Dericheエッジ検出器

Edge detection operator

Dericheエッジ検出器は、1987年にRachid Dericheによって開発されたエッジ検出演算子です。これは、離散的な2次元画像におけるエッジ検出の最適な結果を得るために使用される多段階アルゴリズムです。このアルゴリズムは、 John F. Cannyによるエッジ検出に関する研究（Cannyのエッジ検出器）と、彼が提唱した最適なエッジ検出の基準に基づいています。

• 検出品質- 既存のエッジはすべてマークされ、誤検出は発生しません。
• 精度- マークされたエッジは、実際の画像のエッジにできるだけ近くなる必要があります。
• 明確性- 画像内の特定のエッジは一度だけマークされるべきです。実画像内の1つのエッジに対して複数の応答があってはなりません。

このため、このアルゴリズムは Canny-Deriche 検出器と呼ばれることがよくあります。

CannyとDericheエッジ検出器の違い

Deriche エッジ検出器は、Canny エッジ検出器と同様に、次の 4 つのステップで構成されます。

1. スムージング
2. 大きさと勾配方向の計算
3. 非最大抑制
4. ヒステリシス閾値設定（2つの閾値を使用）

本質的な違いは、アルゴリズムの最初の2つのステップの実装にあります。Cannyエッジ検出器とは異なり、Dericheエッジ検出器は次の形式のIIRフィルタを使用します。

${\displaystyle f(x)={\frac {S}{\omega }}e^{-\alpha |x|}\sin \omega x}$

このフィルタはCanny基準を最適化します。前述の式から明らかなように、最も効果的なフィルタは、の値が0に近づくときに得られます。このようなフィルタは、以下の式を使用します。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle f(x)=Sxe^{-\alpha |x|}}$

このようなフィルタの利点は、1つのパラメータのみで処理対象画像の特性に適応できることです。αの値が小さい場合（通常0.25～0.5）、検出精度が向上します。一方、パラメータ値が大きい場合（2～3程度）、位置特定精度が向上します。通常の場合、パラメータ値は1程度が推奨されます。

Dericheフィルタを使用したスムージングの例

画像
α	α = 0.25	α = 0.5	α = 1	α = 2

IIRフィルタの使用は、処理対象画像にノイズが多い場合や、大量の平滑化が必要な場合（FIRフィルタの畳み込みカーネルが大きくなる）に特に有効です。このような場合、Deriche検出器はCanny検出器よりも大きな利点があります。なぜなら、Deriche検出器は、必要な平滑化量に関わらず、短時間で画像を処理できるからです。

Deriche検出器の実装

2次元Dericheフィルタの値を取得するプロセスは2つの部分に分けることができます。最初の部分では、画像配列が次の式に従って左から右へ水平方向に渡されます。

${\displaystyle y_{ij}^{1}=a_{1}x_{ij}+a_{2}x_{ij-1}+b_{1}y_{ij-1}^{1}+b_{2}y_{ij-2}^{1}}$

そして、次の式に従って右から左へ進みます。

${\displaystyle y_{ij}^{2}=a_{3}x_{ij+1}+a_{4}x_{ij+2}+b_{1}y_{ij+1}^{2}+b_{2}y_{ij+2}^{2}}$

計算結果は一時的な2次元配列に格納されます。

${\displaystyle \theta _{ij}=c_{1}(y_{ij}^{1}+y_{ij}^{2})}$

アルゴリズムの2番目のステップは1番目のステップと非常に似ています。前のステップで得られた2次元配列が入力として使用され、以下の式に従って、上から下、そして下から上へと垂直方向に渡されます。

${\displaystyle y_{ij}^{1}=a_{5}\theta _{ij}+a_{6}\theta _{i-1j}+b_{1}y_{i-1j}^{1}+b_{2}y_{i-2j}^{1}}$

${\displaystyle y_{ij}^{2}=a_{7}\theta _{i+1j}+a_{8}\theta _{i+2j}+b_{1}y_{i+1j}^{2}+b_{2}y_{i+2j}^{2}}$

${\displaystyle \Theta _{ij}=c_{2}(y_{ij}^{1}+y_{ij}^{2})}$

アルゴリズムの記述から、処理される行と列は互いに独立していることが示唆されます。そのため、IIRフィルタに基づくソリューションは、高度な並列化をサポートする組み込みシステムやアーキテクチャでよく採用されています。

Dericheフィルタ係数

	スムージング	x微分	y微分
${\displaystyle k}$	${\displaystyle {\frac {{(1-e^{-\alpha })}^{2}}{1+2\alpha e^{-\alpha }-e^{-2\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {{(1-e^{-\alpha })}^{2}}{1+2\alpha e^{-\alpha }-e^{-2\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {{(1-e^{-\alpha })}^{2}}{1+2\alpha e^{-\alpha }-e^{-2\alpha }}}}$
${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle k}$	0	${\displaystyle k}$
${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha -1)}$	1	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha -1)}$
${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha +1)}$	-1	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha +1)}$
${\displaystyle a_{4}}$	${\displaystyle -ke^{-2\alpha }}$	0	${\displaystyle -ke^{-2\alpha }}$
${\displaystyle a_{5}}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	0
${\displaystyle a_{6}}$	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha -1)}$	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha -1)}$	1
${\displaystyle a_{7}}$	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha +1)}$	${\displaystyle ke^{-\alpha }(\alpha +1)}$	-1
${\displaystyle a_{8}}$	${\displaystyle -ke^{-2\alpha }}$	${\displaystyle -ke^{-2\alpha }}$	0
${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle 2e^{-\alpha }}$	${\displaystyle 2e^{-\alpha }}$	${\displaystyle 2e^{-\alpha }}$
${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle -e^{-2\alpha }}$	${\displaystyle -e^{-2\alpha }}$	${\displaystyle -e^{-2\alpha }}$
${\displaystyle c_{1}}$	1	${\displaystyle -{(1-e^{-\alpha })}^{2}}$	1
${\displaystyle c_{2}}$	1	1	${\displaystyle -{(1-e^{-\alpha })}^{2}}$

アルゴリズムの数学的特性は、Deriche検出器の実際の実装において頻繁に利用されます。アルゴリズムの一部のみを実装し、それを2回呼び出して、結果の行列の転置を行うだけで十分です。

さまざまなソース画像にDericheフィルタを使用する例

ソース画像
フィルタリングされた画像
フィルターパラメータ	α = 1.5 低閾値 = 20 高閾値 = 40	α = 4.0 低閾値 = 50 高閾値 = 90	α = 0.8 低閾値 = 26 高閾値 = 41	α = 1.0 低閾値 = 15 高閾値 = 35

参照

• Cannyエッジ検出器
• IIR
• エッジ検出

さらに読む

• R. Deriche、「Canny の基準を使用した再帰的に実装された最適エッジ検出器の導出」、Int. J. Computer Vision、Vol. 1、pp. 167–187、1987 年 4 月。
• R. Sirdey、「Deriche 最適エッジ検出器の簡単な入門」、Éditions des Nik's news、1998 年。
• J. Canny、「エッジ検出への計算的アプローチ」、IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence、8(6):679–698、1986年。

外部リンク

• ラシッド・デリシェの個人ページ
• ダイアン・リングランドによるエッジ検出器に関する講義
• ジョン・キャニーの個人ページ

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