ディラックコム

Periodic distribution ("function") of "point-mass" Dirac delta sampling

ディラックの櫛形関数のグラフは、T間隔で配置されたディラックのデルタ関数の無限級数である。

数学において、ディラック・コーム（ sha関数、インパルス列、サンプリング関数とも呼ばれる）は、ある与えられた周期に対して式 を持つ周期的な 一般化関数である。^[1]ここでtは実変数であり、和はすべての整数k に及ぶ。ディラックのデルタ関数とディラック・コームは焼き戻し分布である。^{[2] [3]}関数のグラフは櫛に似ている（s を櫛の歯とする）ため、この関数の名前が付けられ、また、この関数を表すために櫛のようなキリル文字sha (Ш) が使用される。 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

周期を省略した記号は単位周期のディラック櫛を表す。これは^[1] ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ (t)\ =\operatorname {\text{Ш}} _{\ 1}(t):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k)}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).}$$

ディラックの櫛形関数は周期的であるため、ディリクレ核に基づくフーリエ級数として表すことができる。^[1] $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

ディラック櫛形関数は、フーリエ級数を参照することなく、緩和分布上の連続フーリエ解析という単一の枠組みで、サンプリングやエイリアシングといった連続現象と離散現象の両方を表現することを可能にする。ディラック櫛形のフーリエ変換は、もう一つのディラック櫛形である。緩和分布上の畳み込み定理はポアソン和公式となるため、信号処理において、ディラック櫛形は、それを乗算することでサンプリングをモデル化できるだけでなく、それを畳み込むことで周期化をモデル化することもできる。^[4]

ディラック・コム恒等式

ディラック・コームは2つの方法で構築できる。1つは、一定である関数にコーム 演算子（サンプリングを実行）を適用する方法、もう1つは、ディラック・デルタに繰り返し演算子（周期化を実行）を適用する方法である。正式には、これは以下の式をもたらす：^{[5] [6]}ここで、および ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$ $${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

信号処理において、この性質により、一方ではを で乗算して関数をサンプリングすることができ、他方ではを で畳み込むことによっての周期化も可能になります。^{[7]ディラックのくし形恒等式は、緩和分布に対する}畳み込み定理の特殊なケースです。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

スケーリング

ディラックコームのスケーリング特性は、ディラックのデルタ関数の特性から導かれる。^[8]は正の実数に対してであるので、次の式が成り立つ。 負のスケーリング数の代わりに正のスケーリング数を要求することは制約ではないことに注意されたい。なぜなら、負の符号は 内の和の順序を逆転させるだけであり、結果には影響しないからである。 ${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\ \delta \!\left({\frac {t}{a}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\!\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$

フーリエ級数

は周期 で周期的であることは明らかである。つまり、すべてのtに対して となる。このような周期関数の複素フーリエ級数は、 （分布理論を用いると）フーリエ係数が ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

すべてのフーリエ係数は1/ Tなので、 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

周期が 1 単位のとき、これは次のように簡略化されます。 これは、通常の複素数の級数として理解すると発散級数ですが、超過分布の意味で収束します。 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$

ディラックコムの「平方根」は物理学のいくつかの応用で利用されており、具体的には^[9] 、これは通常の意味での分布ではない。 $${\displaystyle \delta _{N}^{(1/2)}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {NT}}}\sum _{\nu =0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{T}}\xi \nu },\quad \lim _{N\rightarrow \infty }\left|\delta _{N}^{(1/2)}(\xi )\right|^{2}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -kT).}$$

フーリエ変換

ディラックコムのフーリエ変換もまたディラックコムである。周波数領域（Hz）で表されたフーリエ変換では、周期のディラックコムは、スケールが変更された周期のディラックコムに変換される。すなわち、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~}$

は別のディラックコムに比例しますが、周期は周波数領域（ラジアン/秒）です。したがって、単位周期のディラックコムは、固有値に対する固有関数です。 ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1.}$

この結果は、次のように定義される関数族のそれぞれのフーリエ変換を考慮することによって確立される^[7]。 ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

は収束するガウス関数の級数であり、ガウス関数はガウス関数に変換されるので、それぞれのフーリエ変換もガウス関数の級数となり、明示的な計算により次の式が成り立つ。 ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

したがって、関数およびはそれぞれ、等間隔のガウススパイクおよびからなる周期関数に似ています。これらのスパイクのそれぞれの「高さ」（前置係数）は、無限大でゼロになる、ゆっくりと減少するガウス包絡線関数によって決定されます。 の極限では、各ガウススパイクは、それぞれのおよびに対して、それぞれおよびを中心とする、無限に鋭いディラックインパルスになり、したがって、のすべての前置係数も最終的に と区別できなくなることに注意してください。したがって、関数およびそれぞれのフーリエ変換は同じ関数に収束し、この極限関数は、各スパイクに同じ前置係数1が乗じられた、無限に等間隔のガウススパイクの系列、つまり単位周期のディラックコームになります。 ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \xi =m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x}),}$ そして ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

なので、この極限では証明すべき結果が得られます。 ${\displaystyle S_{\tau }={\mathcal {F}}[s_{\tau }]}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

周期に対する対応する結果は、フーリエ変換のスケーリング特性を利用することによって得られる。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

ディラック・コームが別のディラック・コームに変換することを証明する別の方法は、まず周期関数の連続フーリエ変換を一般論として調べ、次にディラック・コームの場合に特化することです。この特定の規則がフーリエ変換の慣例に依存していることを示すために、任意の周期関数のフーリエ変換が角周波数である場合を用いてこれを示します。 ${\displaystyle \omega =2\pi \xi :}$ ${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$ 従う:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

