ディリクレ分布

確率分布

ディリクレ分布
確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle K\geq 2}$カテゴリ数（整数）集中パラメータ、ここで ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}>0}$
サポート	${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{K}}$ここで、（すなわち単体） ${\displaystyle x_{i}\in [0,1]}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1}$ ${\displaystyle K-1}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$ どこどこ ${\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\bigl (}\alpha _{0}{\bigr )}}}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}$
平均	${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\alpha _{0})}$ （ここではディガンマ関数） ${\displaystyle \psi }$
モード	${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}$
分散	${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {{\tilde {\alpha }}_{i}(1-{\tilde {\alpha }}_{i})}{\alpha _{0}+1}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {\delta _{ij}\,{\tilde {\alpha }}_{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\alpha }}_{j}}{\alpha _{0}+1}}}$ ここで、クロネッカーデルタ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}_{i}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$
エントロピ	${\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle +(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})}$ 分散については上記のように定義され、はディガンマ関数である。 ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \psi }$
モーメント法	${\displaystyle \alpha _{i}=E[X_{i}]\left({\frac {E[X_{j}](1-E[X_{j}])}{V[X_{j}]}}-1\right)}$ここでjは任意のインデックス、i自体である可能性もある

確率統計学において、ディリクレ分布（ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんで名付けられ、しばしば と表記される）は、正の実数のベクトルαをパラメータとする連続多変量確率分布の族である。これはベータ分布の多変量一般化であるため、^{[1] 、}多変量ベータ分布（MBD）とも呼ばれる。^{[2]ディリクレ分布は}ベイズ統計学において事前分布 としてよく用いられ、実際、ディリクレ分布はカテゴリ分布と多項式分布の共役事前分布である。 ${\displaystyle \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$

ディリクレ分布の無限次元一般化はディリクレ過程である。

定義

確率密度関数

すべての個々のが互いに等しいまま、ベクトルを から に変更すると、密度関数の対数がどのように変化するかを示します。 ${\displaystyle K=3}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(0.3,0.3,0.3)}$ ${\displaystyle (2.0,2.0,2.0)}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

パラメータ付き順序のディリクレ分布の確率密度関数は次式で表される。 ${\displaystyle K\geq 2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}>0}$

$${\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$$ここで、確率密度関数は、 ⁠ ⁠次元ユークリッド空間に埋め込まれた標準単体上で定義されます。 $${\displaystyle x_{i}\in \left[0,1\right]{\mbox{ for all }}i\in \{1,\dots ,K\}{\mbox{ and }}\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1\,.}$$ ${\displaystyle K-1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{K}}$

正規化定数は多変数ベータ関数であり、ガンマ関数で表すことができます。

$${\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).}$$

サポート

ディリクレ分布の台は、K次元ベクトルxの集合であり、その要素は区間 [0,1] 内の実数で、 、すなわち座標の和が 1 に等しい。これらは、K通りのカテゴリカルイベントの確率として考えることができる。これを別の方法で表現すると、ディリクレ分布の定義域自体が確率分布の集合、具体的にはK次元離散分布の集合である。K 次元ディリクレ分布の台の点の集合の専門用語は、オープンスタンダードの( K − 1)単体^[3]であり、これは三角形を一般化し、次の高次元に埋め込んだものである。たとえば、K = 3の場合、サポートは3 次元空間に下向きの角度で埋め込まれた正三角形であり、頂点は (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1) になります。つまり、各座標軸は原点から 1 単位離れた点で接します。 ${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}=1}$

特殊なケース

一般的な特殊ケースとして、対称ディリクレ分布があります。この分布では、パラメータベクトルαを構成するすべての要素が同じ値を持ちます。対称ケースは、例えば、成分に対するディリクレ事前分布が求められるものの、ある成分が他の成分よりも優れているという事前知識がない場合に有用です。パラメータベクトルのすべての要素が同じ値を持つため、対称ディリクレ分布は、集中パラメータと呼ばれる単一のスカラー値αによってパラメータ化できます。αに関して、密度関数は次のようになります 。

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha )={\frac {\Gamma (\alpha K)}{\Gamma (\alpha )^{K}}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha -1}.}$$

α = 1の場合、^[1]対称ディリクレ分布は、開いた標準の( K −1)単体上の均一分布と同等です。つまり、サポート内のすべての点で均一です。この特定の分布は、平坦ディリクレ分布として知られています。集中パラメータの値が 1 を超えると、変量は密で均一に分布する分布を好みます。つまり、単一のサンプル内のすべての値は互いに類似しています。集中パラメータの値が 1 未満の場合は、疎な分布を好みます。つまり、単一のサンプル内のほとんどの値は 0 に近くなり、質量の大部分はいくつかの値に集中します。

