Theorem in mathematics
数学 において 、 畳み込み定理は 、適切な条件下では、 2つの関数（または 信号）の 畳み込み の フーリエ変換は 、それらのフーリエ変換の積となることを述べています。より一般的には、一方の領域（例えば 時間領域）における畳み込みは、もう一方の領域（例えば 周波数領域 ）における点ごとの乗算に等しくなります 。畳み込み定理の他のバージョンは、様々な フーリエ関連の変換 に適用できます。
連続変数の関数 2つの関数 と を フーリエ変換して 考えます 。 u ( x ) {\displaystyle u(x)} v ( x ) {\displaystyle v(x)} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V}
U ( f ) ≜ F { u } ( f ) = ∫ − ∞ ∞ u ( x ) e − i 2 π f x d x , f ∈ R V ( f ) ≜ F { v } ( f ) = ∫ − ∞ ∞ v ( x ) e − i 2 π f x d x , f ∈ R {\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}} ここで は フーリエ変換 演算子 を表します 。この変換は他の方法で正規化されることもあり、その場合、定数のスケーリング係数（通常は または）が以下の畳み込み定理に現れます。 と の畳み込みは 次のように定義されます。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 2 π {\displaystyle 2\pi } 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
r ( x ) = { u ∗ v } ( x ) ≜ ∫ − ∞ ∞ u ( τ ) v ( x − τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ u ( x − τ ) v ( τ ) d τ . {\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .} この文脈では、 アスタリスクは 通常の乗算ではなく畳み込みを表します。 テンソル積の 記号が 代わりに使用されることもあります。 ⊗ {\displaystyle \otimes }
畳み込み 定理は 次のように述べている ： [1] [2] ：式8
R ( f ) ≜ F { r } ( f ) = U ( f ) V ( f ) . f ∈ R {\displaystyle R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=U(f)V(f).\quad f\in \mathbb {R} }
式1a
逆フーリエ変換を適用すると 次の式が得られる ： [2] : 式7, 10 F − 1 , {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}
畳み込み定理 r ( x ) = { u ∗ v } ( x ) = F − 1 { U ⋅ V } . {\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{U\cdot V\}.}
式1b
この定理は一般に多次元関数にも適用されます。
式1の多次元導出
フーリエ変換を用いた L p 空間 の 関数を考える 。 u , v {\displaystyle u,v} L 1 ( R n ) , {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),} U , V {\displaystyle U,V}
U ( f ) ≜ F { u } ( f ) = ∫ R n u ( x ) e − i 2 π f ⋅ x d x , f ∈ R n V ( f ) ≜ F { v } ( f ) = ∫ R n v ( x ) e − i 2 π f ⋅ x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}} ここで 、 はの 内積 を示します 。 f ⋅ x {\displaystyle f\cdot x} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f ⋅ x = ∑ j = 1 n f j x j , {\displaystyle f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},} d x = ∏ j = 1 n d x j . {\displaystyle dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.}
と の 畳み込み は 次のように定義されます 。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
r ( x ) ≜ ∫ R n u ( τ ) v ( x − τ ) d τ . {\displaystyle r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau .} また ：
∬ | u ( τ ) v ( x − τ ) | d x d τ = ∫ ( | u ( τ ) | ∫ | v ( x − τ ) | d x ) d τ = ∫ | u ( τ ) | ‖ v ‖ 1 d τ = ‖ u ‖ 1 ‖ v ‖ 1 . {\displaystyle \iint |u(\tau )v(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|u(\tau )|\int |v(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |u(\tau )|\,\|v\|_{1}\,d\tau =\|u\|_{1}\|v\|_{1}.} したがって、 フビニの定理 によれば 、そのフーリエ変換は 積分式によって定義されます 。 r ∈ L 1 ( R n ) {\displaystyle r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} R {\displaystyle R}
R ( f ) ≜ F { r } ( f ) = ∫ R n r ( x ) e − i 2 π f ⋅ x d x = ∫ R n ( ∫ R n u ( τ ) v ( x − τ ) d τ ) e − i 2 π f ⋅ x d x . {\displaystyle {\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}} したがって、 上記の議論により、フビニの定理を再度適用することができます（つまり、積分の順序を入れ替えます） 。 | u ( τ ) v ( x − τ ) e − i 2 π f ⋅ x | = | u ( τ ) v ( x − τ ) | , {\displaystyle |u(\tau )v(x-\tau )e^{-i2\pi f\cdot x}|=|u(\tau )v(x-\tau )|,}
R ( f ) = ∫ R n u ( τ ) ( ∫ R n v ( x − τ ) e − i 2 π f ⋅ x d x ) ⏟ V ( f ) e − i 2 π f ⋅ τ d τ = ( ∫ R n u ( τ ) e − i 2 π f ⋅ τ d τ ) ⏟ U ( f ) V ( f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}R(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{V(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }\,d\tau \right)} _{U(f)}\ V(f).\end{aligned}}}
この定理は、 ラプラス変換 、 両側ラプラス変換 、そして適切に修正すれば メリン変換 と ハートレー変換 にも成立する（ メリン逆定理を参照）。これは、 局所コンパクトアーベル群 上で定義された 抽象調和解析 のフーリエ変換にも拡張できる 。
周期畳み込み（フーリエ級数係数） 周期関数 と 周期和 として表現できる関数 を考えます 。 P {\displaystyle P} u P {\displaystyle u_{_{P}}} v P , {\displaystyle v_{_{P}},}