をフーリエ変換すると、となり、とな​​るためである。この式は、ほぼすべての場所で、かつと の場合を除いて、ほぼすべての場所で となることを意味する。対応するフーリエ級数式 を 倍してフーリエ変換を評価すると、対応するデルタ関数が得られる。ディラックコムのフーリエ変換の特殊なケースでは、単一周期にわたるフーリエ級数積分は原点におけるディラック関数のみをカバーし、したがって、各 についてとなる。これは、ディラックコムを、 の位置で和のすべての指数が同じ方向を向き、建設的に加算されるようなディリクレ核の極限として解釈することで要約できる。言い換えれば、周期関数の連続フーリエ変換は、 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t+T)}$ ${\displaystyle F(\omega )}$ ${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}.}$ ${\displaystyle F(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F(k\omega _{0})}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$と ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T,}$

そして

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

のときの全てのフーリエ級数係数、すなわち ${\displaystyle c_{k}=1/T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\rightarrow \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

これは別のディラックコムですが、周期は角周波数領域（ラジアン/秒）です。 ${\displaystyle 2\pi /T}$

前述のように、具体的な規則は使用するフーリエ変換の慣例によって異なります。実際、ディラックのデルタ関数のスケーリング特性を用いると、上記の式は通常の周波数領域（Hz）で再表現でき、以下のように表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$

単位周期のディラック櫛は次のように自身に変換される。 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

最後に、ディラックコームは、角周波数空間におけるユニタリ連続フーリエ変換の固有値1の固有関数でもある。これは、ユニタリフーリエ変換の 場合、 ${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

上記は次のように言い換えられる。 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {2\pi }{T}}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

サンプリングとエイリアシング

任意の関数をディラック櫛形に乗算すると、櫛形の各節点における関数の値に等しい積分値を持つインパルス列に変換されます。この演算は、サンプリングを表すためによく用いられます。 $${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

ディラックコムの自己変換特性と畳み込み定理により、これは周波数領域でのディラックコムとの畳み込みに対応します。 $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

デルタ関数との畳み込みは関数を だけシフトすることと同等なので、ディラックコムとの畳み込みは複製または周期的な和に対応する。 ${\displaystyle \delta (t-kT)}$ ${\displaystyle kT}$

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

これにより、ナイキスト・シャノンの標本化定理が自然に定式化されます。関数のスペクトルにBよりも高い周波数が含まれていない場合（つまり、スペクトルが区間 でのみ非ゼロとなる場合）、元の関数の区間ごとのサンプルで元の信号を再構成できます。サンプルされた関数のスペクトルに適切な矩形関数 を乗算するだけで十分であり、これはブリックウォールローパスフィルタを適用することと同等です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-B,B)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ \!{\frac {1}{2B}}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X)=X}$

時間領域において、この「rect関数との乗算」は「sinc関数との畳み込み」と等価です。^{[10]したがって、サンプルから元の関数を復元します。これは}ウィテカー・シャノンの補間式として知られています。

注：最も厳密には、rect関数とディラックコームのような一般化関数との乗算は失敗します。これは、区間境界における乗算結果が不定となるためです。回避策として、rect関数の代わりにLighthillユニタリ関数を使用します。この関数は区間境界で滑らかであるため、どこでも乗算結果が定まります。詳細はLighthill 1958、p. 62、定理22を参照してください。

方向統計での使用

方向統計では、周期のディラック コーム (Dirac Comb) はラップされたディラック デルタ関数と同等であり、線形統計におけるディラック デルタ関数の類似体です。 ${\displaystyle 2\pi }$

線型統計では、確率変数は通常、実数直線上またはそのサブセット上に分布し、 の確率密度は、定義域が実数の集合であり、 から までの積分が 1 である関数です。方向統計では、確率変数は単位円上に分布し、 の確率密度は、定義域が長さの実数のある区間であり、その区間での積分が 1 である関数です。ディラックのデルタ関数と任意の関数の積を実数直線上で積分すると、その関数の値が 0 になるのと同様に、周期のディラックコームと周期の任意の関数の積を単位円上で積分すると、その関数の値が 0 になります。 ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

参照

• コムフィルタ
• 周波数コム
• ポアソン和公式
• シータ関数

注記

1. 「ディラック・コームとそのフーリエ変換」dspillustrations.com . 2022年6月28日閲覧。
2. シュワルツ、L. (1951)。分布理論。 Vol.  Ⅰ～ Ⅱ．パリス：ヘルマン。
3. Strichartz, R. (1994).分布理論とフーリエ変換入門. CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4。
4. Bracewell, RN (1986) [第1版 1965年、第2版 1978年].フーリエ変換とその応用（改訂版）. McGraw-Hill.
5. ウッドワード 1953.
6. ブランドウッド 2003.
7. ブレイスウェル 1986より。
8. Rahman, M. (2011).一般化関数へのフーリエ変換の応用. サウサンプトン: WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9。
9. シュライヒ, ヴォルフガング (2001).位相空間における量子光学（第1版）. Wiley-VCH. pp.  683– 684. ISBN 978-3-527-29435-0。
10. ウッドワード1953、33-34ページ。

参考文献

• ブランドウッド, D. (2003). 『レーダーと信号処理におけるフーリエ変換』ボストン: アーテックハウス. ISBN 1580531741。LCCN  2002044073。
• ライトヒル, MJ (1958). 『フーリエ解析と一般化関数入門』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9781139171427. ISBN 978-0-521-05556-7。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ウッドワード, PM (1953).確率と情報理論、レーダーへの応用. ペルガモン・プレス. OCLC  6570386.

さらに読む

• Córdoba, A (1989). 「ディラックコーム」. Letters in Mathematical Physics . 17 (3): 191– 196. Bibcode :1989LMaPh..17..191C. doi :10.1007/BF00401584. S2CID  189883287.

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