ダルブー積分

Integral constructed using Darboux sums

実解析において、ダルブー積分はダルブー和を用いて構築され、関数の積分の可能な定義の1つである。ダルブー積分はリーマン積分と等価であり、関数がダルブー積分可能である場合かつその場合に限り、2つの積分の値は（もし存在するならば）等しいことを意味する。^[1]ダルブー積分の定義は、リーマン積分の定義よりも計算や証明に適用しやすいという利点がある。そのため、微積分や実解析の入門書では、真のリーマン積分ではなく、ダルブー積分を用いてリーマン積分を展開していることが多い。^[2] さらに、定義はリーマン・スティルチェス積分の定義に容易に拡張できる。^{[3]ダルブー積分は、発明者である}ガストン・ダルブー（1842–1917） にちなんで名付けられている。

意味

ダルブー積分の定義は、区間 上の任意の有界実数関数に対して存在する上積分と下積分（ダルブー）を考慮します。ダルブー積分は、上積分と下積分が等しい場合にのみ存在します。上積分と下積分は、それぞれ「曲線の下の面積」を過大評価または過小評価する上積分と下積分（ダルブー）のそれぞれ最小値と最大値です。特に、積分区間の与えられた分割に対して、上積分と下積分は、分割の各部分区間におけるfの最大値と最小値をそれぞれ高さとする長方形スライスの面積を合計します。これらの考え方は、以下で明確にされます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

ダルブーの合計

4つの部分区間の下部（緑）と上部（緑とラベンダー）のダルブー和

区間の分割 とは、次のような有限の値の列である。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}$

各区間は分割の部分区間と呼ばれる。を有界関数とし、 ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$

を分割する。 ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

に対する上ダルブー和は ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

に対する下ダルブー和は ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

下限ダルブー和と上限ダルブー和は、しばしば下限和と上限和と呼ばれます。

ダルブー積分

fの上ダルブー積分は

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

fの下ダルブー積分は

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

いくつかの文献では、下線と上線が付いた積分記号は、それぞれ下側と上側のダルブー積分を表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}$

ダルブー和と同様に、これらは単に下積分と上積分と呼ばれることもあります。

U _f  =  L _fのとき、この共通値をダルブー積分と呼ぶ。^[4]また、 fはダルブー積分可能、あるいは単に積分可能とも言い、

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}$

fの積分可能性に対する同等かつ有用な基準は、任意のε > 0に対して[ a ,  b ]の分割Pε_が存在し^、[5]

${\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}$

プロパティ

• 任意の分割において、上ダルブー和は常に下ダルブー和以上である。さらに、下ダルブー和は、幅( b − a )、高さinf( f )の長方形を[ a ,  b ]で割ったものによって下方に制約される。同様に、上ダルブー和は、幅( b − a )、高さsup( f )の長方形によって上方に制約される。

  ${\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

• 下ダルブー積分と上ダルブー積分は、

  ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$

• ( a ,  b ) 内の任意のcが与えられた場合

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• 下ダルブー積分と上ダルブー積分は必ずしも線形ではない。g :[ a , b ] → R も有界関数であると仮定すると、上ダルブー積分 と下ダルブー積分は以下の不等式を満たす。

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}$

• 定数c ≥ 0の場合、

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• 定数c ≤ 0の場合、

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• 機能について考える

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$

すると、Fはリプシッツ連続となる。Fを上ダルブー積分を用いて定義した場合も同様の結果が成り立つ。

例

ダルブー積分可能関数

関数 が区間 上でダルブー積分可能であることを証明し、その値を決定したいとします。そのためには、を長さ の等しい大きさの部分区間に分割します。等しい大きさの部分区間の分割を と表記します。 ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

は 上で厳密に増加するので、任意の部分区間上の最小値はその始点によって与えられます。同様に、任意の部分区間上の最大値はその終点によって与えられます。における - 番目の部分区間の始点は であり、終点は です。したがって、分割上の下ダルブー和は次のように与えられます 。 ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (k-1)/n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2n}}\end{aligned}}}$

同様に、上ダルブー和は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}\end{aligned}}}$

以来

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}$

したがって、任意の に対して、を持つ任意の 分割が ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }$