u P ( x ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ u ( x − m P ) {\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)} そして v P ( x ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ v ( x − m P ) . {\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).} 実際には、コンポーネントのゼロ以外の部分は 期間 に制限されることがよくあります が、定理ではそれを必要としません。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} P , {\displaystyle P,}
フーリエ 級数の 係数は次のとおりです。
U [ k ] ≜ F { u P } [ k ] = 1 P ∫ P u P ( x ) e − i 2 π k x / P d x , k ∈ Z ; integration over any interval of length P V [ k ] ≜ F { v P } [ k ] = 1 P ∫ P v P ( x ) e − i 2 π k x / P d x , k ∈ Z {\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}} ここで は フーリエ級数積分 を表します 。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}}
積: も -周期的であり、そのフーリエ級数係数は、 および シーケンス の 離散畳み込みによって与えられます。 u P ( x ) ⋅ v P ( x ) {\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)} P {\displaystyle P} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} F { u P ⋅ v P } [ k ] = { U ∗ V } [ k ] . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].} { u P ∗ v } ( x ) ≜ ∫ − ∞ ∞ u P ( x − τ ) ⋅ v ( τ ) d τ ≡ ∫ P u P ( x − τ ) ⋅ v P ( τ ) d τ ; integration over any interval of length P {\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}} も -周期的であり 、 周期畳み込み と呼ばれます。 P {\displaystyle P}
周期畳み込みの導出
∫ − ∞ ∞ u P ( x − τ ) ⋅ v ( τ ) d τ = ∑ k = − ∞ ∞ [ ∫ x o + k P x o + ( k + 1 ) P u P ( x − τ ) ⋅ v ( τ ) d τ ] x 0 is an arbitrary parameter = ∑ k = − ∞ ∞ [ ∫ x o x o + P u P ( x − τ − k P ) ⏟ u P ( x − τ ) , by periodicity ⋅ v ( τ + k P ) d τ ] substituting τ → τ + k P = ∫ x o x o + P u P ( x − τ ) ⋅ [ ∑ k = − ∞ ∞ v ( τ + k P ) ] ⏟ ≜ v P ( τ ) d τ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ is an arbitrary parameter}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ by periodicity}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{substituting }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}}
対応する畳み込み定理は次の通りである 。
F { u P ∗ v } [ k ] = P ⋅ U [ k ] V [ k ] . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].}
式2
式2の導出
F { u P ∗ v } [ k ] ≜ 1 P ∫ P ( ∫ P u P ( τ ) ⋅ v P ( x − τ ) d τ ) e − i 2 π k x / P d x = ∫ P u P ( τ ) ( 1 P ∫ P v P ( x − τ ) e − i 2 π k x / P d x ) d τ = ∫ P u P ( τ ) e − i 2 π k τ / P ( 1 P ∫ P v P ( x − τ ) e − i 2 π k ( x − τ ) / P d x ) ⏟ V [ k ] , due to periodicity d τ = ( ∫ P u P ( τ ) e − i 2 π k τ / P d τ ) ⏟ P ⋅ U [ k ] V [ k ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],\quad {\text{due to periodicity}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}}
離散変数（シーケンス）の関数 式1と同様の導出により、2つの連続関数のサンプルのような系列に対しても同様の定理が成り立ちます。ここで は 離散時間フーリエ変換 （DTFT）演算子を表します。2つの系列と を 、 それぞれ と に変換して 考えます 。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} u [ n ] {\displaystyle u[n]} v [ n ] {\displaystyle v[n]} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V}
U ( f ) ≜ F { u } ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ u [ n ] ⋅ e − i 2 π f n , f ∈ R , V ( f ) ≜ F { v } ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ v [ n ] ⋅ e − i 2 π f n , f ∈ R . {\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}} § と の 離散畳み込みは 次 のように定義されます 。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
r [ n ] ≜ ( u ∗ v ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ u [ m ] ⋅ v [ n − m ] = ∑ m = − ∞ ∞ u [ n − m ] ⋅ v [ m ] . {\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].} 離散列の 畳み込み定理 は次の通りである : [3] [4] : p.60 (2.169)
R ( f ) = F { u ∗ v } ( f ) = U ( f ) V ( f ) . {\displaystyle R(f)={\mathcal {F}}\{u*v\}(f)=\ U(f)V(f).}
式3
周期畳み込み U ( f ) {\displaystyle U(f)} およびは 上で定義したように周期的であり、周期は 1 です。 周期シーケンス およびを考えます 。 V ( f ) , {\displaystyle V(f),} N {\displaystyle N} u N {\displaystyle u_{_{N}}} v N {\displaystyle v_{_{N}}}
