方向統計

Subdiscipline of statistics

方向統計（円統計、球面統計とも呼ばれる）は、統計学の一分野であり、方向（ユークリッド空間R ⁿにおける単位ベクトル）、軸（R ⁿにおける原点を通る直線）、または回転を扱う。より一般的には、方向統計は、シュティーフェル多様体^を含むコンパクトリーマン多様体上の観測を扱う。

タンパク質の全体的な形状は、単位球面上の点の列としてパラメータ化できます 。図は、多数のタンパク質構造におけるそのような点の球面ヒストグラムの2つのビューを示しています。このようなデータの統計的処理は、方向統計の領域に属します。^[1]

0度と360度は同じ角度であり、例えば180度は2度と358度の合理的な平均値ではないという事実は、ある種のデータ（この場合は角度データ）の分析には特別な統計手法が必要であることを示している。方向性があるとみなされる可能性のあるデータの他の例としては、時間間隔（例えば、時刻、週、月、年など）、コンパスの方向、分子の二面角、配向、回転などに関する統計が挙げられる。

円形分布

直線上の任意の確率密度関数（pdf）は、単位半径の円周に「ラップ」することができる。[ 2 ]つまり^、ラップされた変数のpdf は ${\displaystyle \ p(x)}$ $${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$$ $${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$$

この概念は、単純な合計を特徴空間のすべての次元をカバーする複数の合計に拡張することで、多変量​​のコンテキストに拡張できます。ここで、 は - 番目のユークリッド基底ベクトルです。 ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle k}$

次のセクションでは、関連する円形分布をいくつか示します。

フォン・ミーゼス円分布

フォン・ミーゼス分布は円分布であり、他の円分布と同様に、ある線形確率分布を円に巻き付けたものと考えることができます。フォン・ミーゼス分布の基礎となる線形確率分布は数学的に扱いにくいものですが、統計的な目的においては、基礎となる線形分布を扱う必要はありません。フォン・ミーゼス分布の有用性は2つあります。1つは、すべての円分布の中で最も数学的に扱いやすく、統計分析を簡素化できること、もう1つは、巻き付け正規分布に近い近似値であることです。巻き付け正規分布は、線形正規分布と同様に、多数の小さな角度偏差の和の極限ケースであるため重要です。実際、フォン・ミーゼス分布は、その使いやすさと巻き付け正規分布との密接な関係から、「円正規分布」と呼ばれることがよくあります。^[3]

フォン ミーゼス分布の pdf は次のとおりです。ここでは0 次修正ベッセル関数です。 $${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$$ ${\displaystyle I_{0}}$

円形均一分布

円一様分布の確率密度関数（pdf）は次のように与えられる。 $${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$$

これは、上記のフォン・ミーゼスのように考えることもできます。 ${\displaystyle \kappa =0}$

ラップされた正規分布

ラップされた正規分布（WN）のpdfは次の式で表される。ここで、μとσはそれぞれラップされていない分布の平均と標準偏差であり、 ヤコビのシータ関数である。ここで、 $${\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$$ ${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$ $${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$$ ${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$ ${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

ラップされたコーシー分布

ラップされたコーシー分布(WC)の pdf は次のとおりです。はスケール係数、はピーク位置です。 $${\displaystyle WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

ラップされたレヴィ分布

ラップされたレヴィ分布(WL)の pdf は次のとおりです。ここで、 のときは加数の値はゼロになるものとされ、はスケール係数、は位置パラメータです。 $${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$$ ${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mu }$

投影された正規分布

投影正規分布は、多変量正規分布に従う確率変数の方向を表す円分布であり、変数を単位(n-1)球面上に放射状に投影することによって得られる。そのため、他の一般的に用いられる円分布とは異なり、この分布は対称でも単峰性でもない。

高次元多様体上の超関数

球面上の異なるケント分布からサンプリングされた 3 つの点セット。

2次元球面（ケント分布^[4]など）、N次元球面（フォン・ミーゼス・フィッシャー分布^[5]）、トーラス（2変量フォン・ミーゼス分布^[6] ）上の分布も存在します。

フォン・ミーゼス・フィッシャー分布^[7]はシュティーフェル多様体上の分布であり、回転行列上の確率分布を構築するために使用できる。^[8]

ビンガム分布は、 N次元の軸上の分布、または同等に、 対蹠地が特定された( N −1)次元球面上の点上の分布です。 ^[9]たとえば、N  = 2の場合、軸は平面上で原点を通る無向線です。この場合、各軸は平面（1次元球面）の単位円を、互いの対蹠地である2点で切断します。N = 4の場合、ビンガム分布は単位四元数（ベルソル） の空間上の分布です。ベルソルは回転行列に対応するため、 N = 4のビンガム分布は、行列 フォン・ミーゼス・フィッシャー分布と同様に、回転空間上の確率分布を構成するために使用できます。

