ディリクレ特性

Complex-valued arithmetic function

解析的数論および関連する数学の分野において、複素数値算術関数は 、すべての整数およびに対して次の式が成り立つとき、法のディリクレ指標（ただし、は正の整数）である。^[1] ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

1.つまり、完全に乗法です。 ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b);}$ ${\displaystyle \chi }$

2. . ${\displaystyle \chi (a)=0\iff \gcd(a,m)>1}$

3. ; つまり、周期 で周期的である。 ${\displaystyle \chi (a+m)=\chi (a)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle m}$

最も単純な指標は主指標と呼ばれ、通常は と表記され、すべての法に対して存在する: ^[2] ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

ディリクレ指標は、1837年に等差数列における素数に関する論文でこれらの関数を導入したドイツの数学者ペーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんで名付けられました。^{[3] [4]}

表記

${\displaystyle \phi (n)}$はオイラーのトーティエント関数である。^[5]

${\displaystyle \zeta _{n}}$は複素原始n乗根です。

${\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1,}$しかし ${\displaystyle \zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$はmod の単位群 ${\displaystyle m}$である。順序は ${\displaystyle \phi (m).}$

${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$は、 を法とするディリクレ指標の群です。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle p,p_{k},}$などは 素数です。

${\displaystyle (m,n)}$は、標準的な^[6]略語^[7]である。 ${\displaystyle \gcd(m,n)}$

${\displaystyle \chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),}$等はディリクレ指標である。（「指標」はギリシャ文字の小文字χで表す）

ディリクレ指標には、法を含む標準的な表記法はありません。多くの文脈（ディリクレの定理の証明など）では、法は固定されています。しかし、本稿のような文脈では、異なる法の指標が登場します。本稿では、必要に応じて、ブライアン・コンリーによって導入され、LMFDBで使用されているコンリー・ラベルの変種を採用しています。

このラベルでは、係数を表す文字は、以下の文字グループのセクションで説明されているインデックスと同じ場所に表記されます。このラベルでは、は未指定の文字を表し、は mod の主文字を表します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}(a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)}$ ${\displaystyle m}$

グループ文字との関係

「指標」という言葉は数学において様々な意味で用いられます。このセクションでは、（乗法的に記述された）群から複素数体の乗法群への準同型写像を指します。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.}$

指標の集合は、2つの指標の積が点ごとの乗算によって定義される場合、自明な指標による恒等式と複素反転による逆数によって アーベル群となる。^[8] ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle \eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),}$ ${\displaystyle \eta _{0}(a)=1}$ ${\displaystyle \eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

が有限アーベル群である場合、[ ^9]同型が存在し、直交関係は^[10]である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cong {\widehat {A}}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}}$     そして     ${\displaystyle \sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}}$

有限アーベル群の元は、 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle [a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}}$ ${\displaystyle (a,m)=1.}$

群指標は、次のように定義することでディリクレ指標に拡張できる。 ${\displaystyle \rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}}$

逆に、ディリクレ指標modは、 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

ダヴェンポート^[11]を言い換えると、ディリクレ指標はアーベル群指標の特殊なケースとみなすことができる。しかし、本稿ではディリクレ指標を直接的かつ構成的に説明するという点でディリクレに従う。これは、ディリクレの研究が群論の発展より数十年先行していたという歴史的な理由と、問題の群が単純で興味深い構造を持っているという数学的な理由による。この構造は、一般のアーベル群と同じように扱うと分かりにくくなる。

基本的な事実

4) 性質 2) がそうであるので、それは の両側からキャンセルできます 。 ${\displaystyle \gcd(1,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$ ${\displaystyle \chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)}$

${\displaystyle \chi (1)=1.}$^[12]

5) 特性3)は、

もし   そうなら ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b).}$

6) 性質1)は、任意の正の整数に対して ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.}$

7)オイラーの定理によれば、 ${\displaystyle \gcd(a,m)=1}$ ${\displaystyle a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.}$

${\displaystyle \chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.}$

つまり、 の非ゼロ値はの-乗根です。 ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$

およびに依存する整数に対して。これは、与えられた係数に対して有限個の文字しか存在しないことを意味します。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi ,\zeta ,}$ ${\displaystyle a}$

8)と が同じ係数を表す2つの文字である場合、それらの積は点ごとの乗算によって定義されます。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle \chi \chi ',}$

${\displaystyle \chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)}$   （明らかに1-3を満たす）。^[13] ${\displaystyle \chi \chi '}$

