10進128浮動小数点形式

コンピューティングにおいて、decimal128はメモリ上で128ビットを占める10進浮動小数点数形式です。IEEE 754-2008 [ ^1]で正式に導入され、金融計算や税金計算など、10進数の丸めを正確にエミュレートする必要があるアプリケーションを対象としています。^[2]

形式

decimal128 形式では、34桁の有効数字と -6143 ～ +6144 の指数範囲 (つまり、 ±0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 × 10 -6143～± 9.999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 × 10 6144 ⁾^がサポートされます。有効数字は正規化され^ないため^、有効数字が 34 桁未満のほとんどの値は、 1 × 10 ²= 0.1 × 10 ³ = 0.01 × 10 ⁴など、複数の表現が可能です。同じ値のこの表現セットは、コホートと呼ばれます。ゼロには 12288 通りの表現方法があります (2 つの異なるコホートの両方の符号付きゼロが含まれる場合は 24576 通り)。

10進128値のエンコード

サイン	組み合わせ	仮数継続
1ビット	17ビット	110ビット
s	んんんんんんんんんん	cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

IEEE 754標準では、decimal128 値に対して 2 つの代替エンコードが許可されています。

2 進整数 10 進数(BID)に基づくバイナリエンコーディング: 仮数は、2 進数で記述された符号なし整数としてエンコードされます。
高密度パック 10 進数(DPD)に基づく 10 進エンコード: 仮数は 10 進数で記述された符号なし整数としてエンコードされ、3 桁のグループが 10進数にパックされ、最上位桁には特別なルールが適用されます。

この標準では、たとえば、システム間で 10 進 128 値が通信される状況で、どのエンコードが使用されるかを示す方法は指定されていません。

どちらの選択肢も、表現可能な数値のセットは全く同じです。34桁の仮数部と $3 \times 2 12 = 12288$ 通りの指数値が可能です。

どちらの場合も、仮数部の上位4ビット（実際には10通りの値しか取れない）と指数部の上位2ビット（3通りの値しか取れない）を組み合わせることで、組み合わせフィールドの5ビットで32通りの値のうち30通りが使われます。残りの組み合わせは、無限大とNaNをエンコードします。^{[説明が必要]}

組み合わせフィールド	指数	仮数部ビット	他の
00mmmmmmmmmmmmmmmm	00xxxxxxxxxxxx	0ccc	—
01んんんんんんんんんん	01xxxxxxxxxxxx	0ccc	—
10んんんんんんんんんん	10xxxxxxxxxxxx	0ccc	—
1100mmmmmmmmmmmm	00xxxxxxxxxxxx	100セント	—
1101mmmmmmmmmmmm	01xxxxxxxxxxxx	100セント	—
1110mmmmmmmmmmmmmm	10xxxxxxxxxxxx	100セント	—
11110mmmmmmmmmmmm	—	—	±無限大
11111mmmmmmmmmmmm	—	—	NaN。符号ビットは無視されます。組み合わせフィールドの6番目のビットは、NaNがシグナリングであるかどうかを判断します。

Infinity および NaN の場合、エンコードの他のすべてのビットは無視されます。^{[疑わしい–議論]}したがって、配列を 1 バイト値で埋めることで、配列を Infinity または NaN に初期化することができます。

BID 2進整数10進仮数フィールド

このフォーマットは、 $0 から10$ までの 2 進数の仮数部を使用します $34$ $- 1$ = 9 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 = 1ED09BEAD87C0378D8E63FFFFFFFF ₁₆ = 0111 1011010000 1001101111 1010101101 1000011111 0000000011 0111100011 0110001110 0110001111 11111111111 1111111111 ₂。エンコーディングでは、 $10 \times 2 110 - 1$ = 12 980 742 146 337 069 071 326 240 823 050 239 $までの 2 進数の仮数を表現できますが、 10 34 - 1$ より大きい値は不正です (標準では、入力時に検出された場合、実装でそれらを 0 として扱う必要があります)。