u N [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ u [ n − m N ] {\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]} そして v N [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ v [ n − m N ] , n ∈ Z . {\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .} これらの関数は、 間隔 で と をサンプリングし、サンプルに対して 逆 離散フーリエ変換 (DFT)を実行することで発生します ( § DTFT のサンプリングを 参照)。離散畳み込み は 、 U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} 1 / N {\displaystyle 1/N} N {\displaystyle N}
{ u N ∗ v } [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ u N [ m ] ⋅ v [ n − m ] ≡ ∑ m = 0 N − 1 u N [ m ] ⋅ v N [ n − m ] {\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]} も -周期的であり、 周期畳み込み と呼ばれる。この 演算子を -長DFTとして再定義すると 、対応する定理は次のようになる： [5] [4] : p. 548 N {\displaystyle N} F {\displaystyle {\mathcal {F}}} N {\displaystyle N}
F { u N ∗ v } [ k ] = F { u N } [ k ] ⏟ U ( k / N ) ⋅ F { v N } [ k ] ⏟ V ( k / N ) , k ∈ Z . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .}
式4a
したがって ：
{ u N ∗ v } [ n ] = F − 1 { F { u N } ⋅ F { v N } } . {\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}.}
式4b
適切な条件下では、この 長さのシーケンスに畳み込みの歪みのない部分が含まれる可能性があります。しかし、 シーケンス の非ゼロ部分が 以上の場合には、ある程度の歪みは避けられません。これは、シーケンスが無限長の § 離散ヒルベルト変換 インパルス応答 の DTFT を直接サンプリングすることによって得られる 場合に当てはまります 。 [A] N {\displaystyle N} u ∗ v {\displaystyle u*v} u ( n ) {\displaystyle u(n)} v ( n ) {\displaystyle v(n)} N , {\displaystyle N,} V ( k / N ) {\displaystyle V(k/N)}
および 、 非ゼロの持続時間が以下のシーケンスの場合、 最終的な簡略化は次のようになります。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} N , {\displaystyle N,}
循環畳み込み { u N ∗ v } [ n ] = F − 1 { F { u } ⋅ F { v } } . {\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.}
式4c
この形式は、 コンピュータ による数値畳み込みを効率的に実装するためによく使用されます。（ § 高速畳み込みアルゴリズム と § 例を 参照）
部分的な逆数として、畳み込みを積に変換する任意の線形変換はDFT（係数の順列まで）であることが 示されています [6] 。
逆フーリエ変換にも畳み込み定理がある。
ここで、「 」は アダマール積 を表し 、「 」は 2 つの行列間の畳み込みを表します。 ⋅ {\displaystyle \cdot } ∗ {\displaystyle *}
F { u ∗ v } = F { u } ⋅ F { v } F { u ⋅ v } = F { u } ∗ F { v } {\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}} となることによって
u ∗ v = F − 1 { F { u } ⋅ F { v } } u ⋅ v = F − 1 { F { u } ∗ F { v } } {\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}
緩和分布の畳み込み定理 畳み込み定理は 緩和分布 に拡張されます。ここで、 は任意の緩和分布です。 v {\displaystyle v}
F { u ∗ v } = F { u } ⋅ F { v } F { α ⋅ v } = F { α } ∗ F { v } . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}} しかし、 畳み込みと乗算積の両方の存在を保証するためには 、 と に向かって「急速に減少」している必要がある。同様に、 が滑らかな「緩やかに増加する」通常の関数である場合、乗算と畳み込み積の両方の存在が保証される。 [7] [8] [9] u = F { α } {\displaystyle u=F\{\alpha \}} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } α = F − 1 { u } {\displaystyle \alpha =F^{-1}\{u\}}
特に、 ディラックのデルタ分布 のような、コンパクトに支えられた緩和分布はすべて「急激に減少する」。同様に、 帯域制限関数 、例えば定数倍の関数 は、 滑らかな「緩やかに増加する」通常の関数である。例えば、が ディラックの櫛形分布 である場合、 両方の方程式は ポアソン和公式 を導き、さらにがディラックのデルタ分布である 場合、 は常に1となり、これらの方程式は ディラックの櫛形分布の恒等式 を導く。 1 {\displaystyle 1} v ≡ Ш {\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} } u ≡ δ {\displaystyle u\equiv \delta } α ≡ 1 {\displaystyle \alpha \equiv 1}
参照
注記
参考文献 ^ マクギレム, クレア・D.; クーパー, ジョージ・R. (1984). 連続および離散信号とシステム解析 （第2版）. ホルト, ライナーハート, ウィンストン. p. 118 (3–102). ISBN 0-03-061703-0 。 ^ ab Weisstein, Eric W. 「畳み込み定理」。MathWorld （Wolfram Web Resource）より。 2021年 2月8日 閲覧 。 ^ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode :1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897 、sAcfAQAAIAAJ ^ ab Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). 離散時間信号処理 （第2版）. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2 。 ^ ラビナー, ローレンス・R. ; ゴールド, バーナード (1975). デジタル信号処理の理論と応用 . エングルウッド・クリフス, ニュージャージー: プレンティス・ホール社. p. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010 。 ^ アミオット、エマニュエル (2016). フーリエ空間を通じた音楽. 計算音楽科学. チューリッヒ: シュプリンガー. p. 8. doi :10.1007/978-3-319-45581-5. ISBN 978-3-319-45581-5 . S2CID 6224021。 ^ Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ^ バロス＝ネト、ホセ (1973)。 分布理論の紹介 。ニューヨーク州ニューヨーク州: デッカー。 ^ Petersen, Bent E. (1983). 『フーリエ変換と擬似微分演算子入門 』 ボストン、マサチューセッツ州: Pitman Publishing.
さらに読む カツネルソン、イツハク（1976） 『調和解析入門 』ドーバー、 ISBN 0-486-63331-4 Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019)、「畳み込み定理と漸近効率」、 統計推論大学院講座 、ニューヨーク：Springer、pp. 295– 327、 ISBN 978-1-4939-9759-6 クラッチフィールド、スティーブ（2010年10月9日）「畳み込みの喜び」 ジョンズ・ホプキンス大学、 2010年 11月19日 閲覧。
