テンソル微分（連続体力学）

スカラー、ベクトル、および2階テンソルの2階テンソルに対する微分は、連続体力学において非常に有用である。これらの微分は、非線形弾性・塑性理論、特に数値シミュレーションのアルゴリズム設計において用いられる。^[1]

方向微分はこれらの微分を求める体系的な方法を提供する。^[2]

ベクトルと2階テンソルに関する微分

様々な状況における方向微分の定義を以下に示します。関数は十分に滑らかであり、微分が可能であるものと仮定します。

ベクトルのスカラー値関数の微分

f ( v ) をベクトルvの実数値関数とする。すると、 f ( v ) のvに関する（またはvにおける）微分は、任意 のベクトルuとのドット積によって定義されるベクトルとなる。

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

すべてのベクトルuについて、上記の内積はスカラー値を与え、u が単位ベクトルであれば、vにおけるfのu方向の方向微分を与えます。

プロパティ:

1. もしそうなら ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$$
2. もしそうなら ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$$
3. もしそうなら ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$$

ベクトルのベクトル値関数の微分

f ( v ) をベクトルvのベクトル値関数とする。すると、 f ( v ) のvに関する（またはvにおける）微分は、任意 のベクトルuとのドット積で定義される2階テンソルとなる。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

すべてのベクトルuについて、上記の内積はベクトルを生成し、u が単位ベクトルであれば、方向uにおけるvにおけるfの方向微分を与えます。

プロパティ:

1. もしそうなら ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$$
2. もしそうなら ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$$
3. もしそうなら ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$$

2階テンソルのスカラー値関数の微分

を2階テンソル の実数値関数とします。このとき、を（または）方向で微分すると、 はすべての2階テンソルに対して と定義される2階テンソルになります。 ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

プロパティ:

1. もしそうなら ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$$
2. もしそうなら ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$$
3. もしそうなら ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$$

2階テンソルのテンソル値関数の微分

を2階テンソル の2階テンソル値関数とします。このとき、を（または）方向で微分すると、はすべての2階テンソル に対してと定義される4階テンソルになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

プロパティ:

1. もしそうなら ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$$
2. もしそうなら ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$$
3. もしそうなら ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$$
4. もしそうなら ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$$

テンソル場の勾配

任意の定数ベクトルcの方向のテンソル場の勾配 、 、は次のように定義されます。順序nのテンソル場の勾配は順序n +1のテンソル場です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} =\lim _{\alpha \rightarrow 0}\quad {\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} )}$$

直交座標

が直交座標系の基底ベクトルで、点の座標が（）で表されている場合、テンソル場の勾配は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}}$$

証拠

ベクトルxとc はそれぞれ次のように表すことができます。y  := x + α cとします。この場合、勾配は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}~\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =c_{i}~\mathbf {e} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} &=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(x_{1}+\alpha c_{1},x_{2}+\alpha c_{2},x_{3}+\alpha c_{3})\right|_{\alpha =0}\equiv \left.{\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(y_{1},y_{2},y_{3})\right|_{\alpha =0}\\&=\left[{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{1}}}~{\cfrac {\partial y_{1}}{\partial \alpha }}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{2}}}~{\cfrac {\partial y_{2}}{\partial \alpha }}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{3}}}~{\cfrac {\partial y_{3}}{\partial \alpha }}\right]_{\alpha =0}=\left[{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{1}}}~c_{1}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{2}}}~c_{2}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{3}}}~c_{3}\right]_{\alpha =0}\\&={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{1}}}~c_{1}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{2}}}~c_{2}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{3}}}~c_{3}\equiv {\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}~c_{i}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}~(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {c} )=\left[{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}\right]\cdot \mathbf {c} \qquad \square \end{aligned}}}$$

基底ベクトルは直交座標系では変化しないため、スカラー場、ベクトル場v、および 2 次テンソル場の勾配には次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\cfrac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{i}=\phi _{,i}~\mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial (v_{j}\mathbf {e} _{j})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}=v_{j,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial (S_{jk}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial S_{jk}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}=S_{jk,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$$

曲線座標

が曲線座標系における反変基底ベクトルであり、点の座標が（）で示される場合、テンソル場の勾配は^[3]で与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {g} ^{1},\mathbf {g} ^{2},\mathbf {g} ^{3}}$ ${\displaystyle \xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}}$$

