デラポルト分布

デラポルト
確率質量関数 とが0のとき、分布はポアソン分布です。が0のとき、分布は負の二項分布です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda }$
累積分布関数 とが0のとき、分布はポアソン分布です。が0のとき、分布は負の二項分布です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda }$
パラメータ	${\displaystyle \lambda >0}$（平均固定） ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$（変数平均のパラメータ）
サポート	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {\Gamma (\alpha +i)\beta ^{i}\lambda ^{k-i}e^{-\lambda }}{\Gamma (\alpha )i!(1+\beta )^{\alpha +i}(k-i)!}}}$
CDF	${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}\sum _{i=0}^{j}{\frac {\Gamma (\alpha +i)\beta ^{i}\lambda ^{j-i}e^{-\lambda }}{\Gamma (\alpha )i!(1+\beta )^{\alpha +i}(j-i)!}}}$
平均	${\displaystyle \lambda +\alpha \beta }$
モード	${\displaystyle {\begin{cases}z,z+1&\{z\in \mathbb {Z} \}:\;z=(\alpha -1)\beta +\lambda \\\lfloor z\rfloor &{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle \lambda +\alpha \beta (1+\beta )}$
歪度	#プロパティ を参照
過剰尖度	#プロパティ を参照
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{\lambda (e^{t}-1)}}{(1-\beta (e^{t}-1))^{\alpha }}}}$

デラポルト分布は、保険数理科学で注目されている離散確率分布です。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは、負の二項分布とポアソン分布の畳み込みを使用して定義できます。^{[ 2 ]}負の二項分布が、平均パラメータ自体がガンマ分布を持つランダム変数であるポアソン分布と見なすことができるのと同様に、デラポルト分布は、平均パラメータに 2 つのコンポーネント、つまりパラメータを持つ固定コンポーネントと、パラメータとパラメータを持つガンマ分布の可変コンポーネントがある、ポアソン分布に基づく複合分布と見なすことができます。^{[ 3 ]}この分布は、1959 年に自動車事故の請求件数に関連してこの分布を分析したピエール デラポルトにちなんで名付けられましたが、^{[ 4 ]}これは早くも 1934 年にロルフ フォン リューダースの論文で別の形式で登場しており、^{[ 5 ]}そこでは Formel II 分布と呼ばれていました。^{[ 2 ]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

プロパティ

デラポルト分布の 歪度は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\lambda +\alpha \beta (1+3\beta +2\beta ^{2})}{\left(\lambda +\alpha \beta (1+\beta )\right)^{\frac {3}{2}}}}}$

分布の 過剰尖度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\lambda +3\lambda ^{2}+\alpha \beta (1+6\lambda +6\lambda \beta +7\beta +12\beta ^{2}+6\beta ^{3}+3\alpha \beta +6\alpha \beta ^{2}+3\alpha \beta ^{3})}{\left(\lambda +\alpha \beta (1+\beta )\right)^{2}}}}$

参考文献

1. Panjer, Harry H. (2006). 「離散パラメトリック分布」. Teugels, Jozef L.; Sundt, Bjørn (編).アクチュアリー科学百科事典. John Wiley & Sons . doi : 10.1002/9780470012505.tad027 . ISBN 978-0-470-01250-5。
2. ジョンソン, ノーマン・ロイド;ケンプ, アドリエンヌ・W .;コッツ, サミュエル(2005).単変量離散分布（第3版）.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  241– 242. ISBN 978-0-471-27246-5。
3. Vose, David (2008).リスク分析：定量的ガイド（第3版、イラスト入り）. John Wiley & Sons . pp.  618– 619. ISBN 978-0-470-51284-5。LCCN  2007041696。
4. デラポルト、ピエール J. (1960)。 「Quelques problèmes de statistiques mathématiquesposes par l'Assurance Automobile et le Bonus pour non sinistre」[自動車保険とノークレームボーナスに関連した数学的統計のいくつかの問題]。Bulletin Trimetriel de l'Institut des Actuaires Français (フランス語)。227 : 87-102 .
5. フォン・リューダース、ロルフ (1934)。 「Die Statistik der seltenen Ereignisse」[稀な出来事の統計]。バイオメトリカ（ドイツ語）。26 ( 1–2 ): 108–128 .土井: 10.1093/biomet/26.1-2.108。JSTOR 2332055。 

さらに読む

• Murat, M.; Szynal, D. (1998). 「k次再帰を満たす計数分布とその複合分布のモーメントについて」 . Journal of Mathematical Sciences . 92 (4): 4038– 4043. doi : 10.1007/BF02432340 . S2CID  122625458 .

外部リンク

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