離散時間フーリエ変換

Fourier analysis technique applied to sequences

数学において、離散時間フーリエ変換( DTFT ) は、離散値のシーケンスに適用できるフーリエ解析の一種です。

DTFT は連続関数のサンプルを解析するのによく使われます。離散時間という用語は、この変換が離散データ、多くの場合間隔が時間の単位であるサンプルに対して行われることを意味します。均一間隔のサンプルから、元の連続関数の連続フーリエ変換の周期的な和である周波数の関数が生成されます。簡単に言うと、連続信号の等間隔サンプルの DTFT を取ると、サンプリング周波数に対応する間隔で、信号の周波数スペクトルの繰り返し (場合によっては重なり合う) コピーが得られます。サンプリング定理によって記述される特定の理論的条件下では、元の連続関数は DTFT から、つまり元の離散サンプルから完全に復元できます。DTFT 自体は周波数の連続関数ですが、その離散サンプルは離散フーリエ変換(DFT) (「DTFT のサンプリング」を参照) によって簡単に計算できます。DFT は現在のところ、最も一般的な現代のフーリエ解析法です。

どちらの変換も可逆です。逆DTFTは元のサンプリングされたデータ列を再構成し、逆DFTは元の列の周期的な和を生成します。高速フーリエ変換（FFT）はDFTの1周期を計算するアルゴリズムであり、その逆変換は逆DFTの1周期を生成します。

フーリエ変換との関係

を時間領域における連続関数とします。まず、連続フーリエ変換の一般的な定義から始めます。ここで、はヘルツ単位の周波数、は秒単位の時間を表します。 ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}$

秒間隔でサンプリングすることで、積分を和に簡約することができます（フーリエ変換 § 順序付き対 の数値積分 を参照）。具体的には、をそのサンプルの離散列（ は整数値）に置き換え、微分要素をサンプリング周期 に置き換えることができます。こうして、離散時間フーリエ変換（DTFT）の1つの定式が得られます。 ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(nT)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}$

このフーリエ級数（周波数）は連続周期関数であり、その周期はサンプリング周波数である。添え字は連続フーリエ変換や、DTFTの角周波数形式と区別する。後者は、 （ラジアン/サンプルを正規化した単位を持つ）角周波数変数を定義することで得られ、周期が である角周波数の周期関数となる。[ ^a] ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i\omega n}.}$

式1

図1. フーリエ変換（左上）と、左下隅の周期的和（DTFT）の図。右下隅は、離散フーリエ変換（DFT）によって計算されたDTFTのサンプルを示している。

DTFTの有用性はポアソン和公式に根ざしており、これはフーリエ級数によって表される周期関数が連続フーリエ変換の周期和であることを示しています。^[b]

ポアソン和

${\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fTn}\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-k/T\right).}$

式2

周期的和の成分は、正規化周波数（サンプルあたりのサイクル数）の整数値（ で示される）を中心としています。通常／物理周波数（1秒あたりのサイクル数）は、 とサンプルレートの積です。   が十分に大きい場合、項は他の項からの  歪み（エイリアシング）がほとんどないか全くない領域で観測できます。図1は、 がエイリアシングを防ぐのに十分大きくない場合の例を示しています。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{s}=1/T.}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}$ ${\displaystyle 1/T}$

また、は のフーリエ変換であることにも留意してください 。したがって、 DTFT の別の定義は次のようになります。^[A] ${\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}$ ${\displaystyle \delta (t-nT).}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.}$

式3

変調ディラックコム関数は、インパルスサンプリングと呼ばれることもある数学的抽象化である。^[3]

逆変換

DTFT関数から離散データ列を復元する操作は、逆DTFTと呼ばれます。例えば、式3の両辺を逆連続フーリエ変換すると、変調されたディラック櫛形関数の形で列が生成されます。

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

しかし、 が周期的であることに留意すると、長さの任意の間隔内に必要な情報がすべて含まれます。式 1と式 2  の両方において、 上の合計は係数を持つフーリエ級数です。  フーリエ係数の標準的な式は逆変換でもあります。 ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$ ${\displaystyle 1/T.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s[n].}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}}$

式4

定期データ

入力データシーケンスが周期的である場合、式2は計算的に離散フーリエ変換（DFT）に簡約できます。 ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle N}$

• 利用可能なすべての情報はサンプル内に含まれています。 ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$DTFTは、いわゆる高調波周波数の整数倍を除くすべての周波数でゼロに収束します。これらの周波数では、DTFTは周波数に依存した異なる発散速度で発散します。そして、これらの発散速度は、シーケンスの1サイクルのDFTによって与えられます。 ${\displaystyle 1/(NT),}$ ${\displaystyle s[n]}$
• DTFTは周期的であるため、固有の高調波振幅の最大数は ${\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}$

