分布定数システム

System with an infinite-dimensional state-space

制御理論において、分布定数系（集中定数系とは対照的に）は、状態空間が無限次元である系である。したがって、このような系は無限次元系とも呼ばれる。典型的な例としては、偏微分方程式や遅延微分方程式で記述される系が挙げられる。

線形時不変分布定数システム

抽象的な進化方程式

離散時間

U、X、Y ヒルベルト空間と ∈  L ( X )、 ∈  L ( U、  X )、 ∈  L ( X、  Y )、 ∈  L ( U、  Y )を用いると、次の差分方程式によって離散時間線形時間不変システムが決まります。 ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle C\,}$ ${\displaystyle D\,}$

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

(状態)はXに値を持つシーケンス、(入力または制御)はUに値を持つシーケンス、(出力)はYに値を持つシーケンスです。 ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle y\,}$

連続時間

連続時間の場合は離散時間の場合と似ていますが、差分方程式の代わりに微分方程式を考慮します。

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$、

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$。

しかし、偏微分方程式や遅延微分方程式といった興味深い物理的例をこの抽象的な枠組みに含めるには、非有界演算子を考慮しなければならないという、さらなる複雑さが伴う。通常、Aは状態空間X上に強連続半群を生成すると仮定される。B 、C、Dを有界演算子と仮定すれば、多くの興味深い物理的例を含めることが可能になる^[1]が、他の多くの興味深い物理的例を含めると、BとCも非有界となる。

例:偏微分方程式

とで与えられる偏微分方程式 ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \xi \in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

は、上述の抽象的な発展方程式の枠組みに次のように当てはまる。入力空間Uと出力空間Yはともに複素数の集合として選ばれる。状態空間XはL ² (0, 1)として選ばれる 。演算子Aは次のように定義される。

${\displaystyle Ax=-x'}$、 ${\displaystyle D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},\,x'\in L^{2}(0,1),\,x(0)=0\right\}.}$

^[2]によれば、A はX上に強連続半群を生成する。有界作用素B、C、D は以下のように定義される。

${\displaystyle Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.}$

例:遅延微分方程式

遅延微分方程式

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

は、上述の抽象的な発展方程式の枠組みに次のように当てはまる。入力空間Uと出力空間Yはともに複素数の集合として選ばれる。状態空間Xは、複素数とL ² (− τ , 0)の積として選ばれる。演算子Aは次のように定義される。

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}}}$、 ${\displaystyle D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},\,f'\in L^{2}([-\tau ,0]),\,r=f(0)\right\}.}$

AはX上に強連続半群を生成することが^[3]で示されている。有界作用素B、C、Dは次のように定義される。

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.}$

伝達関数

有限次元の場合と同様に、伝達関数はラプラス変換（連続時間）またはZ変換（離散時間）によって定義されます。有限次元の場合、伝達関数は真の有理関数ですが、状態空間が無限次元であるため、無理関数となります（ただし、それでも正則関数です）。

離散時間

離散時間系において、伝達関数は状態空間パラメータを用いて で表され、原点を中心とする円板上では正則である。^{[4] 1/} z がAのレゾルベント集合に属する場合（原点を中心とするより小さな円板上では、伝達関数は となる。興味深い事実として、零点において正則である関数は、何らかの離散時間系の伝達関数となる。 ${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$ ${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$

連続時間

Aが強連続半群を生成し、B、C、およびDが有界作用素である場合、 ^[5]伝達関数は、実部がAによって生成される半群の指数関数的成長境界よりも大きいsに対して、状態空間パラメータによって次のように表されます。より一般的な状況では、この式はそのままでは意味をなさない場合もありますが、この式を適切に一般化すれば依然として有効です。^[6]伝達関数の簡単な表現を得るには、上記の例で以下に示すように状態空間の式を使用するよりも、与えられた微分方程式でラプラス変換を行う方がよい場合がよくあります。 ${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$

偏微分方程式の例の伝達関数

初期条件をゼロに設定し、tに関するラプラス変換を大文字で表記すると、上記の偏微分方程式から次の式が得られます。 ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

これは、変数 、パラメータs 、初期条件が 0である非同次線型微分方程式です。解は です。これを方程式のYに代入して積分すると、伝達関数は となります。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$ ${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$ ${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$

遅延微分方程式の例の伝達関数

偏微分方程式の例と同様に進めると、遅延方程式の例の伝達関数は^[7] となる。 ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$

制御性

無限次元の場合、可制御性には複数の非等価な定義が存在するが、有限次元の場合、それらは一つの通常の可制御性の概念に集約される。最も重要な3つの可制御性の概念は以下の通りである。

• 正確な制御性、
• おおよその制御可能性、
• 制御性ゼロ。

離散時間における制御可能性

重要な役割を担うのは、 U値シーケンス全体の集合をXに写す写像であり、これは で与えられる。その解釈は、初期条件がゼロのときに入力シーケンスuを適用することで到達する状態である。このシステムは ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u}$

