上の均等間隔の 30 個の点の集合に対する対応する群作用を考察します。

このセクションでは、このケースのグループ アクションの概念について説明します。

GのXに対する作用は

• 推移的とは、 Xの任意の 2 つのx、yに対して、 Gのgが存在し、 g · x = yとなる場合である。これは当てはまらない。
• 忠実（または有効）とは、 Gの任意の2 つの異なるg、hに対して、 g · x ≠ h · xとなるようなXのx が存在する場合である。これは、恒等群を除いて、対称群には「何もしない」要素が含まれないためである。
• 任意の2つの異なるg、Gのh、Xのすべてのxに対してg · x ≠ h · xが成り立つ場合、自由である。ただし、反射が存在するため、これは成り立たない。

軌道と安定装置

_{D 3}の群作用による円周上の等間隔の30点の軌道

X内の点xの軌道とは、 Gの元によって x を移動できるXの元の集合である。xの軌道はGxで表される。

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}}$

軌道は{0, 10, 20}、 {1, 9, 11, 19, 21, 29}、 {2, 8, 12, 18, 22, 28}、 {3, 7, 13, 17, 23, 27}、 {4, 6, 14, 16, 24, 26}、 { 5, 15, 25}です。軌道内の点は「同値」です。パターンに対称群が適用される場合、各軌道内の色は同じになります。

Gの作用下にあるXのすべての軌道の集合は、 X / Gと表されます。

YがXのサブセットである場合、集合{ g · y  : y ∈ Yかつg ∈ G }をGYと表記する。GY = Y（これはGY ⊆ Yと等しい）のとき、サブセットY はG で不変であると呼ぶ。この場合、G はYにも作用する。Gのすべてのgと Y のすべてのyに対してg · y = yが成立するとき、サブセットYはG で固定されていると呼ぶ。例えば、 2つの軌道の和集合はGで不変だが、固定ではない。

X内のすべてのxに対して、 x を固定するG内のすべての要素の集合として、xの安定化部分群(等方性群または小群とも呼ばれる)を定義します。

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$

x が鏡映点（0, 5, 10, 15, 20, または 25）である場合、その安定群はxにおける恒等群と鏡映群を含む位数2の群である。それ以外の場合、安定群は自明群である。

X内の固定されたxに対して、 g ↦ g · xで与えられるGからXへの写像を考える。この写像の像はxの軌道であり、共像はG _xのすべての左剰余類の集合である。集合論の標準的な商定理により、G / G _xとGxの間には自然な一対一関係が与えられる。具体的には、この一対一関係はhG _x ↦ h · xで与えられる。この結果は軌道安定定理として知られている。軌道が小さい2つのケースでは、安定定理は非自明である。

2つの元xとy が同じ軌道に属する場合、それらの安定部分群G _xとG _yは同型である。より正確には、y = g · xならば、G _y = gG _x g ⁻¹となる。この例では、例えば 5 と 25 はどちらも鏡映点である。25 を中心とする鏡映は 10 の回転、5 を中心とする鏡映は -10 の回転に対応する。

軌道安定定理に密接に関連する結果はバーンサイドの補題である。

${\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}$

ここで、 X ^gはgによって固定された点の集合です。つまり、軌道の数はグループ要素ごとに固定された点の平均数に等しくなります。

恒等変換では30点すべてが固定され、2回の回転では固定されず、3回の反射ではそれぞれ2点（{0, 15}、 {5, 20}、 { 10, 25}）が固定されます。したがって、平均は軌道の数である6となります。

表現論

同型性を除いて、この群は3つの既約な複素ユニタリ表現を持ち、これらを（自明表現）と（添え字​​は次元を示す）と呼ぶ。3つの元を持つ集合上の置換群としての定義により、群はベクトルの要素を置換することによって 上の表現、すなわち基本表現 を持つ。この表現は既約ではなく、との直和として分解される。は形式 のベクトルの部分空間として現れ、 はその直交補集合上の表現であり、これらは形式 のベクトルである。非自明な1次元表現は、群の次数付けによって生じる。作用は群の元の置換の符号による乗算である。すべての有限群は、その正規作用によって巡回群の部分群となるため、このような表現を持つ。表現の平方次元（、群の位数）を数えると、これらがすべての既約表現でなければならないことがわかる。^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

2次元の既約線型表現は、楕円変換として、1次元の射影表現（すなわち、射影直線 への作用、メビウス群 PGL(2, C )への埋め込み）を与える。これは、非調和群として知られる、要素が0と±1の行列（ここでは分数線型変換と表記）で表すことができる。

• 注文1: ${\displaystyle z}$
• 注文2: ${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• 注文3: ${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

そして、任意の体上の表現に降りていき、これは常に忠実/単射です（2つの項が符号のみで異なることはないため）。 2 つの元を持つ体上では、射影直線は 3 点のみを持つため、これは例外的な同型 です。 標数 3 では、この埋め込みにより点が安定化されます。なぜなら、（標数が 3 より大きい場合、これらの点は別個かつ入れ替えられており、調和クロス比の軌道だからです。） 3 つの元を持つ体上では、射影直線は 4 つの元を持ち、PGL(2, 3)は 4 つの元の対称群 S ₄と同型であるため、結果として得られる埋め込みは点 の安定化子に等しくなります。 ${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$ ${\displaystyle -1=[-1:1],}$ ${\displaystyle 2=1/2=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

参照

• 位数8の二面体群

参考文献

1. 久保治介 (2008)、「二面体群を家族群として」、量子場の理論とその先、World Sci. Publ.、ハッケンサック、ニュージャージー、pp.  46– 63、doi :10.1142/9789812833556_0004、MR  2588575_{D 3}と S ₃の同一視と、この群が最小の非可換群であるという観察については、49ページを参照。
2. Weisstein, Eric W.「二面体群D3」。MathWorld。

• Fraleigh、John B. (1993)、抽象代数の第一コース(第 5 版)、Addison-Wesley、 93–94ページ 、ISBN 978-0-201-53467-2

外部リンク

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html
• https://groupprops.subwiki.org/wiki/対称グループ:S3

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