α = 1/2のとき、分布は( K −1)次元単位超球面の表面から一様ランダムに点を選び、各座標を二乗することによって得られる分布と同じである。α = 1/2分布は、ディリクレ分布のジェフリーズ事前分布である。

より一般的には、パラメータベクトルは、 （スカラー）集中パラメータαと（ベクトル）基本測度の積として表されることがあります。ここで、nは（K − 1）単体内にあります（つまり、座標の和が1になります）。この場合の集中パラメータは、前述の対称ディリクレ分布の集中パラメータよりもK倍大きくなります。この構成は、ディリクレ過程を議論する際の基本測度の概念と関連しており、トピックモデリングの文献でよく用いられます。 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {n}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}=(n_{1},\dots ,n_{K})}$ ${\displaystyle n_{i}}$

^ 集中パラメータを各次元のディリクレパラメータの和として定義すると、分布の次元である集中パラメータKを持つディリクレ分布は、 ( K − 1)単体上の一様分布になります。

プロパティ

瞬間

させて。 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$

させて

$${\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}.}$$

その後^{[4] [5]}

$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.}$$

さらに、もし ${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.}$$

共分散行列は特異です。

より一般的には、ディリクレ分布に従う確率変数のモーメントは次のように表される。 について、 をそのi次のアダマール冪で表す。すると、^[6] ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}=(t_{1},\dotsc ,t_{K})\in \mathbb {R} ^{K}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}^{\circ i}=(t_{1}^{i},\dotsc ,t_{K}^{i})}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[({\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}})^{n}\right]={\frac {n!\,\Gamma (\alpha _{0})}{\Gamma (\alpha _{0}+n)}}\sum {\frac {{t_{1}}^{k_{1}}\cdots {t_{K}}^{k_{K}}}{k_{1}!\cdots k_{K}!}}\prod _{i=1}^{K}{\frac {\Gamma (\alpha _{i}+k_{i})}{\Gamma (\alpha _{i})}}={\frac {n!\,\Gamma (\alpha _{0})}{\Gamma (\alpha _{0}+n)}}Z_{n}({\boldsymbol {t}}^{\circ 1}\cdot {\boldsymbol {\alpha }},\cdots ,{\boldsymbol {t}}^{\circ n}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}),}$

ここで、和は の非負整数にわたっており、 は次数nの対称群の循環指数多項式です。 ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{K}}$ ${\displaystyle n=k_{1}+\cdots +k_{K}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$

特別なケースがあります ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}\right]={\frac {{\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}}{\alpha _{0}}}.}$

ベクトルの多変数類似物は、ポリア列挙定理の意味で指数のカラーパターンの観点から表現することができます^[7]。 ${\textstyle \operatorname {E} \left[({\boldsymbol {t}}_{1}\cdot {\boldsymbol {X}})^{n_{1}}\cdots ({\boldsymbol {t}}_{q}\cdot {\boldsymbol {X}})^{n_{q}}\right]}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {t}}_{q}\in \mathbb {R} ^{K}}$ ${\displaystyle n_{1},\dotsc ,n_{q}}$

具体的な例としては、単純な計算^{[8]が挙げられる。}

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\prod _{i=1}^{K}X_{i}^{\beta _{i}}\right]={\frac {B\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }}\right)}{B\left({\boldsymbol {\alpha }}\right)}}={\frac {\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}{\Gamma \left[\sum \limits _{i=1}^{K}(\alpha _{i}+\beta _{i})\right]}}\times \prod _{i=1}^{K}{\frac {\Gamma (\alpha _{i}+\beta _{i})}{\Gamma (\alpha _{i})}}.}$$

モード

分布のモードは[ ^9]ベクトル( x ₁ , ..., x _K )で、

$${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\qquad \alpha _{i}>1.}$$

周辺分布

周辺分布はベータ分布である：^[10]

$${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Beta} (\alpha _{i},\alpha _{0}-\alpha _{i}).}$$

下記の § 関連ディストリビューションも参照してください。

カテゴリカルまたは多項式と共役

ディリクレ分布は、カテゴリ分布（与えられた数の可能な結果を​​持つ一般的な離散確率分布）と多項分布（カテゴリ分布の観測値のセットにおける各可能なカテゴリの観測カウントの分布）の共役事前分布です。つまり、データ ポイントがカテゴリ分布または多項分布のいずれかを持ち、分布のパラメーターの事前分布（データ ポイントを生成する確率のベクトル）がディリクレとして分布している場合、パラメーターの事後分布もディリクレになります。直感的には、このような場合、データ ポイントを観測する前のパラメーターの知識から始めて、データ ポイントに基づいて知識を更新し、古い分布と同じ形式の新しい分布を得ることができます。これは、数学的な困難に陥ることなく、一度に 1 つずつ新しい観測を組み込むことで、パラメーターの知識を連続的に更新できることを意味します。

