多様性（数学）

Generalization of metric spaces

数学において、多様体とは距離空間の概念の一般化です。この概念は2012年にブライアントとタッパーによって提唱され^[1] 、 彼らは多様体を「多元距離の一種」と呼んでいます^[2] 。 この概念は非線形解析に応用されています^{[3] 。}

集合 が与えられたとき、を の有限部分集合の集合とする。多様性とは、集合と関数の組から成り、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp _{\mbox{fin}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\delta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta \colon \wp _{\mbox{fin}}(X)\to \mathbb {R} }$

(D1) 、ただし、 ${\displaystyle \delta (A)\geq 0}$ ${\displaystyle \delta (A)=0}$ ${\displaystyle \left|A\right|\leq 1}$

そして

(D2)ならば. ${\displaystyle B\neq \emptyset }$ ${\displaystyle \delta (A\cup C)\leq \delta (A\cup B)+\delta (B\cup C)}$

ブライアントとタッパーは、これらの公理が単調性、すなわちならばを意味することを指摘している。彼らは、「多様性」という用語は、系統発生学的および生態学的多様性に関する研究において、彼らの定義の特殊なケースが出現したことに由来すると述べています。彼らは以下の例を挙げています。 ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \delta (A)\leq \delta (B)}$

直径の多様性

を距離空間とします。すべての を設定することで 多様性が定義されます。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \delta (A)=\max _{a,b\in A}d(a,b)=\operatorname {diam} (A)}$ ${\displaystyle A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)}$

L₁多様性

すべての有限に対して定義すると、多様性になります。 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta (A)=\sum _{i}\max _{a,b}\left\{\left|a_{i}-b_{i}\right|\colon a,b\in A\right\}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\delta )}$

系統多様性

Tが分類群Xを含む系統樹であるとする。有限個の に対して、 をA内の分類群を結ぶTの最小部分木の長さとして定義する。すると、は（系統的）多様性となる。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \delta (A)}$ ${\displaystyle (X,\delta )}$

シュタイナーの多様性

を距離空間とする。各有限 に対し、AのX個の連結元を含むシュタイナー木の最小長さを とする。するとは多様体となる。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \delta (A)}$ ${\displaystyle (X,\delta )}$

切り詰められた多様性

を多様体とする。すべての に対してを定義する。すると、 であればは多様体である。 ${\displaystyle (X,\delta )}$ ${\displaystyle A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)}$ ${\displaystyle \delta ^{(k)}(A)=\max \left\{\delta (B)\colon |B|\leq k,B\subseteq A\right\}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle (X,\delta ^{(k)})}$

派閥の多様性

がグラフであり、 が任意の有限Aに対してAの最大クリークとして定義される場合、 は多様性です。 ${\displaystyle (X,E)}$ ${\displaystyle \delta (A)}$ ${\displaystyle (X,\delta )}$

参考文献

1. ブライアント, デイビッド; タッパー, ポール (2012). 「多様体の​​ための超凸性とタイトスパン理論」. Advances in Mathematics . 231 (6): 3172– 3198. arXiv : 1006.1095 . doi : 10.1016/j.aim.2012.08.008 .
2. ブライアント, デイビッド; タッパー, ポール (2014). 「多様性とハイパーグラフの幾何学」.離散数学と理論計算機科学. 16 (2): 1– 20. arXiv : 1312.5408 .
3. Espínola, Rafa; Piatek, Bożena (2014). 「多様性、超凸性、そして不動点」.非線形解析. 95 : 229–245 . arXiv : 1303.7146 . doi :10.1016/j.na.2013.09.005. hdl : 11441/43016 . S2CID  119167622.

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