ディラック演算子

First-order differential linear operator on spinor bundle, whose square is the Laplacian

数学および量子力学において、ディラック作用素とは、ラプラス演算子などの二階微分作用素の形式的な平方根、あるいは半反復である一階微分作用素である。これは1847年にウィリアム・ハミルトン^[1]によって、1928年にポール・ディラック^[2]によって導入された。ディラックが問われた問題は、ミンコフスキー空間のラプラス作用素を形式的に因数分解し、特殊相対論と整合する波動関数の方程式を得ることであった。

正式な定義

一般に、Dをリーマン多様体M上のベクトル束 Vに作用する1階微分作用素とする。

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

ここで、∆はVの（正の、または幾何的な）ラプラシアンであり、Dはディラック演算子と呼ばれます。

ラプラス演算子の定義方法については、2 つの異なる規則があることに注意してください。1 つは、 で特徴付けられる「解析的」ラプラス演算子(これは、が常にゼロではない任意の滑らかなコンパクトにサポートされた関数に対して であるという意味で負定値です) で、もう 1 つは で定義される「幾何的」な正定値ラプラス演算子です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\Big )}^{2}}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {\varphi (x)}}\Delta \varphi (x)\,dx=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla \varphi (x)|^{2}\,dx<0}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \Delta =-\nabla ^{2}=-\sum _{j=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\Big )}^{2}}$

歴史

WRハミルトンは1847年に四元数に関する一連の論文の中で「ラプラシアンの平方根」を定義した^[1]。

<...>これらの 3 つの記号と 、次のように3 つの独立した実変数に関して実行される既知の偏微分演算に関連して定義される新しい演算特性 を導入するとします。この新しい特性の記号平方の負は、次の式によって表されます 。その解析物理学への応用が高度に広範囲にわたることは明らかです。 ${\displaystyle \triangleleft }$ ${\displaystyle ijk,}$ ${\displaystyle xyz,}$ $${\displaystyle \triangleleft ={\frac {i\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {j\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}+{\frac {k\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}};}$$ ${\displaystyle \triangleleft }$ $${\displaystyle -\triangleleft ^{2}={\Big (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\Big )}^{2};}$$

例

例1

D = − i ∂ _xは直線上の接束上のディラック作用素である。

例2

物理学において特に重要な単純な束、すなわちスピンを持つ粒子の配置空間を考えてみましょう。1/2⁠平面に閉じ込められており、平面は基本多様体でもある。これは波動関数ψ  : R ² → C ^{2で表される。}

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

ここで、xとyはR ²上の通常の座標関数である。χは粒子がスピンアップ状態にある確率振幅を指定し、 ηも同様である。いわゆるスピンディラック演算子は次のように書ける。

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

ここで、σ _iはパウリ行列である。パウリ行列の反交換関係により、上記の定義性質の証明は自明となることに注意されたい。これらの関係はクリフォード代数の概念を定義する。

スピノル場に対するディラック方程式の解は、しばしば調和スピノルと呼ばれる。^[3]

例3

ファインマンのディラック演算子は、3次元における 自由フェルミオンの伝播を記述し、簡潔に記述される。

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

ファインマンのスラッシュ記法を用いる。量子場理論の入門書では、これは以下の形式で示される。

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }$

ここで、非対角ディラック行列、 であり、残りの定数は光速 、プランク定数 、フェルミオン（例えば電子 ）の質量である。これは4成分波動関数、すなわち滑らかで2乗可積分な関数のソボレフ空間に作用する。これはその領域上の自己随伴作用素に拡張できる。この場合の2乗はラプラシアンではなく、（ と設定した後） ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$ ${\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}$ ${\displaystyle \hbar =c=1.}$

例4

クリフォード解析では別のディラック作用素が現れる。ユークリッドn空間ではこれは

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

ここで、{ e _j : j = 1, ..., n }はユークリッドn空間の直交基底であり、R ^nはクリフォード代数に埋め込まれていると考えられます。

これは、スピノル束のセクションに作用するアティヤ・シンガー・ディラック演算子の特殊なケースです。

例5

スピン多様体Mに対して、アティヤ・シンガー・ディラック演算子は次のように局所的に定義される。x ∈ MおよびxにおけるMの接空間の局所直交基底e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) に対して、アティヤ・シンガー・ディラック演算子は次のように定義される。

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}$

ここでスピン接続は、M上のレヴィ・チヴィタ接続をM上のスピノル束に持ち上げたものである。この場合の平方はラプラシアンではなく、接続のスカラー曲率である。 ^[4] ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ ${\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}$ ${\displaystyle R}$

例6

レヴィ・チヴィタ接続と直交基底を持つ次元のリーマン多様 体上で、外微分と共微分を次のように定義できる。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle n=dim(M)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1}^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$。

そして、ディラック・ケーラー演算子^{[5] [6] [7]} を次のように 定義することができる。 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$。

この作用素は一般にクリフォード束の切断に作用するが、クリフォード束のイデアルであるスピノル束に制限できるのは、そのイデアル上の射影作用素が平行である場合に限られる。^{[5] [6] [7]}

一般化

クリフォード解析では、次式で定義されるスピノル値関数に作用する 演算子D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S )は、

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

は、 k 個のクリフォード変数のディラック作用素と呼ばれることもあります。表記法において、Sはスピノル空間、n次元変数、i番目の変数のディラック作用素です。これは、ディラック作用素（k = 1）とドルボア作用素（n = 2、k は任意）の一般的な一般化です。これは不変微分作用素であり、群SL( k ) × Spin( n )の作用に対して不変です。Dの分解は、いくつかの特殊な場合にのみ知られています。 ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$ ${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$

参照

• ナブラ記号とデル
• AKNS階層
• ディラック方程式
• クリフォード代数
• クリフォード分析
• 繋がり
• ドルボー演算子
• 熱核
• スピノル束

参考文献

1. ハミルトン、ウィリアム・ローワン (1847). 「四元数について；あるいは代数学における新しい虚数体系について」.ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌・科学ジャーナル. xxxi (208): 278– 283. doi :10.1080/14786444708562643.
2. ディラック, PAM (1928). 「電子の量子論」.ロンドン王立協会紀要. シリーズA, 数学的・物理学的性質の論文を含む. 117 (778): 610−624. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 .
3. 「スピノル構造」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
4. Jurgen Jost, (2002)「Riemannian Geometry ang Geometric Analysis (3rd edition)」, Springer. 3.4節、142ページ以降を参照。
5. グラーフ、ヴォルフガング (1978). 「スピノルとしての差分形式」。アンリ・ポアンカレ研究所の分析 A。29 (1)  : 85–109。ISSN 2400-4863 。
6. ベン、イアン・M.; タッカー、ロビン・W. (1987). スピノルと幾何学入門、物理学への応用. A. ヒルガー. ISBN 978-0-85274-169-6。
7. Kycia, Radosław Antoni (2022-07-29). 「共微分形式、反共完全形式、および物理学への応用におけるポアンカレの補題」. Results in Mathematics . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi :10.1007/s00025-022-01646-z. ISSN  1420-9012. S2CID  221802588.

• フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック作用素、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-1
• コロンボ、F.、I。Sabadini, I. (2004)、ディラック システムと計算代数の分析、Birkhauser Verlag AG、ISBN 978-3-7643-4255-5

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