正式には、これは次のように表現できる。モデル

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}{\boldsymbol {\alpha }}&=&\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)&=&{\text{concentration hyperparameter}}\\\mathbf {p} \mid {\boldsymbol {\alpha }}&=&\left(p_{1},\ldots ,p_{K}\right)&\sim &\operatorname {Dir} (K,{\boldsymbol {\alpha }})\\\mathbb {X} \mid \mathbf {p} &=&\left(\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{K}\right)&\sim &\operatorname {Cat} (K,\mathbf {p} )\end{array}}}$$

次のことが成り立ちます。

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\mathbf {c} &=&\left(c_{1},\ldots ,c_{K}\right)&=&{\text{number of occurrences of category }}i\\\mathbf {p} \mid \mathbb {X} ,{\boldsymbol {\alpha }}&\sim &\operatorname {Dir} (K,\mathbf {c} +{\boldsymbol {\alpha }})&=&\operatorname {Dir} \left(K,c_{1}+\alpha _{1},\ldots ,c_{K}+\alpha _{K}\right)\end{array}}}$$

この関係はベイズ統計において、 N個の標本集合が与えられた場合に、カテゴリ分布の基礎パラメータpを推定するために使用されます。直感的には、超事前分布ベクトルαを擬似カウント、つまり各カテゴリにおける既に観測された観測値の数を表すものとして捉えることができます。そして、事後分布を導くには、 すべての新しい観測値のカウント（ベクトルc ）を単純に加算します。

ベイズ混合モデルや混合要素を含むその他の階層的ベイズモデルでは、モデルに現れるカテゴリ変数の事前分布として、ディリクレ分布が一般的に用いられます。詳細については、以下の応用に関するセクションを参照してください。

ディリクレ多項分布との関係

ディリクレ事前分布をカテゴリ値の観測値の集合に適用したモデルにおいて、観測値の周辺 結合分布（すなわち、事前パラメータを周辺化除去した観測値の結合分布）はディリクレ多項分布となる。この分布は階層的ベイズモデルにおいて重要な役割を果たしている。なぜなら、ギブスサンプリングや変分ベイズなどの手法を用いて階層的ベイズモデルを推論する際に、ディリクレ事前分布は周辺化除去されることが多いからである。詳細については、この分布に関する記事を参照のこと。

エントロピ

Xが確率変数である場合、Xの微分エントロピー（単位：自然単位）は^[11] ${\displaystyle \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$

$${\displaystyle h({\boldsymbol {X}})=\operatorname {E} [-\ln f({\boldsymbol {X}})]=\ln \operatorname {B} ({\boldsymbol {\alpha }})+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})}$$

ここで、はディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi }$

上の微分エントロピーは、以下の式を用いて導出できる。これらの関数はディリクレ分布の十分統計量であるため、指数関数族の微分恒等式を用いて、（ ^[12]の式(2.62)を参照）の期待値とそれに関連する共分散行列の解析的表現を得ることができる。 ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X_{i})]}$ ${\displaystyle \ln(X_{i})}$ ${\displaystyle \ln(X_{i})}$

$${\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X_{i})]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\alpha _{0})}$$

そして

$${\displaystyle \operatorname {Cov} [\ln(X_{i}),\ln(X_{j})]=\psi '(\alpha _{i})\delta _{ij}-\psi '(\alpha _{0})}$$

ここで、 はディガンマ関数、はトリガンマ関数、はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

以外の値に対するレーニ情報量のスペクトルは^[13]で与えられる。 ${\displaystyle \lambda =1}$

$${\displaystyle F_{R}(\lambda )=(1-\lambda )^{-1}\left(-\lambda \log \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})+\sum _{i=1}^{K}\log \Gamma (\lambda (\alpha _{i}-1)+1)-\log \Gamma (\lambda (\alpha _{0}-K)+K)\right)}$$

情報エントロピーは1 に近づくほど極限になります。 ${\displaystyle \lambda }$

もう一つの関連する興味深い尺度は、確率質量分布X、すなわち を持つ離散カテゴリカル（K個の1つだけの2値）ベクトルZのエントロピーである。Xが与えられた場合のZの条件付き情報エントロピーは、 ${\displaystyle P(Z_{i}=1,Z_{j\neq i}=0|{\boldsymbol {X}})=X_{i}}$

$${\displaystyle S({\boldsymbol {X}})=H({\boldsymbol {Z}}|{\boldsymbol {X}})=\operatorname {E} _{\boldsymbol {Z}}[-\log P({\boldsymbol {Z}}|{\boldsymbol {X}})]=\sum _{i=1}^{K}-X_{i}\log X_{i}}$$

このXの関数はスカラー確率変数である。Xがすべての を満たす対称ディリクレ分布に従う場合、エントロピーの期待値（単位はnat）は^{[14]である。} ${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha }$

$${\displaystyle \operatorname {E} [S({\boldsymbol {X}})]=\sum _{i=1}^{K}\operatorname {E} [-X_{i}\ln X_{i}]=\psi (K\alpha +1)-\psi (\alpha +1)}$$

