Mathematical function
上半平面における デデキント η関数 数学 において 、 デデキント・エータ関数は、 リチャード・デデキント にちなんで名付けられた 、重み1/2の モジュラー形式であり、虚部が正である 複素数 の 上半平面 上で定義される関数である。 ボゾン弦理論 にも現れる 。
意味 Im( τ ) > 0 を 満たす任意の複素数 τ に対して 、 q = e 2 πiτ とすると、η関数は次のように定義される。
η ( τ ) = e π i τ 12 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − e 2 n π i τ ) = q 1 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) . {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).} エータ方程式を24乗し、 ( 2π ) 12 を掛けると、
Δ ( τ ) = ( 2 π ) 12 η 24 ( τ ) {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )} ここで、 Δは モジュラー判別式 である。24 の 存在は 、24次元 リーチ格子 などの他の例との関連で理解できる。
エータ関数は 上半平面上では 正則ですが、それを超えて解析的に継続することはできません。
単位円上のオイラー係数φ。黒＝0、赤＝4となるように色分けされている。 q の関数としてのモジュラー判別式の実部 。 エータ関数は 関数方程式 [1]を満たす。
η ( τ + 1 ) = e π i 12 η ( τ ) , η ( − 1 τ ) = − i τ η ( τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}} 2番目の方程式では、 τ = i のときに √ − iτ = 1 となるように 平方根の枝 が選択されます。
より一般的には、 a 、 b 、 c 、 dが ad − bc = 1 を満たす整数であるとする と、
τ ↦ a τ + b c τ + d {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}} は モジュラー群 に属する変換である。c > 0 、または c = 0 かつ d = 1 と仮定することができる 。その場合、
η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( c τ + d ) 1 2 η ( τ ) , {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),} どこ
ϵ ( a , b , c , d ) = { e b i π 12 c = 0 , d = 1 , e i π ( a + d 12 c − s ( d , c ) − 1 4 ) c > 0. {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}} ここで s ( h , k )は デデキント和 である
s ( h , k ) = ∑ n = 1 k − 1 n k ( h n k − ⌊ h n k ⌋ − 1 2 ) . {\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).} これらの関数方程式により、イータ関数は 重みの モジュラー形式となる 。 1 / 2 およびモジュラー群の メタプレクティック二重被覆 の位数24の特定の指標に対するレベル1のモジュラー群で あり、他のモジュラー形式を定義するために使用できる。特に、 ワイエルシュトラス の楕円関数の モジュラー判別式 は、
ω 2 = τ ω 1 {\displaystyle \omega _{2}=\tau \omega _{1}} 次のように定義できる
Δ ( τ ) = ( 2 π ω 1 ) 12 η ( τ ) 24 {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}\,} これは重み12のモジュラー形式です。著者によっては(2π ) 12 の 係数を省略して 級数展開に整数係数を持たせる人もいます。
ヤコビ の三重積は、 引数の特別な値に対して、 イータが（因数を除いて）ヤコビの シータ関数であることを意味する： [2]
η ( τ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) exp ( π i n 2 τ 12 ) , {\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),} ここで、 χ ( n )は χ (±1) = 1 かつ χ (±5) = −1 を満たす 12 を 法とする ディリクレ指標 である。明示的には、 [ 引用が必要 ]
η ( τ ) = e π i τ 12 ϑ ( τ + 1 2 ; 3 τ ) . {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).} オイラー 関数
ϕ ( q ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = q − 1 24 η ( τ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}} はオイラー恒等式 によるべき級数を持つ ：
ϕ ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 3 n 2 − n 2 . {\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.} のオイラー五角数定理 を 用いると 、エータ関数は次のように表せる
ことに注意されたい。 I ( τ ) > 0 {\displaystyle {\mathfrak {I}}(\tau )>0}
η ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i n e 3 π i ( n + 1 6 ) 2 τ . {\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n+{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }.} これは、オイラーの五角数定理 とイータ関数の定義
を 使用 して証明できます。 x = 2 π i τ {\displaystyle x=2\pi i\tau }
イータ関数を見るもう一つの方法は、次の極限を通してである。
lim z → 0 ϑ 1 ( z | τ ) z = 2 π η 3 ( τ ) {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\vartheta _{1}(z|\tau )}{z}}=2\pi \eta ^{3}(\tau )}
あるいは次のようになります:
