十角数

数学において、十角数は、三角形や正方形の数の概念を十角形（10の辺を持つ多角形）に拡張した図形数である。 ^[1]しかし、三角形や正方形の数とは異なり、十角数の構成パターンは回転対称ではない。具体的には、n番目の十角数は、共通の角を共有するn個の入れ子になった十角形のパターンにおける点の数であり、パターン中のi番目の十角形は、互いに1単位間隔で配置されたi個の点で構成されている。n番目の十角数は、次の式で与えられる。

d_{n}=4n^{2}-3n

. ^[2]

最初のいくつかの十角数は、次のとおりです。

0、1、10、27、52、85、126、175、232、297、370、451、540、637、742、855、976、1105、1242、1387、1540、1701、1870、2047、2232、2425、2626、2835、3052、3277、3510、3751、4000、4257、4522、4795、5076、5365、5662、5967、6280、6601、 6930、7267、7612、7965、8326（OEISのシーケンスA001107）。

n次の十角数は、nの2乗に( n -1)次のプロニック数を3倍したものを加えることで計算することもできる。代数的に言えば、

D_{n}=n^{2}+3\left(n^{2}-n\right)

。

プロパティ

十角数は一貫して偶奇性が交互に現れます。
$D_{n}$ 1 mod 8 に一致する最初の自然数の和です。 $n$
$D_{n}$ はの約数の個数です。 $48^{n-1}$
十角数のうち平方数は 0 と 1 のみです。
十角数は次の再帰関係に従います。

D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0

D_{n}=2D_{n-1}-D_{n-2}+8,D_{0}=0,D_{1}=1

D_{n}=3D_{n-1}-3D_{n-2}+D_{n-3},D_{0}=0,D_{1}=1,D_{2}=10

逆数の合計

十角数の逆数の和は単純な閉じた形をとる。 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\left(4n-3\right)}}=\ln \left(2\right)+{\frac {\pi }{6}}.$

証拠

この導出は「建設的ゼロ」を追加する方法に基づいています。個々の合計を整理して検討します。 ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\left(4n-3\right)}}&{}={\frac {4}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n}}\right)\\&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2}{4n-3}}-{\frac {2}{4n}}+\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n-2}}\right)-\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n-2}}\right)\right)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-2}}+{\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-1}}\right)\right]\\&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-2}}+{\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)+{\frac {1}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)+{\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2(2n-1)-1}}-{\frac {1}{2(2n)-1}}\right)\\&={\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}+{\frac {1}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}+{\frac {2}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}\\&=\ln \left(2\right)+{\frac {\pi }{6}}.\end{aligned}}$

参考文献

^ 「十角数」. GeeksforGeeks . 2017年12月25日. 2025年8月12日閲覧。
^ 「十角数を求めるCプログラム」GeeksforGeeks . 2017年3月6日. 2025年8月12日閲覧。

[1] 「十角数」. GeeksforGeeks . 2017年12月25日. 2025年8月12日閲覧。

[2] 「十角数を求めるCプログラム」GeeksforGeeks . 2017年3月6日. 2025年8月12日閲覧。