Fields giving rise to fermionic particles
量子場の理論 において 、 フェルミオン場 とは、 量子が フェルミオン である 量子 場 、すなわち フェルミ・ディラック統計に従う量子場のことである。フェルミオン場は、 ボソン場 の 標準的な交換関係 ではなく、 標準的な反交換関係 に従う 。
フェルミオン場の最も顕著な例は ディラック場 であり、これは スピン -1/2を持つフェルミオン（ 電子 、 陽子 、 クォーク など）を記述する。ディラック場は、4成分 スピノル、または2成分ワイルスピノルのペアとして記述できる。仮想的な ニュートラリーノ などの スピン1/2の マヨラナフェルミオンは 、従属的な4成分 マヨラナスピノル 、または単一の2成分ワイルスピノルとして記述できる。ニュートリノがマヨラナフェルミオンなのか ディラックフェルミオン なのかは分かっていないが、 ニュートリノ を生じない二重ベータ崩壊を 実験的に観測すれば、 この疑問は解決されるだろう。
基本的なプロパティ 自由（相互作用しない）フェルミオン場は、 標準的な反交換関係 に従う。すなわち、 ボソン力学や標準量子力学における交換子 [ a , b ] = ab − ba ではなく、 反交換子 { a , b } = ab + baを伴う。これらの関係は、 相互作用描像における相互作用するフェルミオン場にも成り立つ。相互作用描像 では、場は自由であるかのように時間とともに発展し、相互作用の効果は状態の発展に符号化される。
これらの反交換関係こそが、場の量子に対するフェルミ-ディラック統計を示唆する。また、 パウリの排他原理 も導かれる。すなわち、2つのフェルミオン粒子は同時に同じ状態を占めることはできない。
ディラック場 スピン1/2のフェルミオン場の代表的な例は ディラック場 （ ポール・ディラック にちなんで名付けられた）であり、 と表記される 。自由スピン1/2の粒子の運動方程式は ディラック方程式 である。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}
( i γ μ ∂ μ − m ) ψ ( x ) = 0. {\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,} ここで 、 は ガンマ行列 、 は 質量である。 この方程式の最も単純な解は平面波解であり、 である 。これらの 平面波 解は のフーリエ成分の基底となり 、波動関数の一般的な展開を以下のように可能にする。 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} m {\displaystyle m} ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} u ( p ) e − i p ⋅ x {\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,} v ( p ) e i p ⋅ x {\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,} ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}
ψ α ( x ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 E p ∑ s ( a p s u α s ( p ) e − i p ⋅ x + b p s † v α s ( p ) e i p ⋅ x ) . {\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,} ここで、 u と v は 、スピン s とスピノル指数でラベル付けされたスピノルです 。電子（スピン 1/2 粒子）の場合、 s = +1/2 または s = −1/2 です。エネルギー因子は、ローレンツ不変積分測度を持つことの結果です。 第二量子化 では、 は演算子に昇格されるため、そのフーリエモードの係数も演算子でなければなりません。したがって、 と は演算子です。これらの演算子の特性は、場の特性から判別できます。 と は 反交換関係に従います。 α ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}} ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} a p s {\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}} b p s † {\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }} ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ψ ( y ) † {\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}
{ ψ α ( x ) , ψ β † ( y ) } = δ ( 3 ) ( x − y ) δ α β . {\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.} フェルミ・ディラック統計 と演算子を両立させるために、反交換子関係（ ボソン場 の場合の 交換関係 とは対照的）を課す。 および の展開を代入することで 、係数の反交換関係を計算することができる。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ψ ( y ) {\displaystyle \psi (y)}
{ a p r , a q s † } = { b p r , b q s † } = ( 2 π ) 3 δ 3 ( p − q ) δ r s , {\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,} 非相対論的な消滅・生成作用素とその交換子と同様に、これらの代数は、運動量 p とスピンsのフェルミオン と、運動量 q とスピン r の反フェルミオンを生成するという物理的解釈を導く 。一般場は、 フェルミオンと反フェルミオンを生成するための、すべての可能なスピンと運動量にわたる（エネルギー係数による）重み付き総和であると見られる。その共役場は、 その逆であり、フェルミオンと反フェルミオンを消滅させるための、すべての可能なスピンと運動量にわたる重み付き総和である。 a p s † {\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }} b q r † {\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }} ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ψ ¯ = d e f ψ † γ 0 {\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