シーケンスの1サイクルのDFTは次のようになります。 ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}$

そして、逆変換で表現することができ、離散フーリエ級数（DFS）と呼ばれることもある：^{[1] ：p 542} ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}$

これらの定義により、DTFT と DFT の関係を示すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$      ^{[c] [B]}

の両方の関数の周期性により、これは次のように簡略化できます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}$

これは逆変換の要件を満たす：

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}$

DTFTのサンプリング

DTFTが連続的な場合、周期関数の1サイクルの任意の数のサンプルを計算するのが一般的な方法です。^{[1] ：pp 557–559 & 703  [2] ：p 76} ${\displaystyle (N)}$ ${\displaystyle S_{1/T}}$  

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

ここで、周期的な和は： ${\displaystyle s_{_{N}}}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}$     （離散フーリエ級数を参照）

このシーケンスは逆DFTです。したがって、DTFTのサンプリングにより、逆変換は周期的になります。値の配列はピリオドグラムと呼ばれ、パラメータはMatlabの同名関数ではNFFTと呼ばれます。^[4] ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle |S_{k}|^{2}}$ ${\displaystyle N}$

の1サイクルを数値的に評価するには、有限長のシーケンスが必要です。例えば、長いシーケンスは長さの窓関数によって切り捨てられる可能性があり、その結果、特に注目すべき3つのケースが発生します。表記を簡潔にするために、窓関数によって変更された値を表す以下の値を考えてみましょう。 ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s[n]}$

ケース: 周波数デシメーション。 ある整数（通常は6または8） の場合 ${\displaystyle L=N\cdot I,}$ ${\displaystyle I}$

のサイクルは長さのセグメントの合計に簡約されます。DFT  は次のようにさまざまな名前で呼ばれます。 ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N.}$

• ウィンドウプレサムFFT ^[5]
• 重み、重ね合わせ、追加（WOLA）^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [C] [D]}

• 多相DFT ^{[9] [10]}
• 多相フィルタバンク^[12]
• 複数ブロックウィンドウ処理と時間エイリアシング^[13 ]

一方の領域（時間または周波数）でサンプリングされたデータの間引きによって、もう一方の領域でオーバーラップ（エイリアシングとも呼ばれる）が発生し、その逆も同様であることを思い出してください。長さの DFT と比較すると、合計/オーバーラップによって周波数での間引きが発生し、^{[1] : p.558}スペクトル漏れの影響が最も少ない DTFT サンプルのみが残ります。これは通常、FFTフィルタバンク（チャネライザ）を実装するときに優先されます。長さの従来のウィンドウ関数では、スカロップ損失は許容されません。そのため、マルチブロックウィンドウはFIR フィルタ設計ツールを使用して作成されます。^{[14] [15]}  周波数プロファイルは最高点で平坦で、残りの DTFT サンプル間の中間点で急速に低下します。パラメータの値が大きいほど、潜在的なパフォーマンスが向上します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle I,}$

場合： ${\displaystyle L=N+1}$

対称で、長さが - のウィンドウ関数が 1 つの係数で切り捨てられる場合、それは周期的またはDFT 偶数と呼ばれます。 これは一般的な方法ですが、切り捨てによって DTFT (スペクトル漏れ) がわずかに影響を受けます。 その影響を明らかにすることは、少なくとも学術的には重要です。切り捨てられたウィンドウの 長さの DFT は、ではなくの間隔で周波数サンプルを生成します  。 サンプルは実数値ですが、^{[16] : p.52}  それらの値は対称ウィンドウの DTFT と完全には一致しません。 周期的な合計は、長さの DFTとともに、間隔 で DTFT をサンプリングするためにも使用できます。  これらのサンプルも実数値であり、DTFT と完全に一致します (例: File:Sampling the Discrete-time Fourier transform.svg )。間隔でのスペクトル解析に完全対称ウィンドウを使用するには、データ サンプルとデータ サンプルを結合し(対称ウィンドウはこれらを均等に重み付けするため、加算によって)、切り捨てられた対称ウィンドウと長さ DFT を適用します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N,}$ ${\displaystyle 1/L.}$ ${\displaystyle s_{_{N}},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N.}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=N}$ ${\displaystyle N}$

図2. L = 64、N = 256のときのe ^i2πn/8のDFT

図3. L = 64、N = 64のときのe ^i2πn/8のDFT

ケース: 周波数補間。 ${\displaystyle L\leq N}$

この場合、DFT はより馴染みのある形式に簡略化されます。

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

DFT計算に高速フーリエ変換アルゴリズムを活用するため、通常はすべての項（たとえゼロの項であっても）について合計が行われます。そのため、このケースはしばしばゼロパディングと呼ばれます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-L}$ ${\displaystyle L<N}$