上で説明したように、エンコードは、仮数部の上位 4 ビットが 0 ～ 7 (0000 ₂～ 0111 ₂ ) の範囲内であるか、それ以上 (1000 ₂または 1001 ₂ ) の範囲内であるかによって異なります。

符号ビットの後の 2 ビットが「00」、「01」、または「10」の場合、指数フィールドは符号ビットに続く 14 ビットで構成され、有効桁は残りの 113 ビットで、先頭に暗黙の 0 ビットが付きます。これには、先頭の有効桁が 0 である非正規数も含まれます。s 00eeeeeeeeeeee (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 01eeeeeeeeeeee (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 10eeeeeeeeeeee (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

符号ビットの後の2ビットが「11」の場合、14ビットの指数フィールドは（符号ビットとそれに続く「11」ビットの両方の後）右に2ビットシフトされ、表現される仮数は残りの111ビットになります。この場合、真の仮数部には暗黙的に（つまり、格納されない）先頭の3ビットシーケンス「100」が存在します。符号ビットの後の2ビットシーケンス「11」は、仮数部の先頭に暗黙的に「100」の3ビットプレフィックスがあることを示しています。バイナリ形式の通常値の仮数部に暗黙的に1が含まれる場合と比較してください。「00」、「01」、または「10」ビットは指数フィールドの一部です。s 1100eeeeeeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 1101eeeeeeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 1110eeeeeeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

decimal128 形式の場合、これらの仮数部はすべて有効範囲外 ( $2113 > 1.038 \times 10 34$ で始まる) であるため、ゼロとしてデコードされますが、パターンはdecimal32およびdecimal64と同じです。

上記の場合、表される値は

(−1)^符号× 10^{指数−6176} × 仮数部

符号ビットの後の 4 ビットが "1111" の場合、値は上記のように無限大または NaN になります。

s 11110 xx...x ±無限大s 11111 0x...xa 静かなNaNs 11111 1x...xa シグナリング NaN

DPD 高密度小数点仮数フィールド

このバージョンでは、仮数は一連の10進数として保存されます。先頭の桁は0から9（3または4ビットのバイナリ）の範囲で、残りの仮数は高密度10進数（DPD）エンコード方式を使用します。

指数部の先頭 2 ビットと仮数の先頭桁 (3 ビットまたは 4 ビット) が、符号ビットに続く 5 ビットに結合されます。

その後の 12 ビットは指数継続フィールドであり、指数の下位ビットを提供します。

最後の110ビットは仮数継続フィールドであり、11個の10ビットのデクレットで構成されています。^[3]各デクレットはDPDエンコードを使用して3桁の10進数をエンコードします。 ^[3]

符号ビット後の最初の 2 ビットが "00"、"01"、または "10" の場合、それらは指数の先頭ビットであり、その後の 3 ビットは先頭の 10 進数字 (0 ～ 7) として解釈されます。符号ビット後の最初の 2 ビットが "11" の場合、次の 2 ビットは指数の先頭ビットであり、最後のビットの先頭に "100" が付加されて先頭の 10 進数字 (8 または 9) が形成されます。5 ビットフィールドの残りの 2 つの組み合わせ (11110 と 11111) は、それぞれ ± 無限大と NaN を表すために使用されます。s 00 TTT (00)eeeeeeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] s 01 TTT (01)eeeeeeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] s 10 TTT (10)eeeeeeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]s 1100 T (00)eeeeeeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] s 1101 T (01)eeeeeeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] s 1110 T (10)eeeeeeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]

Declet の DPD/3BCD トランスコーディングは次の表のようになります。b9...b0 は DPD のビットであり、d2...d0 は 3 つの BCD 桁です。

