ディラック測度

数学において、ディラック測度は、集合が固定された元xを含むかどうかのみに基づいて、集合の大きさを決定します。これは、物理学やその他の技術分野で重要なツールであるディラックのデルタ関数の概念を定式化する一つの方法です。

意味

ディラック測度は、与えられた $x\inX$ $と$ 任意の（測定可能な） $集合$ A⊆X $に対して定義される、集合$ $X （$ $X$ の部分集合 $の$ 任意の $σ$ 代数を含む）上の測度 $δx$ $で$ $ある$ 。

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}

ここで、 $1 A$ $はA$ の指示関数です。

ディラック測度は確率測度であり、確率の観点からは標本空間 $X$ におけるほぼ確実な結果 $x$ を表します。また、測度は $x$ における単一の原子であると言うこともできます。ディラック測度は、 $X$ 上の確率測度の凸集合の極点です。

この名前はディラックのデルタ関数から派生したものである。例えば実数直線上のシュワルツ分布として考えると、特別な種類の分布として測ることができる。恒等式は

\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),

これは、

\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),

$δ x を$ 、ある測定可能空間 $($ $X$ $、 Σ)内のある固定点$ $x$ を中心とするディラック測度とします。

$(X, T)が$ 位相空間であり、 $Σが$ $X$ 上のボレル $σ$ 代数 $σ (T)$ と少なくとも同じくらい優れているとします。

$δ x が$ 厳密に正の測度となるのは、位相 $T$ において $x が$ すべての空でない開集合内に存在する場合、つまり、自明な位相 ${\emptyset,$ $X$ $}$ の場合です。
$δ x$ は確率測度なので、局所的に有限な測度でもあります。
$X がボレル$ $σ$ 代数を持つハウスドルフ位相空間である場合、 ${$ $x$ $}$ のような単集合は常にコンパクトであるため、 $δ$ $x は$ 内部正則測度となる条件を満たす。したがって、 $δ$ $x$ はラドン測度でもある。
位相 $Tが$ 十分に細かく ${x}$ が閉じていると仮定すると（ほとんどの応用ではそうである）、 $δ$ $x$ のサポートは ${$ $x$ $}$ である。（そうでない場合、 $supp($ $δ$ $x$ $)は$ ${$ $x$ $}の$ $（$ $X$ $、$ $T$ $）$ における閉包である。）さらに、 $δ$ $x$ $はサポートが{$ $x$ $}$ である唯一の確率測度である。
$X が$ 通常の $σ$ 代数と $n$ 次元ルベーグ測度 $λ$ $n$ $を持つn$ 次元ユークリッド空間 $R n$ である場合、 $δ$ $x は$ $λ$ $n$ に関して特異測度です。つまり、 $R$ $n を$ $A$ $=$ $R$ $n$ $\ {$ $x$ $}$ 、 $B$ $= {$ $x$ $}$ として分解し、 $δ$ $x$ $($ $A$ $) =$ $λ$ $n$ $($ $B$ $) = 0$ となることを観察します。
ディラック測度はシグマ有限測度です。

離散測度はディラック測度に似ていますが、単一の点ではなく可算な数の点に集中している点が異なります。より正式には、実数直線上の測度は、その台が可算集合以下である場合に、ルベーグ測度に関して離散測度と呼ばれます。

ディウドネ、ジャン (1976). 「測度の例」.解析学論文集第2部. アカデミック・プレス. p. 100. ISBN 0-12-215502-5。
ベネデット, ジョン (1997). 「§2.1.3 定義, δ」.調和解析とその応用. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6。