追加リソース 信号処理 における畳み込み定理の使用の視覚的な表現については 、以下を参照してください。
![{\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{長さ }}P の任意の区間での積分\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b732f1fe5d5074f423f1b96c4eea07631284ed)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab30eb678559f102051cedba4be0fc07f346a4c0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ は任意のパラメータ}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ 周期性により}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{ を代入 }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1575bd74f86366816ffc18d0fabd05dd5cd1269)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4ee3375f365aa800cc34e56a6bf89e0a90ed3b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],\quad {\text{周期性のため}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252a143162a38ecc1ee2c1780ed231edf64ed597)
![{\displaystyle u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f1362207606428a09d907db25527859eab6ac3)
![{\displaystyle v[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbc20699310c20ae48d376fc4f6365c67966405)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244dd8c93040378c9c8849ab6483c6582445d1b7)
![{\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[nm]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[nm]\cdot v[m]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aac1f7102502f6b39153be6aacd9bce5fc7cdd)
![{\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed44f4cf6f7e56baa871eef261cd01f53855dd07)
![{\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b3cb372f16be04589aa1f446455da9d8bcd8f0)
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[nm]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[nm]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907f89efecfca8b8c1519230c0efe93f721d0ad3)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf1eab2ab63c1b6db4fc8f33c8a4a30b1391f50)
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd918e288950dc7554d3cb3e478d441022b16afc)
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac7a801e261a01f897517049a2095ee7d745cf6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[nm]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[nm]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[nm]\cdot e^{-i2\pi k(nm)/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle {\text{周期性のため}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dd82c63ec339357bb750973d87a819d0490c8e)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]\right)\cdot \delta \left(fk/N\right).\quad \scriptstyle {\mathsf {(式5a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc6053c6711e16180fcaf82615d9ba6d205646c)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(fk/N\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c03475328868e8c4027366eb1a6740a38895e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)&=G_{_{N}}(f)V(f)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(f)\cdot \delta \left(fk/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(k/N)\cdot \delta \left(fk/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(fk/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfa658cb06c8f39bd4f6c14c0cf49ebb7f614af)
![{\displaystyle \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867247cbc04ad960f719050702f1b613652470f0)
![{\displaystyle \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{u_{_{N}}*v\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7b413f938f761ac2c932b93215c4e166e02071)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(u_{_{N}}*v)[n]&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(fk/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(fk/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\right)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}{\bigg )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c651d3df13f237865ee17f554975dbd3136b08)