主人公はアイデンティティです:

${\displaystyle \chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

9)を におけるの逆数とします。すると ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,}$したがって、6) はすべての整数に拡張されます。 ${\displaystyle \chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},}$

1の根の複素共役はその逆数でもある（詳細はこちらを参照）。つまり、 ${\displaystyle (a,m)=1}$

${\displaystyle {\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).}$   （明らかに1～3も満たしています）。 ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$

したがって、すべての整数に対して ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};}$   言い換えると 。  ${\displaystyle \chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}}$

10) 8) で定義された乗算と恒等式、および 9) で定義された反転により、与えられた係数に対するディリクレ指標の集合は有限アーベル群に変換されます。

登場人物

2のべき乗、奇数の素数のべき乗、素数のべき乗の積 によって群の構造が異なるため、3つの異なるケースが存在する。 ^[14] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$

奇数素数の累乗

が奇数の場合、 は の位数で巡回する。その生成子は を法とする原始根と呼ばれる。^[15]を原始根とし、に対して関数(の添え字) を次の ように定義する。 ${\displaystyle q=p^{k}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g_{q}}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{q}<\phi (q).}$

の場合、そしてその場合に 限り、 ${\displaystyle (ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$

${\displaystyle \chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},}$   ${\displaystyle \chi }$は、その価値によって決まります ${\displaystyle g_{q}.}$

を原始-乗根とする。上記の性質7)より、 の可能な値はである。 これらの異なる値から、 を法とするディリクレ指標が生じる 。に対しては、と定義する。 ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle \chi (g_{q})}$ ${\displaystyle \omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle (r,q)=1}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}}$

そして、そしてすべてと ${\displaystyle (rs,q)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),}$それが文字であることを示し、 ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),}$これは明示的な同型性を与える ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

例メートル= 3、5、7、9

2は3を法とする原始根です。（） ${\displaystyle \phi (3)=2}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},}$

の値は ${\displaystyle \nu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}}$。

3を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}}$

2は5を法とする原始根です。（） ${\displaystyle \phi (5)=4}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},}$

の値は ${\displaystyle \nu _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}}$。

5を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$

3は7を法とする原始根です。（） ${\displaystyle \phi (7)=6}$

${\displaystyle 3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},}$

の値は ${\displaystyle \nu _{7}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}}$。

7を法とする文字の非ゼロ値は（） である。 ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}}$。

2は9を法とする原始根です。（） ${\displaystyle \phi (9)=6}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},}$

の値は ${\displaystyle \nu _{9}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}}$。

9を法とする文字の非ゼロ値は（） である。 ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$。

2の累乗

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }}$は1つの元を持つ自明な群である。は位数2の巡回群である。8、16、およびそれ以上の2の累乗に対しては原始根は存在しない。5の累乗が単位であり、その負数が単位である^[16]例えば ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}.}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.}$

とすると、 は位数2の巡回群（-1によって生成される）と位数5の巡回群（5によって生成される）の直積となる。奇数に対して、関数とを次のように 定義する。 ${\displaystyle q=2^{k},\;\;k\geq 3}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.}$

奇数との場合、かつ の場合に限ります。奇数の場合、の値はおよびの値によって決まります。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \chi (-1)}$ ${\displaystyle \chi (5).}$

を原始平方根とする。 の取り得る値は である。これらの異なる値 はディリクレ指標を法として生じる 。奇数については次のように定義される。 ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle \chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})}$ ${\displaystyle \pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

そして奇数とすべてと ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)}$それが文字であることを示し、 ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)}$それを示している ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

例メートル= 2、4、8、16

mod 2のキャラクターは主人公のみです。 ${\displaystyle \chi _{2,1}}$

−1は4を法とする原始根である（） ${\displaystyle \phi (4)=2}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}}$

4を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}}$

−1は5で単位mod 8を生成します（） ${\displaystyle \phi (8)=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}}$。

8を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

−1と5は16を法とする単位を生成する（） ${\displaystyle \phi (16)=8}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}}$。

16を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$。

素数の積

を素因数分解したものをとする。 を法とする単位群は、を法とする群の直積に同型である。^[17] ${\displaystyle m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

これは、1)と -タプルの間には1 対 1 の対応があり 、2) mod の乗算は-タプルの座標ごとの乗算に対応することを意味します。 ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle ab\equiv c{\pmod {m}}}$対応する

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})}$どこ ${\displaystyle c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.}$