高密度10進符号化規則^[4]
コード空間（1024状態）	b9	b8	b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0	d2	d1	d0	エンコードされた値	説明	発生件数（1000州）
DPDエンコードされた値											小数点
50.0% (512州)	1つの	b	c	d	e	f	0	グラム	h	私	0 ABC	0防御	0ギ	(0～7) (0～7) (0～7)	3桁の小数字	51.2% （512州）
37.5% （384州）	1つの	b	c	d	e	f	1	0	0	私	0 ABC	0防御	100 i	(0～7) (0～7) (8～9)	小さい数字2つ、大きい数字 1つ	38.4% （384州）
	1つの	b	c	グラム	h	f	1	0	1	私	0 ABC	100フィート	0ギ	(0～7) (8～9) (0～7)
	グラム	h	c	d	e	f	1	1	0	私	100セント	0防御	0ギ	(8–9) (0–7) (0–7)
9.375% （96州）	グラム	h	c	0	0	f	1	1	1	私	100セント	100フィート	0ギ	(8–9) (8–9) (0–7)	小さい数字1つ、大きい数字 2つ	9.6% （96州）
	d	e	c	0	1	f	1	1	1	私	100セント	0防御	100 i	(8–9) (0–7) (8–9)
	1つの	b	c	1	0	f	1	1	1	私	0 ABC	100フィート	100 i	(0～7) (8～9) (8～9)
3.125% (32州、8州使用)	×	×	c	1	1	f	1	1	1	私	100セント	100フィート	100 i	（8–9）（8–9）（8–9）	3つの大きな数字、 b9、b8: 無視	0.8% （8州）

すべての桁が8または9である8つの10進数値には、それぞれ4つのコーディングがあります。上の表でx印が付けられたビットは入力時には無視されますが、計算結果では常に0になります。（ $8 \times 3 = 24の非標準エンコーディングは、$ $103 = 1000$ と $210 = 1024$ の間のギャップを埋めます。）

上記の場合、真の仮数をデコードされた10進数の列として表される値は

(-1)^{\text{signbit}}\times 10^{{\text{exponentbits}}_{2}-6176_{10}}\times {\text{truesignificand}}_{10}

参照

ISO/IEC 10967、言語非依存算術
Q表記法（科学的表記法）

参考文献

^ IEEEコンピュータ協会 (2008年8月29日). IEEE浮動小数点演算標準. IEEE . doi :10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5IEEE 規格 754-2008。
^ Cowlishaw, Mike (2007). 「10進演算に関するFAQ – パート1 – 一般的な質問」. speleotrove.com . IBM Corporation . 2022年7月29日閲覧。
^ ab ミュラー、ジャン＝ミシェル;ブリセバーレ、ニコラス。デ・ディネシン、フィレンツェ。ジャンヌロ、クロード・ピエール。ルフェーブル、ヴァンサン。メルキオンド、ギョーム。ナタリー・レボル;ステレ、ダミアン。トーレス、セルジュ (2010)。浮動小数点演算ハンドブック (第 1 版)。ビルクホイザー。土井：10.1007/978-0-8176-4705-6。ISBN 978-0-8176-4704-9。LCCN 2009939668。
^ Cowlishaw, Michael Frederic (2007-02-13) [2000-10-03]. 「高密度パック10進符号化の概要」. IBM . 2015年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月7日閲覧。

[IEEE-754_2008-1] IEEEコンピュータ協会 (2008年8月29日). IEEE浮動小数点演算標準. IEEE . doi :10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5IEEE 規格 754-2008。

[2] Cowlishaw, Mike (2007). 「10進演算に関するFAQ – パート1 – 一般的な質問」. speleotrove.com . IBM Corporation . 2022年7月29日閲覧。

[Muller_2010-3] ミュラー、ジャン＝ミシェル;ブリセバーレ、ニコラス。デ・ディネシン、フィレンツェ。ジャンヌロ、クロード・ピエール。ルフェーブル、ヴァンサン。メルキオンド、ギョーム。ナタリー・レボル;ステレ、ダミアン。トーレス、セルジュ (2010)。浮動小数点演算ハンドブック (第 1 版)。ビルクホイザー。土井：10.1007/978-0-8176-4705-6。ISBN 978-0-8176-4704-9。LCCN 2009939668。

[Cowlishaw_2000-4] Cowlishaw, Michael Frederic (2007-02-13) [2000-10-03]. 「高密度パック10進符号化の概要」. IBM . 2015年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月7日閲覧。