ダグム流通

Probability distribution in economics

ダガム分布
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle p>0}$ 形状、 形状、スケール ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$
サポート	${\displaystyle x>0}$
PDF	${\displaystyle {\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}}$
分位点	${\displaystyle b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}b{\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left(p+{\tfrac {1}{a}}\right)}{\Gamma (p)}}&{\text{if}}\ a>1\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$ [1]
中央値	${\displaystyle b{\left(-1+2^{\tfrac {1}{p}}\right)}^{-{\tfrac {1}{a}}}}$
最頻値	${\displaystyle b{\left({\frac {ap-1}{a+1}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}{b^{2}}\left({\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left(p+{\tfrac {2}{a}}\right)}{\Gamma \left(p\right)}}-\left({\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left(p+{\tfrac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(p\right)}}\right)^{2}\right)&{\text{if}}\ a>2\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$

ダグム分布（またはミールケ・ベータ・カッパ分布）は、正の実数で定義される連続確率分布です。1970年代に一連の論文で提案したカミロ・ダグムにちなんで名付けられました。^{[2] [3]ダグム分布は、個人所得の規模分布に関する新しいモデルのいくつかの変種から生まれ、主に}所得分布 の研究に関連しています。ダグム分布には、3パラメータ仕様（タイプI）と4パラメータ仕様（タイプII）の両方があります。この分布の起源の概要は、「ダグム分布ガイド」に記載されています。^[4] ダグム分布を用いた研究でよく引用される統計的サイズ分布に関する一般的な情報源は、 「経済学と保険数理科学における統計的サイズ分布」です。^[5]

定義

ダガム分布（タイプI）の累積分布関数は次のように表される

${\displaystyle F(x;a,b,p)=\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}{\text{ for }}x>0{\text{ where }}a,b,p>0.}$

対応する確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f(x;a,b,p)={\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right).}$

分位関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Q(u;a,b,p)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}={\frac {bu^{\frac {1}{pa}}}{\left(1-u^{\frac {1}{p}}\right)^{\frac {1}{a}}}}}$

ダガム分布は、一般化ベータII（GB2）分布（ベータプライム分布の一般化）の特殊​​なケースとして導出できます。

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff X\sim GB2(a,b,p,1)}$

Dagum 分布とSingh–Maddala / Burr 分布の間にも密接な関係があります。

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)}$

ダガム（タイプII）分布の累積分布関数は、原点に点質点を追加し、残りのサポート（つまり、正の半直線上）にわたってダガム（タイプI）分布に従います。

${\displaystyle F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta )\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}.}$

ダガム（タイプII）分布の分位関数は

${\displaystyle Q(u;a,b,p,\delta )=b\left[\left({\frac {u-\delta }{1-\delta }}\right)^{-{\frac {1}{p}}}-1\right]^{-{\frac {1}{a}}}.}$

経済学における利用

ダグム分布は、所得と富の分配をモデル化するためによく用いられます。ダグム分布I型とジニ係数の関係は、以下の式にまとめられます。^[6]

${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)\Gamma (p+1/a)}}-1,}$

ここではガンマ関数です。この値はスケールパラメータ に依存しないことに注意してください。 ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle b}$

Dagum 分布のジニ係数の導出

連続確率分布のジニ係数は次の形式になります。 ${\displaystyle G={1 \over {\mu }}\int _{0}^{\infty }F(1-F)dx}$ ここで、 は分布のCDF、は期待値です。ダガム分布の場合、 と仮定すると、ジニ係数の式は次のようになります。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)}{b\Gamma (1-1/a)\Gamma (p+1/a)}}\int _{0}^{\infty }\left[1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right]^{-p}\left\{1-\left[1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right]^{-p}\right\}dx}$ 置換を定義すると、より単純な式が得られます。 ${\displaystyle u=(x/b)^{-a}}$ ${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)}{a\Gamma (1-1/a)\Gamma (p+1/a)}}\int _{0}^{\infty }u^{-1/a-1}\left(1+u\right)^{-p}\left[1-\left(1+u\right)^{-p}\right]du}$ さらに置換を行うと、ジニ係数の式は次のように変わります。 ${\displaystyle z=u/(1+u)}$ ${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)}{a\Gamma (1-1/a)\Gamma (p+1/a)}}\int _{0}^{1}z^{-1/a-1}\left(1-z\right)^{p+1/a-1}\left[1-\left(1-z\right)^{p}\right]dz}$ 各積分成分は標準ベータ関数に等しく、ガンマ関数で表すことができます。 ${\displaystyle {\text{B}}(x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over {\Gamma (x+y)}}}$ この定義と という事実を用いると、ジニ係数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle a\Gamma (1-1/a)=-\Gamma (-1/a)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\Gamma (p)}{\Gamma (-1/a)\Gamma (p+1/a)}}\left[{\frac {\Gamma (-1/a)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)}}-{\frac {\Gamma (-1/a)\Gamma (p+1/a)}{\Gamma (p)}}\right]\\&={\frac {\Gamma (p)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)\Gamma (p+1/a)}}-1\end{aligned}}}$ 最後の項はダガム分布のジニ係数です。

ダガム分布は所得分布をモデル化するために使用される唯一の3パラメータ分布ではありませんが、ある研究では、ダガム分布が他の3パラメータモデルよりも適合性が高いことがわかっています。^[7]

ダグム分布は、純資産の負の頻度やゼロの頻度を考慮した純資産分布をモデル化するために拡張されました。この一般化モデルは、ダグム純資産分布一般モデル^[8]として知られ、ゼロ（資産を持たない経済単位を表す）の原子分布と、負の純資産と正の純資産の2つの連続分布からなる混合モデルです。

参考文献

1. Chotikapanich, Duangkamon; et al. (2018). 「GB2所得分布の利用」.計量経済学. 6 (2): 21. doi : 10.3390/econometrics6020021 . hdl : 10419/195459
2. ダグム、カミロ (1975). 「所得分配モデルと有限順序モーメントの存在条件」国際統計研究所紀要. 46 (第40回国際統計研究所会議録、寄稿論文): 199–205 .
3. ダガム、カミロ (1977). 「個人所得分配の新しいモデル: 仕様と推定」。エコノミーアップリケ。30 : 413–437 .
4. Kleiber, Christian (2008). 「ダグム分布ガイド」(PDF) . Chotikapanich, Duangkamon (編).所得分布とローレンツ曲線のモデリング. 不平等、社会的排除、幸福に関する経済学的研究. Springer. pp.  97– 117. doi :10.1007/978-0-387-72796-7_6. ISBN 978-0-387-72756-1。
5. クライバー、クリスチャン、コッツ、サミュエル (2003).経済学と保険数理科学における統計的サイズ分布. Wiley. ISBN 0-471-15064-9。
6. クライバー、クリスチャン (2007). 「ダガム分布へのガイド」.ワーキングペーパー
7. Bandourian, Ripsy; et al. (2002). 「国別および時系列における所得分布のパラメトリックモデルの比較」ルクセンブルク所得調査ワーキングペーパー No. 305. SSRN 324900  .
8. Dagum, Camilo (2006). 「富の分配モデル：分析と応用」. Statistica . 66 (3): 235– 268. doi :10.6092/issn.1973-2201/1243. ISSN  1973-2201.

外部リンク

• カミーロ・ダグム（1925年 - 2005年） 2017年8月15日アーカイブウェイバックマシン ：死亡記事

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