スペクトル漏れは減少するにつれて増加し、複数の周波数成分の分解能や各DTFTサンプルで測定されるノイズ量といった重要な性能指標に悪影響を及ぼします。しかし、これらの特性は必ずしも重要ではありません。例えば、シーケンスがノイズのない正弦波（または定数）で、窓関数によって整形されている場合などです。このような場合、ゼロパディングを用いて窓関数の詳細な漏れパターンをグラフィカルに表示し、比較するのが一般的です。矩形ウィンドウの場合を例に、次のシーケンスを考えてみましょう。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$そして ${\displaystyle L=64.}$

図 2 と図 3は、ラベルに示されているように、2 つの異なるサイズの DFT の大きさをプロットしたものです。どちらの場合も、支配的な成分は信号周波数にあります: 。また、図 2では、長方形ウィンドウのスペクトル漏れパターンも確認できます。図 3の錯覚は、DTFT をゼロ交差でのみサンプリングした結果です。有限長のシーケンスの DTFT ではなく、無限に長い正弦波シーケンスのような印象を与えます。この錯覚の原因は、長方形ウィンドウの使用と、64 サンプルあたりちょうど 8 (整数) サイクルの周波数 (1/8 = 8/64) の選択です。ハンウィンドウでも同様の結果が生成されますが、ピークが 3 サンプルに広がります (DFT 偶数ハンウィンドウを参照)。 ${\displaystyle f=1/8=0.125}$ ${\displaystyle L=64}$

畳み込み

シーケンスの畳み込み定理は次のとおりです。

${\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[17] : p.297  [d]}

重要な特殊例として、列sとyの巡回畳み込みが挙げられます。これは周期的な和として定義されます。の離散周波数特性は、連続関数との積も離散的であることを意味し、逆変換 が大幅に簡略化されます。 ${\displaystyle s_{_{N}}*y,}$ ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[18] [1] : p.548}

非ゼロの持続時間がN以下であるsおよびyシーケンスの場合、最終的な簡略化は次のようになります。

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

この結果の重要性については、循環畳み込みと高速畳み込みアルゴリズムで説明されています。

Z変換との関係

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$は、双対Z変換によっても表すことができるフーリエ級数です。すなわち、

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}$

ここで、表記法はZ変換とフーリエ変換を区別するものです。したがって、Z変換の一部をフーリエ変換で表すこともできます。 ${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

パラメータTが変化しても、項の間隔は一定のままで、その幅は増減することに注意してください。S 1/ T ( f ) の項の幅は一定_のままで、その間隔1/ Tは増減します。 ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

離散時間フーリエ変換の表

一般的な変換ペアをいくつか以下の表に示します。以下の表記が適用されます。

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$は、連続角周波数を表す実数です（ラジアン/サンプル単位）。 （はサイクル/秒、 は秒/サンプル単位です）。 表のすべてのケースにおいて、DTFT は 2π 周期です（）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$で定義された関数を指定します。 ${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle S_{o}(\omega )}$は で定義された関数を表し、それ以外の場所ではゼロを表します。 ${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$ $${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$ディラックのデルタ関数
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ 正規化されたsinc関数
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$三角形関数
• nは離散時間領域を表す整数（サンプル単位）
• ${\displaystyle u[n]}$離散時間単位ステップ関数
• ${\displaystyle \delta [n]}$クロネッカーデルタ ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

時間領域 s [ n ]	周波数領域 S 2 π ( ω )	備考	参照
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=1}$		[17] : p.305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	整数 ${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$     奇数M     偶数M ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$	整数 ${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	この項は、 における極の周りのコーシー主値の意味での分布として解釈されなければならない。 ${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$ ${\displaystyle \omega =2\pi k}$
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[17] : p.305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$     -π < a < π ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	実数 ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k)}$	実数と ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	実数と ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]\equiv \operatorname {rect} \left[{n-M \over N-1}\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\sin(N\omega /2) \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	整数と奇数​ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	実数と ${\displaystyle W,a}$ ${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	実数、 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\text{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=j\omega }$	微分フィルタとして機能する
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	実数と ${\displaystyle W,a}$ ${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	ヒルベルト変換
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=}$	実数複素数 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$

プロパティ

この表は、時間領域におけるいくつかの数学的演算と、それに対応する周波数領域の効果を示しています。

• ${\displaystyle *\!}$2つのシーケンスの離散畳み込みである
• ${\displaystyle s^{*}[n]}$は複素共役である ${\displaystyle s[n].}$