これはダルブー積分可能であることを示しています。積分値を求めるには、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}$

ダルブーの合計

積分不可能な関数

ディリクレ関数が 次のように定義されて いるとする。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}1&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\0&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

有理数と無理数はどちらも の稠密部分集合なので、 は任意の分割のどの部分区間でも0と1の値を取る。したがって、任意の分割に対して、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$

これから、下側のダルブー積分と上側のダルブー積分は等しくないことがわかります。

分割の改良とリーマン積分との関係

精緻化に進むと、下限の合計が増加し、上限の合計が減少します。

分割の改良は、すべてのi = 0, …, nに対して整数r ( i )が存在し、 ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$

${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}$

つまり、改良を行うには、サブ間隔を小さな部分に分割し、既存のカット部分を削除しないようにします。

はthenの改良である ${\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}$ ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}$

${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$

そして

${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}$

P ₁、P ₂が同じ区間の2つの分割である場合（一方が他方の細分化である必要はない）、

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}$

そして、

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}$

リーマン和は常に対応する下ダルブー和と上ダルブー和の間にある。正式には、とを合わせてタグ付き分割とする 場合、 ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}$

（リーマン積分の定義のように）そして、リーマン和がPとTに対応するに等しい場合、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R_{f,P}}$

${\displaystyle L_{f,P}\leq R_{f,P}\leq U_{f,P}.}$

前述の事実から、リーマン積分は少なくともダルブー積分と同程度に強いことが分かります。つまり、ダルブー積分が存在する場合、十分に細かい分割に対応する上ダルブー和と下ダルブー和は積分の値に近くなるため、同じ分割上の任意のリーマン和も積分の値に近くなります。上ダルブー積分または下ダルブー積分の値に任意に近いタグ付き分割が存在するため（下記参照）、リーマン積分が存在する場合、ダルブー積分も必ず存在することになります。

タグの発見の詳細

この証明では、インデックスとそれに関連する変数に上付き文字を使用します。 ${\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}$ をの任意の分割のシーケンスとし、そのタグを決定します。 ${\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \|P_{n}\|\to 0}$ 最小値の定義により、任意の に対して、常に と なるようなを見つけることができる。したがって、 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle t_{i}^{(n)}\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}$ ${\displaystyle \inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)\geq f(t_{i}^{(n)})-\epsilon .}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i}^{(n)})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\left(\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)+\epsilon \right)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\ \ \ \\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\sum _{i=0}^{N-1}\epsilon (x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\epsilon (b-a).\end{aligned}}}$ とすると、 ${\displaystyle \epsilon =1/n(b-a)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i}^{(n)})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left[x_{i}^{(n)},x_{i+1}^{(n)}\right]}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+{\frac {1}{n}}\\&=&L_{f,P^{(n)}}+{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$ 両辺の極限をとると、 ${\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}=\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i}^{(n)})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}$ 同様に（タグの順序は異なる） ${\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}\geq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}$ したがって、 ${\displaystyle R_{f}\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}\leq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}\leq R_{f},}$ これは、ダルブー積分が存在し、 に等しいことを意味します。 ${\displaystyle R_{f}}$

参照

• 規制積分
• ルベーグ積分
• 最小外接矩形

注記

1. デビッド・J・フーリス;ムスタファ・A・ムネム（1989年）。微積分の後: 分析。デレン出版社。 p. 396.ISBN​ 978-0-02-339130-9。
2. Spivak, M. (1994).微積分学（第3版）. ヒューストン, テキサス州: Publish Or Perish, Inc. pp. 253–255. ISBN 0-914098-89-6。
3. Rudin, W. (1976). 『数学解析の原理』（第3版）. ニューヨーク: McGraw-Hill. pp. 120–122. ISBN 007054235X。
4. ウルフラムMathWorld
5. スピヴァック 2008、第13章。

参考文献

• 「ダルブー積分」Wolfram MathWorld . 2013年1月8日閲覧。
• 数学百科事典におけるダルブー積分
• 「ダルブー和」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• スピヴァック、マイケル（2008年）、微積分（第4版）、Publish or Perish、ISBN 978-0914098911
• 「ダルブー積分とリーマン積分の同値性」。YouTube。^{[ YouTube リンク切れ]}

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