場のモードを理解し、共役場を定義することで、フェルミオン場のローレンツ不変量を構成することができます。最も単純なのは量 です 。これにより、 を選択した理由が 明らかになります。これは、 に対する一般ローレンツ変換が ユニタリで はない ため、量が そのような変換に対して不変にならないためです。そのため、 を含めることでこれを補正します。 フェルミオン場から構成可能な、全共役を除いて ゼロでない ローレンツ不変 量のもう1つは です。 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,} ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} ψ {\displaystyle \psi } ψ † ψ {\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi } γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}\,} ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ {\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }
これらの量の線形結合もローレンツ不変であるため、 システムの オイラー-ラグランジュ方程式が ディラック方程式を回復するという要件によって、ディラック場の ラグランジュ密度が自然に導かれます。
L D = ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,} このような式は添え字が省略されている。これを再導入すると、完全な式は次のようになる。
L D = ψ ¯ a ( i γ a b μ ∂ μ − m I a b ) ψ b {\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,} ハミルトニアン （ エネルギー）密度は 、 まず と共役な運動量を定義して構築することもできます 。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} Π ( x ) : {\displaystyle \Pi (x):}
Π = d e f ∂ L D ∂ ( ∂ 0 ψ ) = i ψ † . {\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.} のこの定義では 、ハミルトニアン密度は次のようになります。 Π {\displaystyle \Pi }
H D = ψ ¯ [ − i γ → ⋅ ∇ → + m ] ψ , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,} ここで、は 空間的座標の 標準 勾配 であり、は空間的 行列のベクトルです。ハミルトニアン密度が の時間微分に 直接依存しないのは驚くべきことですが、表現は正しいです。 ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} γ → {\displaystyle {\vec {\gamma }}} γ {\displaystyle \gamma } ψ {\displaystyle \psi }
の式が与えられれば、 フェルミオン場の ファインマン 伝播関数を構築することができます。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}
D F ( x − y ) = ⟨ 0 | T ( ψ ( x ) ψ ¯ ( y ) ) | 0 ⟩ {\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle } フェルミオンの反交換性のため、マイナス符号を持つフェルミオンの 時間順序積 を定義する。
T [ ψ ( x ) ψ ¯ ( y ) ] = def θ ( x 0 − y 0 ) ψ ( x ) ψ ¯ ( y ) − θ ( y 0 − x 0 ) ψ ¯ ( y ) ψ ( x ) . {\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).} フェルミオン場の平面波展開を上記の式に代入すると、次のようになります。
D F ( x − y ) = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 i ( p / + m ) p 2 − m 2 + i ϵ e − i p ⋅ ( x − y ) {\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}} ここで、我々は ファインマンのスラッシュ 記法を採用した。この結果は、因子
i ( p / + m ) p 2 − m 2 {\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}} はディラック方程式において作用する演算子の逆演算子に過ぎません 。クライン・ゴルドン場のファインマン伝播関数も同じ性質を持つことに注意してください。すべての合理的な観測量（エネルギー、電荷、粒子数など）は偶数個のフェルミオン場から構成されるため、光円錐の外側の時空点にある任意の2つの観測量間の交換関係は消滅します。初等量子力学から分かるように、同時に交換する2つの観測量は同時に測定できます。したがって、ディラック場の ローレンツ不変性を 正しく実装し、 因果律 を保存しました。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}
相互作用を伴うより複雑な場の理論（ 湯川理論 や 量子電磁力学 など）も、さまざまな摂動法や非摂動法によって解析できます。
ディラック場は標準モデル の重要な要素です 。
参照
参考文献 エドワーズ, D. (1981). 「量子場の理論の数学的基礎：フェルミオン、ゲージ場、超対称性、第1部：格子場の理論」. Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503– 517. Bibcode :1981IJTP...20..503E. doi :10.1007/BF00669437. S2CID 120108219. Peskin, M. および Schroeder, D. (1995). 『量子場の理論入門』 , Westview Press. (35～63ページ参照) Srednicki, Mark (2007). 量子場理論 Archived 2011-07-25 at the Wayback Machine , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7 。 ウェインバーグ、スティーブン（1995年） 『場の量子論』 （全3巻）ケンブリッジ大学出版局。 
![{\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a86a6cdbc9b9bff353526d71ff9a7c8f5d87d8)
![{\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ac160d06109c7d9f2b7846fb41a84fefcc7b4d)