カルバック・ライブラー距離

同じ単体上の2つのディリクレ分布と間のカルバック・ライブラー（KL）ダイバージェンスは次式で表される: ^[15] ${\displaystyle {\text{Dir}}({\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle {\text{Dir}}({\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }{\big (}\mathrm {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})\,\|\,\mathrm {Dir} ({\boldsymbol {\beta }}){\big )}&=\log {\frac {\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\beta _{i}\right)}}+\sum _{i=1}^{K}\left[\log {\frac {\Gamma (\beta _{i})}{\Gamma (\alpha _{i})}}+(\alpha _{i}-\beta _{i})\left(\psi (\alpha _{i})-\psi \left(\sum _{j=1}^{K}\alpha _{j}\right)\right)\right]\end{aligned}}}$

集約

もし

$${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$$

次に、添え字iとjを持つ確率変数をベクトルから削除し、それらの和に置き換えると、

$${\displaystyle X'=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{i}+\alpha _{j},\ldots ,\alpha _{K}).}$$

この集約プロパティは、上記の周辺分布を導き出すために使用できます。 ${\displaystyle X_{i}}$

中立

ならばベクトル Xは中立的であると言われ^[16]、X _K^が[3]から独立しているという意味で中立的である と言われる。 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle X^{(-K)}}$

$${\displaystyle X^{(-K)}=\left({\frac {X_{1}}{1-X_{K}}},{\frac {X_{2}}{1-X_{K}}},\ldots ,{\frac {X_{K-1}}{1-X_{K}}}\right),}$$

のいずれかを取り除いた場合も同様である。Xの任意の順列も中立である（一般化ディリクレ分布から抽出されたサンプルには存在しない性質）ことに注意されたい。^[17] ${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{K-1}}$

これを集約の性質と組み合わせると、X _j + ... + X _Kは とは独立であることがわかります。さらに、ディリクレ分布においては、 に対して、 のペア、および2つのベクトルと を正規化されたランダムベクトルの3つ組として見ると、 は互いに独立です。同様の結果は、インデックス{1, 2, ..., K }を任意の非シングルトン部分集合のペアに分割する場合にも当てはまります。 ${\displaystyle \left({\frac {X_{1}}{X_{1}+\cdots +X_{j-1}}},{\frac {X_{2}}{X_{1}+\cdots +X_{j-1}}},\ldots ,{\frac {X_{j-1}}{X_{1}+\cdots +X_{j-1}}}\right)}$ ${\displaystyle 3\leq j\leq K-1}$ ${\displaystyle \left(X_{1}+\cdots +X_{j-1},X_{j}+\cdots +X_{K}\right)}$ ${\displaystyle \left({\frac {X_{1}}{X_{1}+\cdots +X_{j-1}}},{\frac {X_{2}}{X_{1}+\cdots +X_{j-1}}},\ldots ,{\frac {X_{j-1}}{X_{1}+\cdots +X_{j-1}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\frac {X_{j}}{X_{j}+\cdots +X_{K}}},{\frac {X_{j+1}}{X_{j}+\cdots +X_{K}}},\ldots ,{\frac {X_{K}}{X_{j}+\cdots +X_{K}}}\right)}$

特性関数

ディリクレ分布の特性関数は、ローリセラ超幾何級数の合流形である。これはフィリップスによって次のように与えられる^[18]。

$${\displaystyle CF\left(s_{1},\ldots ,s_{K-1}\right)=\operatorname {E} \left(e^{i\left(s_{1}X_{1}+\cdots +s_{K-1}X_{K-1}\right)}\right)=\Psi ^{\left[K-1\right]}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K-1};\alpha _{0};is_{1},\ldots ,is_{K-1})}$$

どこ

$${\displaystyle \Psi ^{[m]}(a_{1},\ldots ,a_{m};c;z_{1},\ldots z_{m})=\sum {\frac {(a_{1})_{k_{1}}\cdots (a_{m})_{k_{m}}\,z_{1}^{k_{1}}\cdots z_{m}^{k_{m}}}{(c)_{k}\,k_{1}!\cdots k_{m}!}}.}$$

和は非負整数およびについてである。フィリップスは、この形式は「数値計算には不便」であると述べ、複素経路積分という代替案を提示している。 ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ ${\displaystyle k=k_{1}+\cdots +k_{m}}$

$${\displaystyle \Psi ^{[m]}={\frac {\Gamma (c)}{2\pi i}}\int _{L}e^{t}\,t^{a_{1}+\cdots +a_{m}-c}\,\prod _{j=1}^{m}(t-z_{j})^{-a_{j}}\,dt}$$

