密な順序

Partial order where any two distinct comparable elements have another element between them

数学において、集合上の半順序または全順序<が稠密であるとは、と の任意のに対して、となる が存在することを言います。つまり、一方が他方より小さい任意の2つの要素について、その間に別の要素が存在するということです。全順序の場合、これは「任意の2つの異なる要素について、その間に別の要素が存在する」と簡略化できます。なぜなら、全順序のすべての要素は と比較可能だからです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<z<y}$

例

線型集合としての有理数は、代数的数、実数、二項有理数、小数と同様に、この意味で稠密集合である。実際、整数のアルキメデスの順序付き環拡大はすべて稠密集合である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

証拠

元 について、アルキメデスの性質により、であれば となる最大の整数が存在し、、であればとなる最大の整数が存在します。結果として、 となります。 、 、 の任意の 2 つの元について、となります。したがって は稠密です。 ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle n<x}$ ${\displaystyle n<x<n+1}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle m=-n-1<-x}$ ${\displaystyle -n-1<-x<-n}$ ${\displaystyle 0<x-n<1}$ ${\displaystyle y,z\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle z<y}$ ${\displaystyle 0<(x-n)(y-z)<y-z}$ ${\displaystyle z<(x-n)(y-z)+z<y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

一方、整数上の線形順序は稠密ではありません。

端点のない全密順序の一意性

ゲオルク・カントールは、下限値や上限値を持たない、空でない2つの稠密全順序可算集合は順序同型であることを証明した。^[1]これにより、境界のない稠密線型順序の理論は、ωを最小の極限順序数とするω圏論の例となる。例えば、有理数と、二項有理数や代数的数を含む他の稠密順序可算集合との間には順序同型が存在する。これらの結果の証明には、往復法が用いられる。^[2]

ミンコフスキーの疑問符関数は、二次代数数と有理数の間、および有理数と二項有理数の間の順序同型を決定するために使用できます。

一般化

任意の二項関係 Rが稠密であるとは、R に関連するすべてのxとyに対して、 xと z、かつzと yがRに関連するようなz が存在する場合を言う。正式には、

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$あるいは、 Rとそれ自身の合成の観点から、稠密条件はR⊆ ( R  ; R )と表現されることもある。^[3]

集合X上の二項関係Rが稠密である ための十分な条件は次のとおりです。

• Rは再帰的です。
• Rはコア反射的です。
• Rは準反射的です。
• Rは左または右ユークリッドである、または
• Rは対称かつ半連結であり、X には少なくとも 3 つの要素があります。

いずれも必須ではありません。例えば、反射的ではないが稠密な関係 R が存在します。空でない稠密な関係は、反推移的ではありません。

厳密な半順序 < が稠密順序となるのは、< が稠密関係である場合に限ります。推移的でもある稠密関係は、冪等であると言われます。

参照

• 稠密集合— 位相空間の部分集合であり、その閉包は空間全体である
• 稠密な位相空間 —孤立点を含まない位相空間の部分集合 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• クリプキ意味論— 稠密なアクセス可能性関係は公理に対応する ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

参考文献

1. ロイトマン、ジュディス（1990年）「定理27、p.123」、現代集合論入門、純粋数学と応用数学、第8巻、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 9780471635192。
2. Dasgupta, Abhijit (2013), 集合論：実点集合入門、Springer-Verlag、p. 161、ISBN 9781461488545。
3. グンター・シュミット(2011)リレーショナル数学、212ページ、ケンブリッジ大学出版局 ISBN 978-0-521-76268-7

さらに読む

• David Harel、Dexter Kozen、Jerzy Tiuryn、『Dynamic logic』、MIT Press、2000年、ISBN 0-262-08289-6、6ページ以降

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