中国剰余定理（CRT）は、単純に ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$

次のようなサブグループが存在する^[18] ${\displaystyle G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$そして

${\displaystyle G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

すると、およびはすべてが-組 に対応し、 すべては次のように一意に因数分解できる^{[19] [20]} ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in G_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}...a_{k}.}$

がサブグループの文字modである場合、それは何らかのmodと同一でなければならない。 ${\displaystyle \chi _{m,\_}}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{q_{i},\_}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{q_{2},\_}(a_{2})...,}$

すべての文字 mod は文字 mod の積であることを示します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

定義については^[21] ${\displaystyle (t,m)=1}$

${\displaystyle \chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...}$

そして、そしてすべてと^[22] ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),}$それが文字であることを示し、 ${\displaystyle \chi _{m,r}}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),}$同型性を示す ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

例メートル= 15、24、40

${\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$

15を法とする文字の因数分解は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}}$

15を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$。

${\displaystyle (\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.}$24を法とする文字の因数分解は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}}$

24を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$。

${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$40を法とする文字の因数分解は

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}}$

40を法とする文字の非ゼロ値は

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$。

まとめ

をの因数分解とし、 ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots }$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (rs,m)=1.}$

ディリクレ指標にはmodがあり、これらはで表され、はと等価である。恒等式は同型である^[23]。 ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r},}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{m,s}}$ ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

各文字 mod には、文字 mod の積と素数乗を割り算した一意の因数分解があります。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

積が、で与えられる文字であり、 ${\displaystyle m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1}$ ${\displaystyle \chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\equiv r{\pmod {m_{1}}}}$ ${\displaystyle t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.}$

また、^{[24] [25]} ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$

直交性

2つの直交関係は^[26]

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$     そして     ${\displaystyle \sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

この関係は対称的な形で表すことができる。

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}}$     そして     ${\displaystyle \sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}}$

最初の関係は簡単に証明できる。 それぞれが1である非ゼロの被加数が存在する場合  。 ^[27] ${\displaystyle \chi =\chi _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ ${\displaystyle a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.}$

${\displaystyle \chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),}$^[28]   示唆している

${\displaystyle (\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.}$   最初の因数で割るとQEDが得られます。の恒等式は、これらの関係が互いに等価であることを示しています。 ${\displaystyle \sum _{a}\chi (a)=0,}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$ ${\displaystyle (rs,m)=1}$

2番目の関係も同様の方法で直接証明できるが、補題^{[29]が必要である。}

前提として、 ${\displaystyle a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.}$

2番目の関係には重要な帰結がある。関数を定義する と ${\displaystyle (a,m)=1,}$

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).}$   それから

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}}$

これは留数類の指示関数である。これはディリクレの定理の証明において基本的なものである。^{[30] [31]} ${\displaystyle f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}}$ ${\displaystyle [a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}}$

文字の分類

導体; 原始的および誘導的な文字

素数のパワーをmodする文字は、より大きなパワーごとにmodする文字でもある。例えば、mod 16 ^[32]

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

${\displaystyle \chi _{16,3}}$周期は16ですが、周期は8で周期は4です   。   ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.}$

任意のに対してが と互いに素で、を法として満たすとき、の指標はの擬周期を持つという。^[33]例えば、 は の唯一のディリクレ指標であり、 の擬周期を持つが、の周期は持たない（ただし の周期は持つ）。 が擬周期的である最小の正の整数はの導体である。^[34]したがって、例えば はの導体を持つ。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi (m)=\chi (n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m\equiv n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ ${\displaystyle 1}$

の導線は16、 の導線は8、 と の導線 は4です。係数と導線が等しい場合、指標は原始、そうでない場合は非原始です。非原始指標は、最小の係数の指標によって誘導されます。は から誘導され、はから誘導されます。 ${\displaystyle \chi _{16,3}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{4,3}}$

関連する現象は、素数の積を法とする文字でも発生する可能性があります。その非ゼロの値は、より短い周期で周期的になることがあります。

例えば、mod 15、

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}}$。

の非ゼロ値は周期 15 ですが、 の非ゼロ値は周期 3、 の非ゼロ値は周期 5 です。これは、3 と 5 を法とする文字で並べるとわかりやすくなります。 ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}}$。

キャラクターのmod が次のように定義されている 場合 ${\displaystyle m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$または、 ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},}$

その非ゼロ値は文字 mod によって決定され、周期を持ちます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

