十二角数

数学において、十二角数は十二角形を表す図形数である。nの十二角数は次の式で与えられる。

D_{n}=5n^{2}-4n

最初のいくつかの十二角数は次のとおりです。

0、1、12、33、64、105、156、217、288、369、460、561、672、793、924、1065、1216、1377、1548、1729 、 … （OEISのシーケンスA051624 ）

プロパティ

nの十二角数は、nの2 乗に ( n - 1) 番目のプロニック数の 4 倍を加えることで計算できます。代数的に言えば、です。 $D_{n}=n^{2}+4(n^{2}-n)$

十二角数は一貫してパリティが交互に発生し、10 を基数とする場合、その単位位の数字は 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 というパターンに従います。

フェルマーの多角数定理によれば、すべての数は最大 12 個の十二角数の和です。

$D_{n}$ 1 mod 10 に一致する最初の n 個の自然数の和です。

$D_{n+1}$ 4n+1 から 6n+1 までのすべての奇数の合計です。

逆数の合計

十二角数の逆数の和の公式は次のように与えられる。 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{5n^{2}-4n}}={\frac {5}{16}}\ln \left(5\right)+{\frac {\sqrt {5}}{8}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+{\frac {\pi }{8}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}.$

参照

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