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) q ( 2 n + 1 ) 2 8 = η 3 ( τ ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac {(2n+1)^{2}}{8}}=\eta ^{3}(\tau )}
ヤコビ・シータ関数 は どこに あり、 ϑ 1 ( z | τ ) {\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )} ϑ 1 ( z | τ ) = − ϑ 11 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )=-\vartheta _{11}(z;\tau )}
イータ関数はどちらの 級数 からも数値的に簡単に計算できるため、可能な場合は他の関数をイータ関数で表現すると計算に役立つことが多く、イータ関数の積と商はイータ商と呼ばれ、さまざまなモジュラー形式を表現するために使用できます。
このページの図は、オイラー関数の係数、すなわち qの追加因子を示しています 。 1 / 24 これとηの間には視覚的な違いはほとんど見られません。したがって、この図はηをq の関数として描いた図と見ることができます 。
組み合わせ恒等式 アフィンリー代数 の 代数的指標 の理論は、 これまで知られていなかったエータ関数の大規模な恒等式を生み出す。これらの恒等式は、 ワイル・カック指標公式 、より具体的にはいわゆる「分母恒等式」から導かれる。指標自体によって、 モジュラー群 の下で変換する ヤコビ・シータ関数 の一般化を構成することが可能となり、これが恒等式へと繋がる。そのような新しい恒等式の一例として [3] が挙げられる。
η ( 8 τ ) η ( 16 τ ) = ∑ m , n ∈ Z m ≤ | 3 n | ( − 1 ) m q ( 2 m + 1 ) 2 − 32 n 2 {\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}} ここで、 q = e 2 πiτ は、モジュールの 最大重量の q アナログ または「変形」 です。
特別な値 上記のオイラー関数との関連と後者の特殊値から、次のことが容易に推測できる。
η ( i ) = Γ ( 1 4 ) 2 π 3 4 η ( 1 2 i ) = Γ ( 1 4 ) 2 7 8 π 3 4 η ( 2 i ) = Γ ( 1 4 ) 2 11 8 π 3 4 η ( 3 i ) = Γ ( 1 4 ) 2 3 3 ( 3 + 2 3 ) 1 12 π 3 4 η ( 4 i ) = − 1 + 2 4 Γ ( 1 4 ) 2 29 16 π 3 4 η ( e 2 π i 3 ) = e − π i 24 3 8 Γ ( 1 3 ) 3 2 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}
イータ商 イータ商は次の形式の商で定義される。
∏ 0 < d ∣ N η ( d τ ) r d {\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}} ここで 、d は非負の整数、 r d は任意の整数である。虚数2次引数におけるイータ商の線形結合は 代数的 となる場合があり、またイータ商の線形結合は 整数的 となる場合もある。例えば、次のように定義する。
j ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 8 + 2 8 ( η ( 2 τ ) η ( τ ) ) 16 ) 3 j 2 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 12 + 2 6 ( η ( 2 τ ) η ( τ ) ) 12 ) 2 j 3 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 6 + 3 3 ( η ( 3 τ ) η ( τ ) ) 6 ) 2 j 4 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 4 + 4 2 ( η ( 4 τ ) η ( τ ) ) 4 ) 2 = ( η 2 ( 2 τ ) η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 24 {\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}} ウェーバーモジュラー関数 𝔣( τ ) の24乗で表すと 、
j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 , e π 163 ≈ 640320 3 + 743.99999999999925 … j 2 A ( − 58 2 ) = 396 4 , e π 58 ≈ 396 4 − 104.00000017 … j 3 A ( 1 + − 89 3 2 ) = − 300 3 , e π 89 3 ≈ 300 3 + 41.999971 … j 4 A ( − 7 2 ) = 2 12 , e π 7 ≈ 2 12 − 24.06 … {\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}} など、 ラマヌジャン-佐藤級数 に現れる値。
イータ商は、直接計算したり表現したりすることが難しいモジュラー形式 の基底を記述するのにも役立つツールとなる。1959年、モリス・ニューマンは 、上に示した形式の イータ商 η g 、すなわち ∏ 0 < d ∣ N η ( d τ ) r d {\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}
∑ 0 < d ∣ N d r d ≡ 0 ( mod 24 ) and ∑ 0 < d ∣ N N d r d ≡ 0 ( mod 24 ) , {\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},} η g は 合同部分群 Γ 0 ( N ) の 重み k モジュラー形式（ 正則性 を除く ）であり、 [ 4]
k = 1 2 ∑ 0 < d ∣ N r d . {\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.} この結果は2019年に拡張され、 N が 6と 互いに素な 場合には逆が成り立つようになったが、元の定理がすべての整数 N に対してシャープであるかどうかは未解決のままである 。 [5]これはまた、任意の レベル n 合同部分群の任意の モジュラーイータ商は、 群 Γ( N ) のモジュラー形式でなければならないとも 述べることに拡張される 。これらの定理は モジュラー イータ商を特徴付けるものであるが、 正則性の条件はジェラール・リゴザ [6] とイヴ・マルタン [7] の研究から生まれた定理を用いて別途確認する必要がある。
η g が 整数 N に対して上記の条件を満たすイータ商であり、 c と d が互いに素な整数である場合、 尖点 における消失の順序は c / d Γ 0 ( N ) に対する相対値 は