非ゼロ値の最小周期が、その文字の導体です。例えば、 の導体は15、 の導体は3、 の導体は5です。 ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

素数-べき乗の場合と同様に、導体が係数に等しい場合、指標は原始的、そうでない場合は非原始的 である。非原始的である場合、より小さい係数を持つ指標から誘導される。例えば、は から誘導され、は から誘導される。 ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{3,2}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ ${\displaystyle \chi _{5,3}}$

主人公は原始人ではない。^[35]

文字が原始的であるためには、各因子が原始的である必要があります。^[36] ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

プリミティブ指標は、L関数^[37]やモジュラー形式の理論における式を単純化（または可能に）することが多い。

パリティ

${\displaystyle \chi (a)}$は偶数で、 は奇数 ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ ${\displaystyle \chi (-1)=-1.}$

この区別は、ディリクレL関数の関数方程式に現れます。

注文

文字の位数は、群の元としての位数 、すなわち を満たす最小の正の整数である。同型性により、の位数はにおける の位数と同じである。主文字の位数は1、その他の実文字の位数は2、虚文字の位数は3以上である。ラグランジュの定理により、文字の位数は の位数を割り切れる。 ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \chi ^{n}=\chi _{0}.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

実在の人物

${\displaystyle \chi (a)}$すべての値が実数の場合（ でなければなりません）、 は実数または二次関数です。そうでない場合は、複素数または虚数です。 ${\displaystyle 0,\;\pm 1}$

${\displaystyle \chi }$は、 が実数となるのは の場合のみであり 、が実数となるのは の場合のみであり、特に、は実数であり、かつ主でない。^[38] ${\displaystyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\displaystyle \chi _{m,k}}$ ${\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi _{m,-1}}$

ディリクレの最初の証明（素数モジュライに対してのみ有効）は、 が実数かどうかによって2つの異なる形式をとった。後に彼がすべてのモジュライに対して有効とした証明は、彼の類数公式に基づいていた。^{[39] [40]} ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ ${\displaystyle \chi }$

実数文字はクロネッカー記号である。^[41]例えば、主文字は^[42]と表記される。 ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$

例の中の実際の文字は次のとおりです。

主要

主人公が[ ^43] ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).}$

${\displaystyle \chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)}$  

原生的

法が 基本判別式の絶対値である場合、実数の原始指標が存在する（法が8の倍数である場合は2つ存在する）。そうでない場合、原始指標が存在する場合^[36] 、それらは虚数である。^[44]

${\displaystyle \chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)}$

原始的な

${\displaystyle \chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)}$  

アプリケーション

L関数

キャラクターのディリクレL級数は ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

この級数は について絶対収束する。指標が主でない場合、さらに について（ただし絶対収束ではない）収束し、複素平面全体で定義され微分可能な整関数に解析接続できる。指標が主である場合、級数は についてのみ収束する。この場合、に単極を持つ有理型関数に解析接続できる。 ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$ ${\textstyle {\mathfrak {R}}(s)>0}$ ${\textstyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$ ${\textstyle s=1}$

ディリクレは1837 年の論文で - 関数を文字とともに導入しました。 ${\displaystyle L}$

モジュール形式と機能

ディリクレ指標はモジュラー形式やモジュラー函数の理論においていくつかの場面で現れる。典型的な例としては^{[45]が挙げられる。}

およびを原始的なものとします。 ${\displaystyle \chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}}$

もし

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}\in M_{k}(M,\chi )}$^[46]

定義する

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}}$, ^[47]  

それから

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})}$が尖端形式であれば、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\chi _{1}}.}$

別の例として、ディリクレ指標のシータ級数を参照してください。

ガウス和

ディリクレ指標のNを法としたガウス和は

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.}$

これはディリクレL関数の関数方程式に現れます。

ヤコビ和

とが素数を法とするディリクレ指標である場合、 それらのヤコビ和は ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).}$

ヤコビ和はガウス和の積に因数分解できます。

クロスターマン合計

がディリクレ指標をmodとし、クロスターマン和は^[48]で定義される。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}}$ ${\displaystyle K(a,b,\chi )}$

${\displaystyle K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.}$

ガウス和の場合。 ${\displaystyle b=0}$

十分な条件

関数がディリクレ指標であることを示すために、定義特性 1) - 3) を確立する必要はありません。

ダベンポートの本より

もしそのような ${\displaystyle \mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

1)   ${\displaystyle \mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),}$

2)   、 ${\displaystyle \mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)}$