ここで、L はを起点として の複素平面上の任意の経路を表し、積分関数のすべての特異点を正の方向に囲んで に戻ります。 ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

不平等

確率密度関数は、ディリクレ分布の様々な境界を示唆する多関数不等式において重要な役割を果たします。^[19] ${\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K-1};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)}$

もう一つの不等式は、ディリクレ分布のモーメント生成関数とスケール逆カルバック・ライブラー分布の凸共役を関連付けるものである：^[20]

$${\displaystyle \log \operatorname {E} \left(\exp {\sum _{i=1}^{K}s_{i}X_{i}}\right)\leq \sup _{p}\sum _{i=1}^{K}\left(p_{i}s_{i}-\alpha _{i}\log \left({\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}p_{i}}}\right)\right),}$$ここで、上限は( K − 1)単体を張るp上で取られます。

関連ディストリビューション

のとき、各成分の周辺分布はベータ分布 となる。特に、K = 2のとき、は と等価である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} \left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)}$ ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Beta} (\alpha _{i},\alpha _{0}-\alpha _{i})}$ ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Beta} (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},1-X_{1})\sim \operatorname {Dir} \left(\alpha _{1},\alpha _{2}\right)}$

K個の独立に分布するガンマ分布の場合:

$${\displaystyle Y_{1}\sim \operatorname {Gamma} (\alpha _{1},\theta ),\ldots ,Y_{K}\sim \operatorname {Gamma} (\alpha _{K},\theta )}$$

我々は次のものを持っている: ^{[21] : 402}

$${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha _{0},\theta \right),}$$ $${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})=\left({\frac {Y_{1}}{V}},\ldots ,{\frac {Y_{K}}{V}}\right)\sim \operatorname {Dir} \left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right).}$$

X _iは互いに独立ではないが、 K個の独立したガンマ確率変数の集合から生成されることがわかる。^{[21] : 594}残念ながら、 Xを形成する際に和Vが失われるため（実際、 VはXから確率的に独立であることが示される）、これらの値のみから元のガンマ確率変数を復元することは不可能である。しかしながら、独立確率変数は扱いが単純であるため、この再パラメータ化はディリクレ分布の性質に関する証明には依然として有用である。

ディリクレ分布の共役事前分布

ディリクレ分布は指数分布族であるため、共役事前分布を持つ。共役事前分布は以下の形をとる：^[22]

$${\displaystyle \operatorname {CD} ({\boldsymbol {\alpha }}\mid {\boldsymbol {v}},\eta )\propto \left({\frac {1}{\operatorname {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\right)^{\eta }\exp \left(-\sum _{k}v_{k}\alpha _{k}\right).}$$

ここで はK次元の実数ベクトルであり、はスカラーパラメータである。 の定義域は、上記の非正規化密度関数を正規化できるパラメータの集合に限定される。（必要かつ十分な）条件は以下である：^[23] ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},\eta )}$

$${\displaystyle \forall k\;\;v_{k}>0\;\;\;\;{\text{ and }}\;\;\;\;\eta >-1\;\;\;\;{\text{ and }}\;\;\;\;(\eta \leq 0\;\;\;\;{\text{ or }}\;\;\;\;\sum _{k}\exp -{\frac {v_{k}}{\eta }}<1)}$$

共役性は次のように表される。

[事前確率: ]かつ[観測確率: ]ならば[事後確率: ]。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\sim \operatorname {CD} (\cdot \mid {\boldsymbol {v}},\eta )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\mid {\boldsymbol {\alpha }}\sim \operatorname {Dirichlet} (\cdot \mid {\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\mid {\boldsymbol {x}}\sim \operatorname {CD} (\cdot \mid {\boldsymbol {v}}-\log {\boldsymbol {x}},\eta +1)}$

公開されている文献には、 からサンプルを効率的に生成する実用的なアルゴリズムは存在しません。 ${\displaystyle \operatorname {CD} ({\boldsymbol {\alpha }}\mid {\boldsymbol {v}},\eta )}$

