ディラック膜

量子力学において、ディラック膜は1962年にポール・ディラックによって導入された荷電膜のモデルである。ディラックの当初の動機は、ミューオンの質量を電子に対応する基底状態の励起として説明するというものであった。^{[ 1 ]}彼は弦理論の誕生をほぼ10年も先取りし、現在では膜に対する一種の南部-後藤作用と呼ばれているものを初めて導入した。^{[ 2 ] [ 3 ]}

ディラック膜モデルでは、膜に働く電磁気的な反発力は、正の張力から生じる収縮力によって釣り合います。球状膜の場合、古典的な運動方程式によれば、半径 （ここでは古典的な電子半径 ）で釣り合いが取れています。球対称膜のハミルトニアンにボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件を用いると、ディラックは最初の励起に対応する質量の近似値を （ここでは電子の質量）と求めます。これは観測されるミューオン質量の約4分の1です。 ${\displaystyle 0.75r_{e}}$ ${\displaystyle r_{e}}$ ${\displaystyle 53m_{e}}$ ${\displaystyle m_{e}}$

行動原理

ディラックは膜の作用原理を定式化するために非標準的な方法を選択した。閉じた膜は 空間を内部と外部に自然に分割する ため、時空には 特別な曲線座標系と 、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle f(x)}$

• ${\displaystyle f(x)=0}$膜を定義する
• ${\displaystyle f(x)>0}$膜の外側または内側の領域を記述する ${\displaystyle f(x)<0}$

と次のゲージ, （ ）を 膜世界体積の内部パラメータ化として 選択すると 、 ディラックが提案した膜作用は ${\displaystyle x^{1}=f(x)}$ ${\displaystyle \sigma ^{0}=x^{0}=:\tau }$ ${\displaystyle \sigma ^{1}=x^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=x^{3}}$ ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

${\displaystyle S=S_{EM}+S_{\text{membrane}}}$

${\displaystyle S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi }}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }d^{4}x,\ \ \ \ S_{\text{membrane}}=-{\frac {\omega }{4\pi }}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}}$

ここで、誘導計量と因子JおよびMは次のように与えられる。

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\partial _{\mu }y^{\Lambda }\partial _{\nu }y_{\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3}$

${\displaystyle J={\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}.\ \ \ M=J{\sqrt {-g^{11}}}}$

上記において、 は直線的かつ直交的です。使用される時空シグネチャは (+,-,-,-) です。は曲線系における電磁場の通常の作用であり、は膜世界体積上の積分、つまり弦理論で後ほど使用される作用と全く同じ型であることに注意してください。 ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle S_{EM}}$ ${\displaystyle S_{\text{membrane}}}$

運動方程式

およびの変化から、3つの運動方程式が導かれます。それらは以下のとおりです。 ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle y^{\Lambda }}$

• に対する変化- これはソースのないマクスウェル方程式をもたらす ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$
• に対する変化- これはマクスウェル方程式の帰結を与える ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$
• に対する変動 ${\displaystyle y^{\Lambda }}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\omega J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }}$

最後の式は幾何学的な解釈が可能で、右辺は膜の曲率に比例する。球対称の場合には、

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}}$

したがって、平衡条件は、平衡膜の半径が0であることを意味する 。半径0の球状膜の全エネルギーは、 ${\displaystyle {\dot {\rho }}=0}$ ${\displaystyle a^{3}=e^{2}/4\omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle E(\rho )=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}}$

そして、平衡状態では のとき最小となるため、 となる。一方、平衡状態における全エネルギーは（単位）となるため、 となる。 ${\displaystyle \beta =\omega }$ ${\displaystyle E(a)=3e^{2}/4a}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle a=0.75r_{e}}$

ハミルトン定式化

球対称の場合、平衡点の周りの小さな振動は周波数 - を意味します。したがって、量子論に当てはめると、1つの量子のエネルギーは となります。これはミューオンの質量よりもはるかに大きいですが、周波数は決して小さくないため、この近似は正しく機能しない可能性があります。より優れた量子理論を得るには、系のハミルトニアンを算出し、対応するシュレーディンガー方程式を解く必要があります。 ${\displaystyle {\sqrt {6}}/a}$ ${\displaystyle h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}}$

ハミルトン定式化のためにディラックは一般化運動量を導入する

• ：および- 運動量はそれぞれおよびに共役である（、座標選択） ${\displaystyle x^{1}>0}$ ${\displaystyle B^{\mu }}$ ${\displaystyle w_{R}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle y^{R}}$ ${\displaystyle R=1,2,3}$ ${\displaystyle x^{0}=y^{0}}$
• ：-運動量は共役である ${\displaystyle x^{1}=0}$ ${\displaystyle W_{R}}$ ${\displaystyle y^{R}}$

すると、次のような制約に気づく。

• マクスウェル場の場合

  ${\displaystyle B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0}$

• 膜運動量について

  ${\displaystyle W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)}$

ここで- は の逆数、です。 ${\displaystyle c^{ab}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle a,b=0,2,3}$

これらの制約は、ディラック括弧法を用いてハミルトニアンを計算する際に考慮する必要がある。この計算の結果は、以下の形式のハミルトニアンとなる。

${\displaystyle H=H_{EM}+H_{s}}$

${\displaystyle H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}}$

ここで、これは曲線系で書かれた電磁場のハミルトニアンです。 ${\displaystyle H_{EM}}$

量子化

球対称運動の場合、ハミルトニアンは

${\displaystyle H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1}$

しかし、微分演算子の平方根のため、直接的な量子化は明確ではありません。さらに理解を深めるために、ディラックはボーア-ゾンマーフェルト法を検討します。

${\displaystyle 2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho }$

そして を検索します。 ${\displaystyle E_{1}\approx 53m_{e}}$ ${\displaystyle n=1}$

参照

• ブレーン

参考文献

1. "membrane in nLab" . ncatlab.org . 2023年11月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年11月2日閲覧。
2. Sanyuk, Valerii I.; Sukhanov, Alexander D. (2003-09-01). 「20世紀物理学におけるディラック：100周年記念評価」 . Physics-Uspekhi . 46 (9): 937– 956. ISSN 1063-7869 . 2023年11月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年11月9日閲覧。 
3. Tong, David (2009). 「弦理論」 .ケンブリッジ大学. 2021年4月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年11月2日閲覧。

• PAMディラック「電子の拡張可能なモデル」、Proc. Roy. Soc. A268、(1962) 57–67。

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=ディラック膜&oldid =1313352702」より取得