この定義から、スカラー場、ベクトル場v、および2次テンソル場の勾配に関して次の関係が得られます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\frac {\partial \phi }{\partial \xi ^{i}}}~\mathbf {g} ^{i}\\[1.2ex]{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\frac {\partial \left(v^{j}\mathbf {g} _{j}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\&=\left({\frac {\partial v^{j}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{j}\right)~\mathbf {g} _{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-v_{k}~\Gamma _{ij}^{k}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\[1.2ex]{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial \left(S_{jk}~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\&=\left({\frac {\partial S_{jk}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ij}^{l}-S_{jl}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\otimes \mathbf {g} ^{i}\end{aligned}}}$$

ここでクリストッフェル記号 は次のように定義される。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ $${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {g} _{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\quad \implies \quad \Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\cdot \mathbf {g} ^{k}=-\mathbf {g} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {g} ^{k}}{\partial \xi ^{j}}}}$$

円筒極座標

円筒座標では、勾配は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi ={}\quad &{\frac {\partial \phi }{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}~{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={}\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={}\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\end{aligned}}}$$

テンソル場の発散

テンソル場の発散は再帰関係を用いて定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}\right)~;\qquad {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}$$

ここで、cは任意の定数ベクトル、vはベクトル場です。がn > 1のテンソル場である場合、その場の発散はn − 1 のテンソル場となります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

直交座標

直交座標系では、ベクトル場vと 2 次テンソル場の間に次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{ik}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ik,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}$$

ここで、右端の式では偏微分に対するテンソル指数表記が用いられている。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}\neq {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}^{\textsf {T}}.}$$

対称2階テンソルの場合、発散は次のように表記されることが多い^[4]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial S_{ki}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ki,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}$$

上記の式は、 の直交座標成分形式（ と表記されることが多い）における定義として用いられることがあります。このような定義は、本稿の他の部分とは一貫性を欠くことに注意してください（曲線座標のセクションを参照）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {S}}}$

この違いは、微分を の行について行うか列について行うかによって生じ、慣例的なものです。これは例で示されます。直交座標系では、2階テンソル（行列）はベクトル関数 の勾配です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,ji}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)_{,j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)^{\textsf {T}}\right]&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{j,i}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{j,ii}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

最後の式は、代替定義/解釈^{[4]と同等である。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,jj}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{i}~\mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

曲線座標

曲線座標では、ベクトル場vと2階テンソル場の発散は ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=\left({\cfrac {\partial v^{i}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{i}\right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left({\cfrac {\partial S_{ik}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ii}^{l}-S_{il}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{k}\end{aligned}}}$$

より一般的には、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}}$$

円筒極座標

円筒極座標では $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$$

テンソル場の回転

n > 1 次テンソル場の回転も再帰関係を使用して定義されます。ここで、cは任意の定数ベクトル、vはベクトル場です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}})~;\qquad ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )}$$

1階テンソル（ベクトル）場の回転

ベクトル場vと任意の定数ベクトルcを考える。指数表記では、外積は で与えられる。ここでは置換記号 （レヴィ・チヴィタ記号とも呼ばれる）である。したがって、 $${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {c} =\varepsilon _{ijk}~v_{j}~c_{k}~\mathbf {e} _{i}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )=\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~c_{k}=(\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} }$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k}}$$

2階テンソル場の回転

2階テンソルの場合、1階テンソル場の回転の定義を用いると、 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle \mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}}=c_{m}~S_{mj}~\mathbf {e} _{j}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}})=\varepsilon _{ijk}~c_{m}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}=(\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {c} }$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}}=\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m}}$$

テンソル場の回転に関する恒等式

テンソル体の回転に関する最もよく使われる恒等式は、この恒等式はあらゆる階数のテンソル体に対して成り立つ。重要な二階テンソルの場合、この恒等式は次のことを意味する。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}})={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {0}}\quad \implies \quad S_{mi,j}-S_{mj,i}=0}$$

2階テンソルの行列式の微分

2階テンソルの行列式の微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$$

直交基底において、 の成分は行列Aとして表すことができます。その場合、右辺は行列の余因子に対応します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