対数確率のスケーリングと変換による一般化

上で述べたように、ディリクレ変量は独立ガンマ変量を正規化することによって生成できる。代わりに一般化ガンマ変量を正規化すると、単体一般ベータ分布（SGB）からの変量が得られる。^[24]一方、SGB 変量は、ディリクレ変量のスケールされ変換された対数にソフトマックス関数を適用することによっても得られる。具体的には、 およびとし、ここで対数を要素ごとに適用すると次のように なる。または 、およびで、すべての の場合は となる。SGB 密度関数は、から 自体への一対一変換である変換 が、 の微分体積変化係数^[25]を誘導することに注目することで導出できる。 ここで、 は上記のようにの関数として回復されることが理解される。これにより、SGB 密度をディリクレ密度で次のように記述することが容易になります。変数の変更によるディリクレ密度のこの一般化は、正規化フローと密接に関連していますが、微分体積変化は、正規化フロー § シンプレックスフローでより詳しく説明されているように、 のヤコビ行列式がゼロである のヤコビ行列式によって与えられることに注意する必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{K})\sim \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{K})}$ $${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {softmax} (a^{-1}\log \mathbf {x} +\log \mathbf {b} )\;\iff \;\mathbf {x} =\operatorname {softmax} (a\log \mathbf {y} -a\log \mathbf {b} )}$$ $${\displaystyle y_{k}={\frac {b_{k}x_{k}^{1/a}}{\sum _{i=1}^{K}b_{i}x_{i}^{1/a}}}\;\iff \;x_{k}={\frac {(y_{k}/b_{k})^{a}}{\sum _{i=1}^{K}(y_{i}/b_{i})^{a}}}}$$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{K})}$ ${\displaystyle b_{k}>0}$ ${\displaystyle \mathbf {y} \sim \operatorname {SGB} (a,\mathbf {b} ,{\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {y} }$ $${\displaystyle R(\mathbf {y} ,a,\mathbf {b} )=a^{1-K}\prod _{k=1}^{K}{\frac {y_{k}}{x_{k}}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ $${\displaystyle f_{\text{SGB}}(\mathbf {y} \mid a,\mathbf {b} ,{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {f_{\text{Dir}}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\alpha }})}{R(\mathbf {y} ,a,\mathbf {b} )}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {y} :\mathbb {R} ^{K}\to \mathbb {R} ^{K}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{K-1})\mapsto \mathbf {(} y_{1},\ldots ,y_{K-1})}$

ディリクレ形状パラメータと変換パラメータの相互作用をさらに深く理解するには、ロジスティックベータ分布に従う対数周辺分布を考慮することが役立つかもしれません。特に、裾野の挙動と、位置パラメータと尺度パラメータによる一般化に関するセクションを参照してください。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle a,\mathbf {b} }$ ${\displaystyle \log {\frac {x_{k}}{1-x_{k}}}}$ ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha _{k},\sum _{i\neq k}\alpha _{i})}$

応用

のとき、変換は へと簡略化されます。これは機械学習において温度スケーリングとして知られており、多クラス確率分類器のキャリブレーション変換として用いられます。^[26]従来、温度パラメータ（ここでは）は、クラスラベルが既知の教師ありキャリブレーションデータセットにおいて、多クラスクロスエントロピーを最小化することによって識別的に学習されます。しかし、上記のPDF変換メカニズムは、温度スケーリング要素を含む生成的に訓練されたキャリブレーションモデルの設計を容易にするためにも使用できます。 ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \operatorname {softmax} (a^{-1}\log \mathbf {x} )}$ ${\displaystyle a}$

発生と応用

ベイズモデル

ディリクレ分布は、ベイズ混合モデルやその他の階層的ベイズモデルにおけるカテゴリ変数または多項式変数の事前分布として最も一般的に使用されます。（自然言語処理などの多くの分野では、カテゴリ変数はしばしば不正確に「多項式変数」と呼ばれます。ベルヌーイ分布と二項分布がよく混同される場合と同様に、このような用法は混乱を招く可能性は低いです。）

階層的ベイズモデルの推論は、多くの場合ギブスサンプリングを用いて行われます。そのような場合、ディリクレ分布のインスタンスは通常、ディリクレ確率変数を積分することによってモデルから周辺化されます。これにより、同じディリクレ確率変数から抽出されたさまざまなカテゴリ変数が相関し、それらの結合分布は、ディリクレ分布のハイパーパラメータ（集中パラメータ）を条件とするディリクレ多項分布を仮定します。これを行う理由の1つは、ディリクレ多項分布のギブスサンプリングが非常に簡単であるためです。詳細については、その記事を参照してください。

パラメータの直感的な解釈

濃度パラメータ

ディリクレ分布は、ベイズ推論において事前分布として非常に頻繁に用いられます。最も単純で、おそらく最も一般的なタイプのディリクレ事前分布は、すべてのパラメータが等しい対称ディリクレ分布です。これは、ある成分を他の成分よりも優先させる事前情報がない場合に相当します。前述のように、すべてのパラメータが設定される単一の値αは、集中パラメータと呼ばれます。ディリクレ分布の標本空間を離散確率分布として解釈する場合、直感的に集中パラメータは、ディリクレ分布の確率質量がその中心にどの程度「集中」しているかを決定するものと考えることができます。その結果、すべての成分間で質量がほぼ均等に分散した標本が得られます。つまり、値が1よりはるかに小さい場合、質量は少数の成分に大きく集中し、残りの成分にはほとんど質量がなくなり、値が1よりはるかに大きい場合、質量はすべての成分間でほぼ均等に分散されます。詳細については、集中パラメータに関する記事を参照してください。