これらの分布は、例えば地質学^[10] 、結晶学^[11]、バイオインフォマティクス^{[1] 、[12] 、[13]}などで使用されています。

瞬間

円分布の生のベクトル（または三角関数）モーメントは次のように定義される。

${\displaystyle m_{n}=\operatorname {E} (z^{n})=\int _{\Gamma }P(\theta )z^{n}\,d\theta }$

ここで、 は長さ の任意の区間、は円分布のPDF 、です。積分は1であり、積分区間は有限であるため、任意の円分布のモーメントは常に有限であり、明確に定義されます。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle P(\theta )}$ ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle P(\theta )}$

サンプルモーメントも同様に定義されます。

${\displaystyle {\overline {m}}_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}.}$

母集団の結果ベクトル、長さ、および平均角度は、対応するサンプル パラメータと同様に定義されます。

${\displaystyle \rho =m_{1}}$

${\displaystyle R=|m_{1}|}$

${\displaystyle \theta _{n}=\operatorname {Arg} (m_{n}).}$

さらに、高次モーメントの長さは次のように定義されます。

${\displaystyle R_{n}=|m_{n}|}$

一方、高次のモーメントの角度部分はちょうど です。すべてのモーメントの長さは0と1の間にあります。 ${\displaystyle (n\theta _{n}){\bmod {2}}\pi }$

場所と広がりの測定

母集団と母集団から抽出された標本の両方に対して、中心傾向と統計的分散のさまざまな尺度を定義することができます。 ^[3]

中心傾向

位置を表す最も一般的な指標は円平均です。母集団円平均は分布の第一モーメントに過ぎませんが、標本平均は標本の第一モーメントに過ぎません。標本平均は母集団平均の不偏推定値として機能します。

データが集中している場合、中央値と最頻値は線形の場合と同様に定義できますが、より分散したデータや多峰性のデータの場合、これらの概念は役に立ちません。

分散

円形スプレッドの最も一般的な測定方法は次のとおりです。

• その円分散。標本の場合、円分散は次のように定義されます。母集団の場合、は両方とも0から1の間の値になります。 $${\displaystyle {\overline {\operatorname {Var} (z)}}=1-{\overline {R}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (z)=1-R}$$
• その0から無限大までの値を持つ円標準偏差 。この標準偏差の定義（分散の平方根ではなく）は、ラップされた正規分布の場合、それが基礎となる正規分布の標準偏差の推定値となるため有用です。したがって、標準偏差の値が小さい場合、円分布を線形の場合と同様に標準化することができます。これは、ラップされた正規分布を近似するフォン・ミーゼス分布にも当てはまります。 が小さい場合、 となる。 $${\displaystyle S(z)={\sqrt {\ln(1/R^{2})}}={\sqrt {-2\ln(R)}}}$$ $${\displaystyle {\overline {S}}(z)={\sqrt {\ln(1/{\overline {R}}^{2})}}={\sqrt {-2\ln({\overline {R}})}}}$$ ${\displaystyle S(z)}$ ${\displaystyle S(z)^{2}=2\operatorname {Var} (z)}$
• その0から無限大までの値をとる円分散 。この広がりの尺度は、統計的分散分析において有用であることが分かっています。 $${\displaystyle \delta ={\frac {1-R_{2}}{2R^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\delta }}={\frac {1-{{\overline {R}}_{2}}}{2{\overline {R}}^{2}}}}$$

平均値の分布

N 個の測定値のセットが与えられた場合、zの平均値は次のように定義されます。 ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

これは次のように表現できる。

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {C}}+i{\overline {S}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n}){\text{ and }}{\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

または、次のようにも言えます:

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {R}}={\sqrt {{\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}}{\text{ and }}{\overline {\theta }}=\arctan({\overline {S}}/{\overline {C}}).}$

円形pdf P ( θ )の平均角度( )の分布は次のように表されます。 ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

${\displaystyle P({\overline {C}},{\overline {S}})\,d{\overline {C}}\,d{\overline {S}}=P({\overline {R}},{\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}=\int _{\Gamma }\cdots \int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left[P(\theta _{n})\,d\theta _{n}\right]}$

ここで、 は任意の長さの区間にわたっており、積分は、とが定数であるという制約、または、とが定数であるという制約に従います。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

ほとんどの円形分布の平均分布の計算は解析的に不可能であり、分散分析を実行するためには数値的または数学的な近似が必要である。^[14]