N 24 ∑ 0 < δ | N gcd ( d , δ ) 2 r δ gcd ( d , N d ) d δ . {\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{d}}\right)d\delta }}.} これらの定理は、正則モジュラー・イータ商を作成するための効果的な手段を提供しますが、 モジュラー形式と カスプ形式の ベクトル空間 の基底を構成するには十分ではない可能性があります。考慮すべきモジュラー・イータ商の数を制限するための有用な定理は、 Γ 0 ( N ) 上の正則
な重み k のモジュラー・イータ商は、
∑ 0 < d ∣ N | r d | ≤ ∏ p ∣ N ( p + 1 p − 1 ) min ( 2 , ord p ( N ) ) , {\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},} ここで ord p ( N )は p mが N を 割り切る 最大の整数 m を表す。 [8] これらの結果は、モジュラーイータ商で張られるモジュラー形式の空間のいくつかの特徴付けにつながる。 [8]モジュラー形式の環上の 次数付き環 構造を用いて 、イータ商の-線型結合からなるモジュラー形式のベクトル空間の基底を計算することができる 。例えば、 N = pq が半素数 であると仮定すると、次のプロセスを使用して M k (Γ 0 ( N )) のイータ商基底を計算することができる 。 [5] C {\displaystyle \mathbb {C} }
6と互いに素な半素数 N = pq （つまり、 p , q > 3 ）を固定します。上記の定理を用いて任意のモジュラーイータ商を求めることができることが分かっているので、アルゴリズム的に計算することは合理的です。 M k (Γ 0 ( N )) の 次元 D を計算します。これにより、基底を形成するために計算する必要がある線形独立なモジュラーイータ商の数がわかります。 考慮すべきイータ商の数を減らす。半素数の場合、以下の境界値を用いて分割数を減らすことができる。 ∑ 0 < d ∣ N | r d | {\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|} そして、 Γ 0 ( N ) のカスプにおける消失次数の合計は 、
S := ( p + 1 ) ( q + 1 ) 6 {\displaystyle S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}} . [5] Sを4つの組に分割するすべての分割（ Γ 0 ( N ) のカスプは4つあります） を求め 、その中でニューマンの条件を満たす分割のみを考えます（消失の順序を指数に変換できます）。これらの分割はそれぞれ、一意のイータ商に対応します。 各イータ商のq 展開 において、要素を一意に識別するために必要な項数の最小値を求めます （これはシュトゥルムの境界として知られる結果を用います）。次に、線形代数を用いて、これらのイータ商間の最大独立集合を求めます。 D 個の線形独立なイータ商が まだ見つかっていないと仮定して、 k ′ と M k ′ (Γ 0 ( N ) ) が（ 弱正則 ）イータ商で張られ、 [8] M k ′ − k (Γ 0 ( N ) ) が イータ商 η g を含むような適切なベクトル空間 M k ′ (Γ 0 ( N )) を見つけます。 重み k を持つモジュラー形式 f を取り、その重み k が計算したイータ商の範囲に含まれない。そして、 f η g を M k ′ (Γ 0 ( N )) におけるイータ商の線形結合として計算し、 η g で割ります 。結果は、 f を目的のイータ商の線形結合として表したものです。基底が形成されるまでこれを繰り返します。 デデキントイータ関数の6300以上の積の恒等式を標準的かつ標準化された形式で収集したものが、 マイケル・ソモスのウェブサイトの
ウェイバックマシン [9]で入手できます。
参照
参考文献 ^ シーゲル、CL (1954)。 「 η (−1/ τ ) = η ( τ ) √ τ / i の簡単な証明 」。 数学 。 1 : 4. 土井 ：10.1112/S0025579300000462。 ^ バンプ、ダニエル（1998）、 保型形式と表現 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-55098-X ^ フックス、ユルゲン（1992）、 アフィンリー代数と量子群 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-48412-X ^ ニューマン、モリス (1959). 「モジュラー関数のクラスの構築と応用 (II)」. ロンドン数学会誌 9 ( 3): 373– 387. doi :10.1112/plms/s3-9.3.373. ^ abc Allen, Michael; Anderson, Nicholas; Hamakiotes, Asimina; Oltsik, Ben; Swisher, Holly (2020). 「素数または半素数レベルのイータ商と楕円曲線」. Involve . 13 (5): 879– 900. arXiv : 1901.10511 . doi :10.2140/involve.2020.13.879. S2CID 119620241. ^ Ligozat、G. (1974)。 ジャンル モジュールのクールブ 1 。出版物 オルセー数学。 Vol. 75. UER Mathématique、パリ第 11 大学、オルセー。 p. 7411。 ^ Martin, Yves (1996). 「乗法η商」. アメリカ数学会誌 . 348 (12): 4825–4856. doi : 10.1090/S0002-9947-96-01743-6 . ^ abc Rouse, Jeremy; Webb, John J. (2015). 「イータ商によって張られるモジュラー形式の空間について」. Advances in Mathematics . 272 : 200–224. arXiv : 1311.1460 . doi : 10.1016/j.aim.2014.12.002 . ^ 「Dedekind Eta Function Product Identities by Michael Somos」。2019年7月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。
さらに読む 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115e2cf1ec4847441337ad3abd833a55bc29a968)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f93a438d67482758dba183240bdd2cdbacf0484)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0641e0c59b568e5db8ec354794d037654100f3)