3) ならば、しかし ${\displaystyle \gcd(a,m)>1}$ ${\displaystyle \mathrm {X} (a)=0}$

4)   は常に0ではない、 ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$

文字modの1つは^[49] ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m}$

サルコジ氏の容態

ディリクレ指標は、線形回帰関係を満たす完全な乗法関数である。つまり、 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}$

すべての正の整数 に対して、 はすべてがゼロではなく、異なる場合、はディリクレ指標である。^[50] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$ ${\displaystyle f}$

チュダコフの病状

ディリクレ指標は、次の3つの性質を満たす完全乗法関数である。a)有限個の値しか取らない。b)有限個の素数でしか消えない。c) 剰余が ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}$

は一様有界である。このディリクレ指標の同値な定義は1956年にチュダコフ^[51]によって予想され、2017年にクラーマンとマンゲレル^{[52]によって証明された。} ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

注目すべき特殊モジュール

• 8、ディリクレ指標が複数の生成器を必要とする最小のモジュール
• 13、ディリクレ指標に素数pが含まれず、かつpが素数であるような最小のモジュール。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z[\alpha ]}$
• 19、ディリクレ指標の実部と虚部が構成可能数でない数を含む最小のモジュール
• 24、ディリクレ指標がすべて実数である最大のモジュール（n のディリクレ指標がすべて実数となるのは、n が 24 の約数である場合のみ）
• 47、円分体の類数が1より大きい数を含むディリクレ指標を持つ最小の加群 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle h^{-}}$ ${\displaystyle Q(\alpha )}$
• 120、ディリクレ指標が3つ以上の生成器を必要とする最小のモジュール
• 149、円分体の完全な類数が最小の数と互いに素でない数を含むディリクレ指標を持つ最小の加群（不規則素数と関連） ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle h^{-}\cdot h^{+}}$ ${\displaystyle Q(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha ^{n}=1}$
• 240、ディリクレ指標がすべてガウス整数である最大のモジュール（n のディリクレ指標がすべてガウス整数となるのは、n が 240 の約数である場合に限ります）
• 383、円分体の類数が1より大きい数を含むディリクレ指標を持つ最小のモジュール ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle h^{+}}$ ${\displaystyle Q(\alpha )}$
• 504、ディリクレ指標がすべてアイゼンシュタイン整数である最大のモジュール（n のディリクレ指標がすべてアイゼンシュタイン整数となるのは、n が 504 の約数である場合のみ）
• 840は、ディリクレ指標が4つ以上の生成器を必要とする最小のモジュールである。

参照

• 文字数
• nを法とする整数の乗法群
• nを法とする原始根
• 乗法文字

注記

1. これは標準的な定義です。例えば、Davenport p.27、Landau p.109、Ireland and Rosen p.253
2. 法1の特別なケースに注意してください。1を法とする唯一の文字は定数1です。他のすべての文字は0で0です。
3. ダベンポート p. 1
4. 英語訳は外部リンクにあります
5. Weisstein, Eric W. 「トーティエント関数」. mathworld.wolfram.com . 2025年2月9日閲覧。
6. ダベンポート、ランダウ、アイルランド、ローゼンで使用
7. は以下と同等である ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle \gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1}$
8. 乗法文字を参照
9. アイルランドとローゼン p. 253-254
10. 文字グループ#文字の直交性を参照
11. ダベンポート p. 27
12. これらの特性は、このテーマに関するすべての入門書、例えば Davenport p. 27、Landau p. 109 で導き出されています。
13. 一般的に、キャラクターmodとキャラクターmodの積はキャラクターmodである。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}$
14. 修正されたコンリーラベルの使用を除いて、このセクションはダベンポートpp. 1-3, 27-30に従っています。
15. 原始根の法則と の高次のすべての冪乗である原始根の法則が存在する。例えば、Landau p. 106を参照。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p}$
16. ランダウ pp. 107-108
17. 詳細についてはユニットグループを参照してください
18. for each を構築するには、CRT を使用して、 ${\displaystyle G_{i},}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

19. は に対応すると仮定する。構成により は に対応し、等に対応する。その座標積は ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle (a_{1},1,1,...)}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (1,a_{2},1,...)}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...).}$
20. 例えば とするとの要素の因数分解は ${\displaystyle m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.}$ ${\displaystyle G_{1}=\{1,11,21,31\}}$ ${\displaystyle G_{2}=\{1,9,17,33\}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}}$