• の範囲がXに等しい場合、 n時間で正確に制御可能、 ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• の範囲がXに稠密であれば、 n時間で近似的に制御可能であり、 ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• の範囲がA ⁿの範囲を含む場合、 nの時点で null は制御可能になります。 ${\displaystyle \Phi _{n}}$

連続時間における制御可能性

連続時間システムの可制御性において、によって与えられる写像は離散時間システムにおけるの役割を果たす。しかし、この演算子が作用する制御関数の空間が定義に影響を与える。通常は区間(0, ∞)上のU値平方可積分関数（の同値類）の空間であるL ² (0, ∞; U )が選択されるが、 L ¹ (0, ∞; U )のような他の選択肢も可能である。の領域が選択されれば、様々な可制御性の概念を定義できる。このシステムは^[8]と呼ばれる。 ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$

• の範囲がXに等しい場合、時間tで正確に制御可能、 ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• の範囲がXに稠密であれば、時間tで近似的に制御可能であり、 ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• の範囲がの範囲を含む場合、tの時点で null は制御可能になります。 ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$

可観測性

有限次元の場合と同様に、観測可能性は制御可能性の双対概念です。無限次元の場合、観測可能性にはいくつかの異なる概念があり、有限次元の場合ではそれらは一致します。最も重要な3つは次のとおりです。

• 正確な観測可能性（連続観測可能性とも呼ばれる）
• 近似観測可能性、
• 最終状態の観測可能性。

離散時間における観測可能性

重要な役割を担うのは、 XをすべてのY値列の空間に写す写像であり、 k  ≤  nの場合は で、 k  >  nの場合は0で与えられる。解釈すると、 は初期条件xと制御0による切り捨て出力である。この系は ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}x}$

• 時刻nにおいて正確に観測可能であるとは、すべてのx  ∈  Xに対して、k _n  > 0 が存在するときである。 ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$
• が単射であれば、時刻nにおいて近似的に観測可能であり、 ${\displaystyle \Psi _{n}}$
• すべてのx  ∈  Xに対してk _n  > 0 が存在する場合、最終状態はn時点で観測可能です。 ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$

連続時間における観測可能性

連続時間システムの観測可能性において、s∈[0,t]に対してで表され、 s>tに対しては0となる写像は、離散時間におけるの役割を果たす。しかし、この演算子が写像する関数の空間が定義に影響を与える。通常は区間( 0,∞  )上のY値正方可積分関数（の同値類）の空間であるL ^{2 (0, ∞,} Y )が選択されるが、 L ¹ (0, ∞,  Y )のような他の選択肢も可能である。 の余領域が選択されれば、様々な観測可能性の概念を定義できる。このシステムは^[9]と呼ばれる。 ${\displaystyle \Psi _{t}}$ ${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle \Psi _{t}}$

• 時刻tにおいて正確に観測可能とは、すべてのx  ∈  Xに対して、k _t  > 0 が存在するときである。 ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$
• が単射であれば時刻tにおいて近似的に観測可能であり、 ${\displaystyle \Psi _{t}}$
• すべてのx  ∈  Xに対してk _t  > 0 が存在する場合、最終状態は時刻tで観測可能です。 ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$

制御可能性と観測可能性の二重性

有限次元の場合と同様に、可制御性と観測性は双対概念である（少なくとも、の領域と通常のL ²の選択が行われた場合には）。異なる概念の双対性における対応は以下の通りである：^[10] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

• 正確な制御可能性↔正確な観測可能性
• 近似的な制御可能性↔近似的な観測可能性
• ヌル制御可能性 ↔ 最終状態の観測可能性。

参照

• 制御理論
• 状態空間（制御）

注記

1. カーテンとズワルト
2. カーテンとズワートの例 2.2.4
3. カーテンとズワートの定理 2.4.6
4. これは数学的な慣習であり、エンジニアは伝達関数が無限遠で正則であることを好むようです。これはzを1/ zに置き換えることで実現されます。
5. カーテンとZwart Lemma 4.3.6
6. スタファンの定理 4.6.7
7. カーテンとズワートの例 4.3.13
8. トゥクスナク定義 11.1.1
9. トゥクスナク定義 6.1.1
10. トゥクスナク定理 11.2.1

参考文献

• カーテン、ルース；ズワルト、ハンス（1995年）、無限次元線形システム理論入門、シュプリンガー
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009),演算子半群の観測と制御, Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), 「無限次元システムの安定性と安定化とその応用」、Springer
• ラシエツカ、イレーナ；トリッジャーニ、ロベルト（2000年）、偏微分方程式の制御理論、ケンブリッジ大学出版局
• ベンスーサン、アラン、ダ・プラート、ジュゼッペ、デルフォー、ミシェル、ミッター、サンジョイ（2007年）、無限次元システムの表現と制御（第2版）、ビルクハウザー

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