デジタルルート

Repeated sum of a number's digits

与えられた基数における自然数のデジタル根（反復デジタル和とも呼ばれる）は、各反復で前回の反復結果を使用して桁の合計を計算する、桁を合計する反復処理によって得られる（1 桁の）値です。この処理は、1 桁の数に達するまで続行されます。たとえば、基数 10 では、数 12345 のデジタル根は 6 です。これは、数内の桁の合計が 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 であるためです。次に、加算処理が結果の数 15 に対して再度繰り返され、1 + 5 の合計が 6 に等しくなり、これがその数のデジタル根です。基数 10 では、これは 9 で割った余りを取ることと同等です（デジタル根が 9 の場合を除き、9 で割った余りは 0 になります）。そのため、これを割り算の規則として使用できます。

正式な定義

を自然数とする。基数 について、その桁の和を以下のように定義する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

ここでは を底とする数の桁数であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

は数の各桁の値です。自然数がの不動点である場合、その数はデジタル根と呼ばれます。これは の場合に発生します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

すべての自然数は、底に関わらず、に対して前周期点となる。これは、 ならば、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

なぜなら。もし ならば、自明に ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

したがって、唯一の可能なデジタル根は自然数 であり、 の不動点以外に循環は存在しません。 ${\displaystyle 0\leq n<b}$ ${\displaystyle 0\leq n<b}$

例

12進数では、8は10進数3110の加法的な数字根であり、 ${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

このプロセスは、3110が12進数では1972であることを示しています。 ${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

19は12進数では17であることがわかります。また、8は12進数では1桁の数なので、

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$。

直接的な式

次のようにして、 基数の数字ルートを直接定義できます。 ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

合同式

ベースの式は次のとおりです。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}}$

または、

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

10 進数では、対応するシーケンスは ( OEISのシーケンスA010888 ) です。

数字根は を法とする値である。なぜならであり、したがって となるからである。したがって、数字の位置に関係なく となり、数字を意味のある形で追加できる理由が説明される。具体的には、3桁の数 の場合、 ${\displaystyle (b-1)}$ ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},}$ ${\displaystyle b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}}$ ${\displaystyle n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.}$

他の数 に関するモジュラー値を得るには、 の重み付け和 をとることができます。ここで、 - 番目の桁の重みは の値に対応します。10を基数とする では、これは に対して最も簡単です。1 桁目を除く上位桁は消えます（2 と 5 は 10 の累乗を割り切れるため）。これは、10 進数が 2、5、10 で割り切れるかどうかは最後の桁で確認できるというよく知られた事実に対応しています。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b^{i}{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle m=2,5,{\text{ and }}10}$

また、法 にも注目してください。 と なので、各桁の交互和をとると を法とした値が得られます。 ${\displaystyle m=b+1}$ ${\displaystyle b\equiv -1{\pmod {(b+1)}},}$ ${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {(b+1)}},}$ ${\displaystyle (b+1)}$

床関数の使用

正の整数のデジタルルートは、その数よりも小さい最大の倍数に対する位置として捉えると分かりやすいです。例えば、6進法では11のデジタルルートは2で、これは11が の次の数であることを意味します。同様に、10進法では2035のデジタルルートは1で、これは であることを意味します。ある数がちょうど のデジタルルートを生成する場合、その数は の倍数です。 ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle 6-1=5}$ ${\displaystyle 2035-1=2034|9}$ ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle b-1}$

これを念頭に置いて、正の整数のデジタル根は床関数を使って次のように定義できる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

プロパティ

• 基数のデジタル根は、 のデジタル根と のデジタル根を加算したデジタル根です。この特性は、合計が正しく実行されたかどうかを確認するための一種のチェックサムとして使用できます。 ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

• のデジタル根は、を法としたのデジタル根の差と一致する。 ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (b-1)}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\pmod {(b-1)}}.}$$

• のデジタルルートは ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$$

• 基数 の非ゼロの 1 桁の数値の積のデジタル根は、基数 のヴェーダ平方で与えられます。 ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

• の底におけるのデジタル根は、 のデジタル根と のデジタル根の積のデジタル根です。 ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