証拠

を2階テンソルとし、 とする。テンソルのスカラー値関数の微分の定義から、 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\det({\boldsymbol {A}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right|_{\alpha =0}\\&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\det \left[\alpha ~{\boldsymbol {A}}\left({\cfrac {1}{\alpha }}~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\left[\alpha ^{3}~\det({\boldsymbol {A}})~\det \left({\cfrac {1}{\alpha }}~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right]\right|_{\alpha =0}.\end{aligned}}}$$

テンソルの行列式は、不変量を用いて特性方程式の形で表現することができる。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ $${\displaystyle \det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}})=\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}}).}$$

この展開を使うと、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\left[\alpha ^{3}~\det({\boldsymbol {A}})~\left({\cfrac {1}{\alpha ^{3}}}+I_{1}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~{\cfrac {1}{\alpha ^{2}}}+I_{2}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~{\cfrac {1}{\alpha }}+I_{3}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right)\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.\det({\boldsymbol {A}})~{\cfrac {d}{d\alpha }}\left[1+I_{1}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha +I_{2}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha ^{2}+I_{3}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha ^{3}\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.\det({\boldsymbol {A}})~\left[I_{1}({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}})+2~I_{2}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha +3~I_{3}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha ^{2}\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\det({\boldsymbol {A}})~I_{1}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~.\end{aligned}}}$$

不変量は次のように与えられる ことを思い出してください。 ${\displaystyle I_{1}}$ $${\displaystyle I_{1}({\boldsymbol {A}})={\text{tr}}{\boldsymbol {A}}.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}=\det({\boldsymbol {A}})~{\text{tr}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}:{\boldsymbol {T}}.}$$

の恣意性を利用すると、 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$$

2階テンソルの不変量の微分

2階テンソルの主な不変量は $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}({\boldsymbol {A}})&={\text{tr}}{\boldsymbol {A}}\\I_{2}({\boldsymbol {A}})&={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}{\boldsymbol {A}})^{2}-{\text{tr}}{{\boldsymbol {A}}^{2}}\right]\\I_{3}({\boldsymbol {A}})&=\det({\boldsymbol {A}})\end{aligned}}}$$

これら3つの不変量の微分は ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&={\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[3pt]{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{1}\,{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\\[3pt]{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\\&=I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}~\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)=\left({\boldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{\boldsymbol {A}}+I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right)^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$$

証拠

行列式の導関数から次のことがわかる。 $${\displaystyle {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$$

他の2つの不変量の導関数については、特性方程式に戻って考えてみましょう。 $${\displaystyle \det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})=\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}})~.}$$

テンソルの行列式と同じアプローチを用いると、次のことが示せる。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~\left[(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$$

左辺は次のように展開できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})&={\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left[\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}})\right]\\&={\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~.\end{aligned}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~\left[(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{-1}\right]^{\textsf {T}}}$$ $${\displaystyle (\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{\textsf {T}}\cdot \left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$

右辺を展開し、左辺の項を分離すると、 $${\displaystyle \left(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)\cdot \left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]=\left[\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

または、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}\right.&\left.+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda \right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\\&=\left[\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.\end{aligned}}}$$

と を定義すると、上式は次のように書ける。 ${\displaystyle I_{0}:=1}$ ${\displaystyle I_{4}:=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}\right.&\left.+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\\&=\left[I_{0}~\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.\end{aligned}}}$$

λの様々なべき乗を含む項を集めると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{3}&\left(I_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\lambda ^{2}\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\\&\qquad \qquad \lambda \left(I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\left(I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)=0~.\end{aligned}}}$$

そしてλの任意性を利用して、 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0\\I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0\\I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0~.\end{aligned}}}$$

これは、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&={\boldsymbol {\mathit {1}}}\\{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\\{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}~\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)=\left({\boldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{\boldsymbol {A}}+I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right)^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$$

2階単位テンソルの微分

を2階恒等テンソルとします。このテンソルの2階テンソルに対する微分は で与えられます。これは が に依存しないからです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {1}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\mathit {1}}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathsf {0}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathit {0}}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {1}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

2階テンソルのそれ自身に関する微分

を2階テンソルとする。すると ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left[{\frac {\partial }{\partial \alpha }}({\boldsymbol {A}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}={\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}:{\boldsymbol {T}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}}$$