財産	時間領域 s [ n ]	周波数領域 ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$	備考	参照
直線性	${\displaystyle a\cdot s[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot S_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	複素数 ${\displaystyle a,b}$	[17] : p.294
時間反転 / 周波数反転	${\displaystyle s[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(-\omega )\!}$		[17] : p.297
時間活用	${\displaystyle s^{*}[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(-\omega )\!}$		[17] : p.291
時間の反転と共役	${\displaystyle s^{*}[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(\omega )\!}$		[17] : p.291
時間の中の本当の部分	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S_{2\pi }(\omega )+S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[17] : p.291
時間における虚数部	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S_{2\pi }(\omega )-S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[17] : p.291
周波数の実部	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s[n]+s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[17] : p.291
周波数の虚数部	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s[n]-s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[17] : p.291
時間のシフト / 周波数の変調	${\displaystyle s[n-k]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	整数k	[17] : p.296
周波数のシフト / 時間の変調	${\displaystyle s[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega -a)\!}$	実数 ${\displaystyle a}$	[17] : p.300
デシメーション	${\displaystyle s[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$  [E]	整数 ${\displaystyle M}$
時間拡張	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}s[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{2\pi }(M\omega )\!}$	整数 ${\displaystyle M}$	[1] : p.172
周波数の微分	${\displaystyle {\frac {n}{i}}s[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dS_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[17] : p.303
周波数の統合	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
時間による差異	${\displaystyle s[n]-s[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)S_{2\pi }(\omega )\!}$
時間による合計	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}s[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}S_{2\pi }(\omega )+\pi S(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
時間における畳み込み / 周波数における乗算	${\displaystyle s[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[17] : p.297
時間における乗算 / 周波数における畳み込み	${\displaystyle s[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }S_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	周期畳み込み	[17] : p.302
相互相関	${\displaystyle \rho _{sy}[n]=s^{*}[-n]*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{sy}(\omega )=S_{2\pi }^{*}(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
パーセバルの定理	${\displaystyle E_{sy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{s[n]\cdot y^{*}[n]}\!}$	${\displaystyle E_{sy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }^{*}(\omega )d\omega }\!}$		[17] : p.302

参照

• 最小二乗スペクトル解析
• 多次元変換
• ザック変換

注記

1. 実際、式2は次のように正当化されることが多い: ^{[1] : p.143, 式4.6} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}}$$
2. § 離散時間フーリエ変換の表から次の式が得られる。

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\\&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(2\pi fT-2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\\&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{2\pi T}}\ \delta \left({\tfrac {1}{2\pi T}}\left(2\pi fT-2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\right)\\&={\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$

3. WOLA を区分畳み込みのオーバーラップ加算法と混同しないでください。
4. WOLAの例:ファイル:WOLA チャネルライザーの例.png
5. この表現は次のように導かれる: ^{[1] : p.168}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}}$

ページ引用

1. オッペンハイムとシェーファー、^[1] p 147 (4.17)、そこでは  、 ${\displaystyle x[n]\triangleq s(nT)={\tfrac {1}{T}}s[n],}$ ${\displaystyle X(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}S_{2\pi }(\omega ).}$
2. オッペンハイムとシェーファー、^[1] p 147 (4.20)、p 694 (10.1)、およびプランドーニとヴェッターリ、^[2] p 255, (9.33)、ここで    :   ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq S(f).}$
3. Oppenheim and Schafer, ^[1] p 551 (8.35)、および Prandoni and Vetterli, ^[2] p 82, (4.43)。定義：    であり、  この式は参考文献とは係数 だけ異なります。これは、参考文献では第3ステップから第4ステップに進む際にこの係数が失われているためです。具体的には、 § 離散時間フーリエ変換表 におけるDTFT には、参考文献では省略されている係数 があります。 ${\displaystyle {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}S_{2\pi }(\omega ),}$   ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$  ${\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq S[k],}$ ${\displaystyle \delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T),}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{-ian}}$ ${\displaystyle 2\pi }$
4. オッペンハイムとシェーファー、^[1] p 60、(2.169)、およびプランドーニとヴェッターリ、^[2] p 122、(5.21)

参考文献

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2. Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Signal Processing for Communications (PDF) (第1版). Boca Raton, FL: CRC Press. pp. 72, 76. ISBN 978-1-4200-7046-02020年10月4日閲覧。周期化信号のDFS係数は、DTFTの離散的な値のセットである。
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さらに読む

• ポラット、ボアズ (1996).デジタル信号処理講座. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 27–29, 104–105. ISBN 0-471-14961-6。
• シーバート、ウィリアム・M. (1986). 『回路、信号、システム』 MIT電気工学・コンピュータサイエンスシリーズ. マサチューセッツ州ケンブリッジ: MIT出版. ISBN 0262690950。
• ライオンズ、リチャード・G. (2010). 『デジタル信号処理の理解（第3版）』 プレンティス・ホール出版. ISBN 978-0137027415。

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