加法的持続性

加法的な持続性は、デジタル根に到達するまでに その数字を何回加算しなければならないかを数えます。

たとえば、10 進法の 2718 の加法持続性は2 です。まず、2 + 7 + 1 + 8 = 18 であることがわかり、次に 1 + 8 = 9 であることがわかり ます。

基数 における数の加法的な持続性には限界がありません。証明：与えられた数 に対して、数字 1 の繰り返しからなる数の持続性はの持続性よりも 1 高くなります。基数 10 における加法的な持続性の最小の数 0、1、… は次のとおりです。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

0、10、19、199、19 999 999 999 999 999 999、...（OEISのシーケンスA006050）

数列の次の数（加法持続性の最小値5）は2 × 10 ^{2×(10 22  − 1)/9}  − 1（つまり、1の後に2 222 222 222 222 222 222 222 222）である。任意の固定された基数において、数の桁の合計はその対数に比例する。したがって、加法持続性は反復対数に比例する。^[1]

プログラミング例

以下の例では、上記の定義で説明した数字の合計を実装して、Javaでデジタル根と加法的な持続性を検索します。

java.util.HashSetをインポートします。 パブリッククラスDigitFunctions {    // b 進数の桁の合計 静的int digitSum ( int x , int b ) {       int合計= 0 ;    x > 0の間​​     合計+= x % b ;     x /= b ;   } 合計を返します。  } // b を底とするデジタル根 静的intデジタルルート（int x 、int b ）{       HashSet < Integer > seen = new HashSet <> ();     while ( ! seen . contains ( x )) {   見た。add ( x ) ; x = digitSum ( x , b );    } xを返します。  } // b を底とする加法的な持続性 静的int additivePersistence ( int x , int b ) {       HashSet < Integer > seen = new HashSet <> ();     while ( ! seen . contains ( x )) {   見た。add ( x ) ; x = digitSum ( x , b );    } 見たものを返します。size () - 1 ;    } // 使用例 パブリック静的void main （文字列[]引数）{      整数x = 9876 ;    整数b = 10 ;    システム.out.println ( "数字の合計:" + digitSum ( x , b ) ) ;    システム.out.println ( "デジタルルート:" + digitalRoot ( x , b ) );    System.out.println ( " AdditivePersistence : " + additivePersistence ( x , b ) ) ;    }}

大衆文化において

西洋の数秘術では数字の根号が使われますが、神秘的な意味を持つとされる特定の数字 (11 や 22 など) は必ずしも 1 桁に完全に縮減されるわけではありません。

デジタル ルーツは、ビジュアル ノベル アドベンチャー ゲーム「Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors」において重要なメカニズムを形成します。

参照

• 算術力学
• 9進数
• 9を投げ出す
• 数字の合計
• 割り算の規則
• ハミング重み
• 乗法デジタル根

参考文献

1. Meimaris, Antonios (2015), pを底とする数の加法的持続性について, プレプリント

• アバーバック、ボニー、チェイン、オリン（1999年5月27日）「レクリエーション数学による問題解決」、ドーバー数学書籍（復刻版）、ミネオラ、ニューヨーク州：クーリエドーバー出版、pp. 125–127、ISBN 0-486-40917-1（オンライン版、125ページ、Googleブックス）
• ガナム、タラル（2011年1月4日）『数字の謎：デジタルルートを通して明らかに』CreateSpace Publications、  68～ 73ページ、ISBN 978-1-4776-7841-1、2016年3月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月11日閲覧。（オンライン版、68ページ、Googleブックス）
• Hall, FM (1980), 『抽象代数入門』第1巻（第2版）、ケンブリッジ、英国：CUPアーカイブ、p. 101、ISBN 978-0-521-29861-2（オンライン版、101ページ、Googleブックス）
• O'Beirne, TH (1961年3月13日)、「パズルとパラドックス」、ニューサイエンティスト、10 (230)、リードビジネスインフォメーション: 53– 54、ISSN  0262-4079（オンライン版、53ページ、Googleブックス）
• Rouse Ball, WW ; Coxeter, HSM (2010年5月6日)、Mathematical Recreations and Essays、Dover Recreational Mathematics (第13版)、NY: Dover Publications、ISBN 978-0-486-25357-2（Googleブックスのオンラインコピー）

外部リンク

• MS Excel を使用した数値根のパターン
• ワイスタイン、エリック・W.「デジタルルート」。MathWorld。

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