21. Conrey のラベルを参照してください。
22. これらの式は各要因に当てはまるからです。
23. これはすべての有限アーベル群に当てはまる: ; アイルランド&ローゼン pp. 253-254 を参照 ${\displaystyle A\cong {\hat {A}}}$
24. 素数を法とするべき乗の公式は と において対称であり、積の公式もこの対称性を保つためである。Davenport, p. 29 を参照。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$
25. これは、非ゼロ値の表の n 番目の列と n 番目の行が同じであると言うのと同じことです。
26. 上記の#グループ文字との関係を参照してください。
27. 定義により ${\displaystyle \chi _{0}}$
28. 群のすべての要素に定数要素を掛け合わせると、要素の順序が変わるだけだからです。群（数学）を参照してください。
29. Davenport p. 30 (言い換え) [2番目の関係式]を証明するには、構築時に使用したアイデアを使用するか[この論文またはLandau pp. 109-114のように]、またはアーベル群の基底定理に頼る必要があります[Ireland & Rosen pp. 253-254のように]
30. ダヴェンポート第1章、第4章；ランドウ114ページ
31. が任意の関数である場合に注意してください。有限群のフーリエ変換#有限アーベル群のフーリエ変換を参照してください。 ${\displaystyle g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)}$
32. このセクションはDavenport pp. 35-36に続くものである。
33. Platt, Dave. 「ディリクレ指標 定義 11.10」(PDF) . 2024年4月5日閲覧。
34. 「ディリクレ指標の導体（レビュー）」LMFDB . 2024年4月5日閲覧。
35. ダベンポートはこれを原始的でも非原始的でもないと分類している。LMFDBはこれを ${\displaystyle \chi _{1,1}.}$
36. が奇数の2倍である場合、すべての mod 文字は原始的であることに注意してください。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=2r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}}$
37. 例えば、関数方程式は原始的な に対してのみ有効です。Davenport, p. 85 を参照。 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$
38. 実際、素数の法はルジャンドル記号 である。証明の概要：aが平方剰余（非剰余）の場合、は偶数（奇数）である。 ${\displaystyle p\;\;\chi _{p,-1}}$ ${\displaystyle \chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;}$ ${\displaystyle \nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)}$
39. ダベンポート、第1章、第4章。
40. アイルランドとローゼンの証明は、すべてのモジュライに有効であり、これら2つのケースも含んでいる。pp. 259 ff
41. ダベンポート p. 40
42. この表記法は、より短い書き方である。 ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)}$
43. 素数の積は、 の場合にゼロになることを保証します。平方数は、ゼロでない唯一の値が 1 であることを保証します。 ${\displaystyle \gcd(m,\bullet )>1}$
44. ダベンポート 38-40ページ
45. コブリッツ、提案17b、127ページ
46. 1 ) および 2) および を意味します。Koblitz Ch . IIIを参照してください。 ${\displaystyle f(z)\in M_{k}(M,\chi )}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle c\equiv 0{\pmod {M}}.}$
47. ツイスト​​​ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$
48. Kloosterman 合計の LMFDB 定義
49. ダベンポート p. 30
50. サルコジ
51. チュダコフ
52. クルマン

参考文献

• Chudakov, NG「数半群の指標の理論」インド数学会誌20 : 11– 15 .
• ダヴェンポート、ハロルド（1967）『乗法数論』上級数学講義第1巻、シカゴ：マーカム、Zbl  0159.06303。
• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）、現代数論への古典的入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97329-X
• Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). 「乗法関数の剛性定理」. Math. Ann . 372 (1): 651– 697. arXiv : 1707.07817 . Bibcode :2017arXiv170707817K. doi :10.1007/s00208-018-1724-6. S2CID  119597384.
• コブリッツ、ニール(1993).楕円曲線とモジュラー形式入門. 大学院数学テキスト 第97巻（第2改訂版）.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-97966-2。
• ランドー、エドマンド（1966）、初等数論、ニューヨーク：チェルシー
• サルコジ、アンドラーシュ. 「線形再帰を満たす乗法算術関数について」. Studia Sci. Math. Hung . 13 ( 1–2 ): 79–104 .

外部リンク

• ディリクレの1837年の等差数列における素数に関する論文の英訳
• LMFDB は、10,000 までの法の 30,397,486 個のディリクレ指標とその L 関数をリストします。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dirichlet_character&oldid=1325250839"