中心極限定理は、標本平均値の分布にも適用できる。（主要記事：方向統計における中心極限定理）。 ^[14]によれば、標本サイズが大きい場合の極限において、分布は二変量正規分布に近づくことが示される。 ${\displaystyle [{\overline {C}},{\overline {S}}]}$

適合度と有意性検定

循環データの場合（例えば、均一に分布しているか）

• 単峰性クラスターのレイリー検定
• おそらくマルチモーダルなデータに対するKuiper の検定。

参照

• 円相関係数
• 複素正規分布
• ラップされた分布

参考文献

1. Hamelryck, Thomas; Kent, John T.; Krogh, Anders (2006). "Hamelryck, T., Kent, J., Krogh, A. (2006) 局所構造バイアスを用いた現実的なタンパク質コンフォメーションのサンプリング．PLoS Comput. Biol., 2(9): e131". PLOS Computational Biology . 2 (9): e131. Bibcode :2006PLSCB...2..131H. doi : 10.1371/journal.pcbi.0020131 . PMC  1570370 . PMID  17002495.
2. Bahlmann, C., (2006), オンライン手書き認識における方向性の特徴, Pattern Recognition, 39
3. フィッシャー 1993。
4. Kent, J (1982) 球面上のフィッシャー–ビンガム分布J Royal Stat Soc, 44, 71–80.
5. フィッシャー, RA (1953) 球面上の分散. Proc. Roy. Soc. London Ser. A., 217, 295–305
6. Mardia, KM. Taylor; CC; Subramaniam, GK. (2007). 「タンパク質バイオインフォマティクスと角度データに対する二変量フォン・ミーゼス分布の混合」. Biometrics . 63 (2): 505– 512. doi :10.1111/j.1541-0420.2006.00682.x. PMID  17688502. S2CID  14293602.
7. Pal, Subhadip; Sengupta, Subhajit; Mitra, Riten; Banerjee, Arunava (2020年9月). 「Stiefel多様体上の行列ランジュバン分布に対する共役事前分布と事後推論」. Bayesian Analysis . 15 (3): 871– 908. doi : 10.1214/19-BA1176 . ISSN  1936-0975. S2CID  209974627.
8. Downs (1972). 「方向統計」. Biometrika . 59 (3): 665– 676. doi :10.1093/biomet/59.3.665.
9. Bingham, C. (1974). 「球面上の反対称分布」. Ann. Stat . 2 (6): 1201– 1225. doi : 10.1214/aos/1176342874 .
10. Peel, D.; Whiten, WJ.; McLachlan, GJ. (2001). 「ジョイントセット同定を支援するケント分布の混合フィッティング」(PDF) . J. Am. Stat. Assoc . 96 (453): 56– 63. doi :10.1198/016214501750332974. S2CID  11667311.
11. Krieger Lassen, NC; Juul Jensen, D.; Conradsen, K. (1994). 「配向データの統計解析について」. Acta Crystallogr . A50 (6): 741– 748. Bibcode :1994AcCrA..50..741K. doi :10.1107/S010876739400437X.
12. Kent, JT, Hamelryck, T. (2005). タンパク質構造の確率モデルにおけるフィッシャー・ビンガム分布の利用 2024年1月20日アーカイブ、Wayback Machine掲載。S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Quantitative Biology, Shape Analysis, and Wavelets, pp. 57–60. リーズ、リーズ大学出版局
13. Boomsma, Wouter; Mardia, Kanti V.; Taylor, Charles C.; Ferkinghoff-Borg, Jesper; Krogh, Anders; Hamelryck, Thomas (2008). 「タンパク質局所構造の生成的確率モデル」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 105 (26): 8932– 8937. Bibcode :2008PNAS..105.8932B. doi : 10.1073/pnas.0801715105 . PMC 2440424. PMID  18579771 . 
14. ジャマラマダカ & セングプタ 2001.

方向統計に関する書籍

• Batschelet, E. (1981).生物学における循環統計学. ロンドン: Academic Press . ISBN 0-12-081050-6。
• フィッシャー, N.I. (1993). 『循環データの統計分析』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-35018-2。
• フィッシャー, N.I. ; ルイス, T. ; エンブルトン, BJJ (1993).球面データの統計分析.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-45699-1。
• Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). 『循環統計のトピックス』 ニュージャージー州: World Scientific. ISBN 981-02-3778-2. 2011年5月15日閲覧。
• Mardia, KV ; Jupp, P. (2000).方向統計学（第2版）. John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4。
• Ley, C.; Verdebout, T. (2017).現代方向統計学. CRC Press Taylor & Francis Group . ISBN 978-1-4987-0664-3。

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