これは4階の恒等テンソルである。直交基底に関する指数表記では ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}=\delta _{ik}~\delta _{jl}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$

この結果は、 $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{\textsf {T}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{\textsf {T}}=\delta _{jk}~\delta _{il}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$

したがって、テンソルが対称であれば、導関数も対称となり、対称4階単位テンソルは次のよう になる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{(s)}={\frac {1}{2}}~\left({\boldsymbol {\mathsf {I}}}+{\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{\textsf {T}}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{(s)}={\frac {1}{2}}~(\delta _{ik}~\delta _{jl}+\delta _{il}~\delta _{jk})~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$

2階テンソルの逆関数の微分

とを2つの2階テンソルとすると、直交基底に関するインデックス表記で は次の式も成り立ちます。インデックス表記 では、テンソルが対称 であれば、 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right):{\boldsymbol {T}}=-{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {A}}^{-1}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial A_{ij}^{-1}}{\partial A_{kl}}}~T_{kl}=-A_{ik}^{-1}~T_{kl}~A_{lj}^{-1}\implies {\frac {\partial A_{ij}^{-1}}{\partial A_{kl}}}=-A_{ik}^{-1}~A_{lj}^{-1}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-{\textsf {T}}}\right):{\boldsymbol {T}}=-{\boldsymbol {A}}^{-{\textsf {T}}}\cdot {\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}\cdot {\boldsymbol {A}}^{-{\textsf {T}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial A_{ji}^{-1}}{\partial A_{kl}}}~T_{kl}=-A_{jk}^{-1}~T_{lk}~A_{li}^{-1}\implies {\frac {\partial A_{ji}^{-1}}{\partial A_{kl}}}=-A_{li}^{-1}~A_{jk}^{-1}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial A_{ij}^{-1}}{\partial A_{kl}}}=-{\cfrac {1}{2}}\left(A_{ik}^{-1}~A_{jl}^{-1}+A_{il}^{-1}~A_{jk}^{-1}\right)}$$

証拠

思い出してください $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\mathit {1}}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathit {0}}}}$$

なので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {A}}\right):{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathit {0}}}}$$

2階テンソルの積の法則を使う $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {S}}}}[{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})]:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}+{\boldsymbol {F}}_{1}\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$$

あるいは、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {A}}):{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}^{-1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)={\boldsymbol {\mathit {0}}}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}^{-1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right):{\boldsymbol {T}}=-{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {A}}^{-1}}$$

部品ごとの統合

ドメイン、その境界、および外向きの単位法線 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

連続体力学におけるテンソル微分に関連するもう一つの重要な演算は部分積分である。部分積分の式は次のように書ける。 $${\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes ({\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {G}})\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\boldsymbol {G}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}\,d\Omega }$$

ここで、およびは任意の位数の微分可能なテンソル体であり、はテンソル体が定義されている領域に対する単位外向きの法線であり、は一般化されたテンソル積演算子を表し、は一般化された勾配演算子である。が恒等テンソルに等しいとき、発散定理が成立する。 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes {\boldsymbol {G}}\,d\Gamma \,.}$$

部分積分の式は、直交座標の指数表記で次のように表すことができます。 $${\displaystyle \int _{\Omega }F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,.}$$

テンソル積演算が1つのインデックスの縮約であり、勾配演算が発散であり、とが両方とも2階テンソルである特別なケースでは、 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {G}})\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \cdot \left({\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\right)\,d\Gamma -\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}):{\boldsymbol {G}}^{\textsf {T}}\,d\Omega \,.}$$

指数表記では、 $${\displaystyle \int _{\Omega }F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,.}$$

参照

• 共変微分
• リッチ計算

参考文献

1. Simo, JC; Hughes, TJR (1998).計算非弾性. Springer. doi :10.1007/b98904. ISBN 978-0-387-97520-7。
2. マースデン、ジェロルド・E.、ヒューズ、トーマス・JR (2000).弾性の数学的基礎. ドーバー. ISBN 978-0-486-678658。
3. Ogden, RW (2000).非線形弾性変形. ドーバー. ISBN 978-0-486-696485。
4. Hjelmstad, Keith (2004). 『構造力学の基礎』 Springer Science & Business Media. p. 45. ISBN 978-0-387-233307。

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