弦の切断

ディリクレ分布の一例として、初期長さ1.0の弦をK本の異なる長さの断片に切断する場合が挙げられます。各断片の平均長さは指定されていますが、断片の相対的な大きさには多少のばらつきが許容されます。値は、分布によって切断された弦の平均長さを指定します。この平均値の周りの分散は、に反比例して変化します。 ${\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}.}$ ${\displaystyle \alpha _{i}/\alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$

ディリクレ分布(1/2,1/3,1/6)の例

ポリアの壺

K色の異なるボールが入った壺を考えてみましょう。最初は、壺には色1のボールがα1個、_色2のボールがα2_個、といった具合に入っています。次に、壺からボールを​​N回取り出します_。取り出したボールは、同じ色のボールを1個加えて壺に戻します。Nが無限大に近づくにつれて、壺内の異なる色のボールの割合はDir( α1 , ..., αK ₎のように分布します。^[27 ]

正式な証明として、異なる色のボールの比率は有界[0,1] ^K値マルチンゲールを形成することに留意してください。したがって、マルチンゲール収束定理により、これらの比率はほぼ確実に、そして平均的に極限ランダムベクトルに収束します。この極限ベクトルが上記のディリクレ分布に従うことを確認するには、すべての混合モーメントが一致することを確認してください。

壺からボールを​​引くたびに、将来壺からいずれかの色のボールを引く確率が変化します。この変化は、壺に新しいボールを追加することによる相対的な影響が、壺にボールが蓄積されるにつれて減少するため、引く回数が増えるにつれて減少します。

ランダム変数生成

ガンマ分布から

ガンマ分布に従うランダム変数のソースがあれば、パラメータを持つK次元ディリクレ分布からランダムベクトルを簡単にサンプリングすることができます。まず、密度がそれぞれであるガンマ分布からK個の独立したランダムサンプルを抽出します。 ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{K})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{K}}$

$${\displaystyle \operatorname {Gamma} (\alpha _{i},1)={\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}\;e^{-y_{i}}}{\Gamma (\alpha _{i})}},\!}$$

そして設定する

$${\displaystyle x_{i}={\frac {y_{i}}{\sum _{j=1}^{K}y_{j}}}.}$$

[証拠]

独立にサンプリングされたガンマ変量の結合分布は、次の積で与えられます。 ${\displaystyle \{y_{i}\}}$

$${\displaystyle e^{-\sum _{i}y_{i}}\prod _{i=1}^{K}{\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}}{\Gamma (\alpha _{i})}}}$$

次に、変数変換を用いて、とを用いてとなるように変数変換を行います 。 と のそれぞれの変数は となります。次に、 の変数変換公式を使用する必要があります。ここで は変換ヤコビアンです。 y を x の関数として明示的に書き直すと、 となります。 ヤコビアンは次のようになります。 ${\displaystyle \{y_{i}\}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{K-1}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}y_{i}}$ ${\displaystyle y\to x}$ ${\displaystyle {\bar {x}}=\textstyle \sum _{i=1}^{K}y_{i},x_{1}={\frac {y_{1}}{\bar {x}}},x_{2}={\frac {y_{2}}{\bar {x}}},\ldots ,x_{K-1}={\frac {y_{K-1}}{\bar {x}}}}$ ${\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k-1}\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq \textstyle \sum _{i=1}^{K-1}x_{i}\leq 1}$ ${\displaystyle P(x)=P(y(x)){\bigg |}{\frac {\partial y}{\partial x}}{\bigg |}}$ ${\displaystyle {\bigg |}{\frac {\partial y}{\partial x}}{\bigg |}}$ ${\displaystyle y_{1}={\bar {x}}x_{1},y_{2}={\bar {x}}x_{2}\ldots y_{K-1}={\bar {x}}x_{K-1},y_{K}={\bar {x}}(1-\textstyle \sum _{i=1}^{K-1}x_{i})}$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\bar {x}}&0&\ldots &x_{1}\\0&{\bar {x}}&\ldots &x_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {x}}&-{\bar {x}}&\ldots &1-\sum _{i=1}^{K-1}x_{i}\end{vmatrix}}}$$

行列式は、ある行の倍数を別の行に加えても変化しないことに注目し、最初のK-1行をそれぞれ一番下の行に加えて、

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\bar {x}}&0&\ldots &x_{1}\\0&{\bar {x}}&\ldots &x_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{vmatrix}}}$$

