崩壊定理

Theorem in measure theory

数学において、崩壊定理（かくかくせいていりつ）は測度論と確率論における帰結である。これは、測度空間の測度零部分集合への測度の非自明な「制限」という概念を厳密に定義する。これは条件付き確率測度の存在と関連している。ある意味で、「崩壊」は積測度の構築とは逆の過程である。

モチベーション

ユークリッド平面上の単位正方形 を考えます。2次元ルベーグ測度をに制限することによって上で定義される確率測度を考えます。つまり、事象の確率はの面積に等しいということです。 は の測定可能な部分集合であると仮定します。 ${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E\subseteq S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$

線分 のような の1次元部分集合を考える。は-測度ゼロを持ち、 のすべての部分集合は-零集合である。ルベーグ測度空間は完全な測度空間であるため、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

確かにそうだが、これは少々納得がいかない。 「限定される」というのは、零測度ではなく、一次元ルベーグ測度 である、と言えばよかった。そうすると、「二次元」事象の確率は、垂直「スライス」の一次元確率の積分として得られる。より正式には、 が上の一次元ルベーグ測度を表す場合、任意の「適切な」 に対して となる。この議論は、崩壊定理によって、計量空間上の測度の文脈において厳密なものとなる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \lambda ^{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap L_{x}}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ $${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle E\subseteq S}$

定理の記述

(以下、は位相空間上のボレル確率測度の集合を表します。) 定理の仮定は次のとおりです。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,T)}$

• とを2 つのラドン空間(つまり、その上のすべてのボレル確率測度が内部正則、つまり分離計量化可能な空間である位相空間。特に、その上のすべての確率測度は完全にラドン測度) とします。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
• させて。 ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$
• をボレル可測関数とします。ここで は を「分解する」関数、つまりに分割する関数として考えます。例えば、上記の例では、 、 と定義することができ、これは、 が捉えたいスライスであることを示します。 ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$ ${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$ ${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$
• をプッシュフォワード測度とする。この測度は（事象 に対応する）の分布を与える。 ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$

定理の結論:ほぼどこでも一意に決まる確率測度の族 が存在し、これはを に「分解」して、次のようになる: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

• 関数はボレル測定可能であり、これは各ボレル測定可能な集合に対してボレル測定可能な関数であるという意味である。 ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$ ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$
• ${\displaystyle \mu _{x}}$繊維 上に「生息する」：ほとんどすべてがそうだから。 ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$ ${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$
• ボレル測定可能なすべての関数 に対して、特に、を の指示関数とすると、任意の事象 に対して、^[1] ${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$ $${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$ ${\displaystyle E\subseteq Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$

アプリケーション

製品スペース

元の例は、分解定理が適用される積空間の問題の特殊なケースでした。

が直積として書かれ、が自然な射影であるとき、各繊維は標準的に と同一視され、（ほぼどこでも一意に決定される）における確率測度のボレル族が存在し、特に であり、 ^{[明確化が必要]}であり 、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(x_{1})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X_{2})}$ ${\displaystyle (\pi _{1})_{*}(\mu )}$ $${\displaystyle \mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),}$$ $${\displaystyle \int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$$ $${\displaystyle \mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B\mid x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).}$$

条件付き期待値との関係は、恒等式によって与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {E} (f\mid \pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1}),}$$ $${\displaystyle \mu (A\times B\mid \pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B\mid x_{1}).}$$

ベクトル計算

崩壊定理は、ベクトル解析における「制限された」測度の使用を正当化するものとも見ることができる。例えば、コンパクト面を流れるベクトル場に適用されるストークスの定理においては、 上の「正しい」測度は上の3次元ルベーグ測度の崩壊であり、この測度の ∂Σ 上の崩壊は上の の崩壊と同じであることが暗黙的に示される。^[2] ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

条件付き分布

崩壊定理は、条件付き確率の純粋に抽象的な定式化を避けながら、統計における条件付き確率分布の厳密な処理を与えるために適用することができる。^[3]この定理は、例えばボレル・コルモゴロフのパラドックスと関連している。

参照

• イヨネスク・トゥルチャ定理 – 確率定理
• 結合確率分布 – 確率分布の種類
• コピュラ（統計）  - 確率変数間の依存関係の統計分布
• 条件付き期待値 – 特定の条件が発生することが分かっている場合の確率変数の期待値
• ボレル・コルモゴロフのパラドックス – 条件付き確率のパラドックス
• 通常の条件付き確率
• リフティング理論

参考文献

1. Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1978).確率とポテンシャル. North-Holland Mathematics Studies. アムステルダム: North-Holland. ISBN 0-7204-0701-X。
2. Ambrosio, L.; Gigli, N.; Savaré, G. (2005).計量空間と確率測度空間における勾配フロー. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. ISBN 978-3-7643-2428-5。
3. Chang, JT; Pollard, D. (1997). 「崩壊としての条件付け」（PDF） . Statistica Neerlandica . 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544 . doi :10.1111/1467-9574.00056. S2CID  16749932. 

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