これを下行について展開すると、行列式の値が得られます。結合確率密度関数のxを代入し、ヤコビ行列式を含めると、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\bar {x}}^{K-1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left[\prod _{i=1}^{K-1}({\bar {x}}x_{i})^{\alpha _{i}-1}\right]\left[{\bar {x}}(1-\sum _{i=1}^{K-1}x_{i})\right]^{\alpha _{K}-1}}{\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}}{\bar {x}}^{K-1}e^{-{\bar {x}}}\\=&{\frac {\Gamma ({\bar {\alpha }})\left[\prod _{i=1}^{K-1}(x_{i})^{\alpha _{i}-1}\right]\left[1-\sum _{i=1}^{K-1}x_{i}\right]^{\alpha _{K}-1}}{\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}}\times {\frac {{\bar {x}}^{{\bar {\alpha }}-1}e^{-{\bar {x}}}}{\Gamma ({\bar {\alpha }})}}\end{aligned}}}$$ここで である。右辺は のディリクレ分布の確率密度関数とのガンマ分布の確率密度関数の積として理解できる。積の形からディリクレ変数とガンマ変数は独立であることが分かる。したがって、ガンマ変数は単に省略することで積分でき、以下の式が得られる。 ${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\textstyle \sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ $${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{K-1}\sim {\frac {(1-\sum _{i=1}^{K-1}x_{i})^{\alpha _{K}-1}\prod _{i=1}^{K-1}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}{B({\boldsymbol {\alpha }})}}}$$

これは次の式と同等である。

$${\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}{B({\boldsymbol {\alpha }})}}}$$サポート付き ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1}$

以下はサンプルを描画するための Python コードの例です。

params  =  [ a1 ,  a2 ,  ... ,  ak ] sample  =  [ random . gammavariate ( a ,  1 )  for  a  in  params ] sample  =  [ v  /  sum ( sample )  for  v  in  sample ]

この定式化は、ガンマ分布がどのようにパラメータ化されているか (形状/スケール vs. 形状/レート) に関係なく正しいです。スケールとレートが 1.0 に等しい場合は、両者は同等だからです。

周辺ベータ分布から

あまり効率的ではないアルゴリズム^[28]は、一変量周辺分布と条件付き分布がベータであることを前提とし、以下のように進める。 ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle {\textrm {Beta}}\left(\alpha _{1},\sum _{i=2}^{K}\alpha _{i}\right)}$$

次に、以下の順番でシミュレーションを実行します。 については、 ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{K-1}}$ ${\displaystyle j=2,\ldots ,K-1}$ ${\displaystyle \phi _{j}}$

$${\displaystyle {\textrm {Beta}}\left(\alpha _{j},\sum _{i=j+1}^{K}\alpha _{i}\right),}$$

そして

$${\displaystyle x_{j}=\left(1-\sum _{i=1}^{j-1}x_{i}\right)\phi _{j}.}$$

最後に、設定

$${\displaystyle x_{K}=1-\sum _{i=1}^{K-1}x_{i}.}$$

この反復的な手順は、上で説明した「文字列の切断」の直感に密接に対応しています。

以下はサンプルを描画するための Python コードの例です。

params  =  [ a1 ,  a2 ,  ... ,  ak ] xs  =  [ random . betavariate ( params [ 0 ],  sum ( params [ 1 :]))] for  j  in  range ( 1 ,  len ( params )  -  1 ):  phi  =  random . betavariate ( params [ j ],  sum ( params [ j  +  1  :]))  xs . append ( ( 1  -  sum ( xs ))  *  phi ) xs . append ( 1  -  sum ( xs ))

各アルファが1のとき

α ₁ = ... = α _K = 1の場合、分布からのサンプルは、区間[0, 1]からK − 1 個の値のセットを独立かつ均一にランダムに抽出し、値0と1をセットに追加してK + 1 個の値を持つようにし、セットをソートし、順序が隣接する値の各ペアの差を計算してx ₁、...、x _Kを生成することによって見つけることができます。

各アルファが1/2で超球との関係が

α ₁ = ... = α _K = 1/2の場合、標準正規分布から独立してK個の値をランダムに抽出し、これらの値を二乗し、その合計で割って正規化し、 x ₁、...、x _Kを生成することで、分布からのサンプルを見つけることができます。

同様の手順で、 ( K −1 )次元単位超球面（ K次元超球面の表面）から点( x ₁ , ..., x _K )を一様ランダムに抽出することができます。標準正規分布から独立してK個の値をランダムに抽出し、これらの座標値を、それぞれの平方和の平方根である定数で割ることで正規化します。

参照

• 一般化ディリクレ分布
• グループ化されたディリクレ分布
• 逆ディリクレ分布
• 潜在ディリクレ分布
• ディリクレ過程
• 行列変量ディリクレ分布

参考文献

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外部リンク

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• ディリクレ分布
• 期待最大化（EM）法を用いて複合ディリクレ分布（ポリア分布）のパラメータを推定する方法
• リュック・デヴロワ「非一様乱数変量生成」2019年10月19日閲覧。
• ディリクレ確率測度、複合ポアソン確率変数による構成法、および結果として得られるガンマ分布の交換可能性特性
• SciencesPo: ディリクレ分布のパラメータをシミュレートするための関数を含む R パッケージ。

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