優勢収束定理

Theorem in measure theory

測度論において、ルベーグの優勢収束定理は、関数列の極限と積分が相互に交換可能な緩やかな十分条件を与える。より技術的に言えば、関数列が積分可能関数によって絶対値が有界であり、ほぼあらゆる点で関数に点収束する場合、その列はその点極限に収束し、特にその極限の積分は積分の極限となる、というものである。その強力さと有用性は、ルベーグ積分がリーマン積分よりも優れている主要な理論的利点の2つである。 ${\displaystyle L_{1}}$

数学的解析や偏微分方程式に頻繁に登場するほか、確率変数の期待値が収束するための十分な条件を与えるため、確率論でも広く使用されています。

声明

ルベーグの優勢収束定理。^[1]を測度空間上の複素数値可測関数の列とする。この列が点ごとに関数に収束するとする。 すなわち、 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

は任意のに対して存在する。さらに、この列は次のような意味で何らかの積分可能な関数によって支配されていると仮定する。 ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

全ての点と添字集合内の全てに対してである。すると、積分可能（ルベーグの意味で）で あり、 ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{n},f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$。

実際、より強い主張がある

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0.}$

注 1.「 は積分可能」という文は、測定可能な関数がルベーグ積分可能であることを意味します。つまり、 であるためです。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\geq 0}$

${\displaystyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .}$

注意 2。数列 と による支配の収束は、ほぼどこでも-のみが成り立つように緩和できます。つまり、-測度の測定可能なセット 上を除いては、ほぼどこでも- が成り立ちます。実際、積分の値を変えずに、関数(したがって点ごとの極限) を 0 に修正できます。(例えば、極限 が存在する場合は常に を として定義することにこだわると、内の測定不可能な部分集合が生じることになり、その部分集合では測定空間が不完全 である場合に収束が妨げられ、測定不可能になる可能性があります。ただし、空集合 内の極限を無視しても問題はありません)。したがって、とは、 -測度 0のセットを除いて定義されていると考えることができます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

注3. の場合、支配的な積分可能関数が存在するという条件は、数列( f _n )の一様積分可能性に緩和することができます。Vitaliの収束定理を参照してください。 ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle g}$

注4.はルベーグ積分可能であるが、一般にはリーマン積分可能ではない。例えば、 の有理数を順序付け、 が最初のn個の有理数で1、それ以外は0を取るようにで定義されているとする。すると、 は上のディリクレ関数となり、リーマン積分可能ではないが、ルベーグ積分可能である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

注5支配収束定理のより強いバージョンは、次のように再定式化できる。測定可能な複素関数の列がほぼすべての点で関数に収束し、ほぼすべての点で積分可能な関数によって絶対値が制限される場合、バナッハ空間において ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle L_{1}(S,\mu )}$

証拠

一般性を失うことなく、f が実数であると仮定することができます。なぜなら、 f を実部と虚部に分割し(複素数の列が収束するのは、その実部と虚部の両方が収束する場合のみであることを思い出してください)、最後に三角不等式を適用できるからです。

ルベーグの優勢収束定理は、ファトゥ・ルベーグの定理の特殊な場合である。以下では、ファトゥの補題を基本的な道具として用いた直接的な証明を示す。

f はgによって支配される可測関数の列 ( f _n ) の各点極限であるため、 f は可測かつgによって支配され、したがって積分可能である。さらに、（これらは後で必要になる）

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

すべてのnに対して、

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0}$

限界はどこにあるのでしょうか。 ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$

2番目の条件は自明に成り立つ（ fの定義そのものから）。ルベーグ積分の線形性と単調性を用いると、

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

逆ファトゥの補題（ここでは、| f − f _n |が積分可能な関数によって上界となるという事実を用いる）により、

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

これは、極限が存在し、そして消滅することを意味する。すなわち、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

最後に、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

私たちはそれを持っています

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

定理は次のようになります。

仮定がμ-ほぼすべての点で成り立つ場合、関数f _n 1 _{S  \  N}がS上のすべての点で仮定を満たす ようなμ-零集合N ∈ Σが存在する。このとき、x ∈ S \ Nに対するf _n ( x ) の点極限として定義され、x ∈  N に対してf ( x ) = 0として定義される関数 f ( x )は測定可能であり、この修正された関数列の点極限となる。これらの積分の値は、このμ-零集合 N上の積分関数に対するこれらの変更の影響を受けないため、定理は依然として成立する。

DCT は、 f _{n が}測度 (有限測度) でfに収束し、支配関数がほぼすべての点で非負である場合でも成立します。

仮定についての議論

数列が何らかの積分可能なgによって支配されているという仮定は無視できない。これは次のように理解できる。区間(0, 1/ n ]内のxに対してf _n ( x ) = nを、それ以外の場合はf _n ( x ) = 0と定義する。数列を支配するgは、点ごとの上限h = sup _n f _nも支配しなければならない。

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

調和級数の発散によって。したがって、ルベーグ積分の単調性は、[0,1]上の列を支配する積分可能な関数が存在しないことを意味する。直接計算により、この列に対して積分と点ごとの極限は可換ではないことが示される。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

なぜなら、数列の各点の極限は零関数であるからです。数列 ( f _n ) は一様積分可能でもなく、したがってヴィタリの収束定理も適用できないことに注意してください。

有界収束定理

優勢収束定理の1つの系は有界収束定理であり、これは、( f _n )が一様に有界な 複素数値測定可能関数の列であり、有界測度空間 ( S , Σ, μ)（つまり、μ( S )が有限である空間）上で関数fに点収束する場合、極限fは積分可能関数であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

注意:測度空間( S、Σ、μ)が完全であるか、またはμ-ほぼすべての点における既存のμ-ほぼすべての点における極限と一致する測定可能な関数としてfが選択されている場合、シーケンスの点ごとの収束と一様有界性は、 μ-ほぼすべての点においてのみ保持されるように緩和できます。

証拠

この数列は一様有界であるため、すべてのx ∈ Sおよびすべてのnに対して| f _n ( x )| ≤ Mを満たす実数Mが存在する。すべてのx ∈ Sに対してg ( x ) = Mと定義する。すると、この数列はgによって支配される。さらに、gは有限測度の集合上の定数関数であるため、積分可能である。したがって、この結果は支配収束定理から導かれる。

仮定がμ-ほぼすべての点で成り立つ場合、関数f _n 1 _{S \ N}がSのすべての点で仮定を満たす ようなμ-ヌル集合N∈Σが存在する。

支配的な収束L^p-スペース（推論）

を測度空間、を実数、を-測度可能な関数の列とします。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

シーケンスが-ほぼどこでも-測定可能な関数に収束し、 によって支配されている( Lp 空間を参照) と仮定します。つまり、すべての自然数に対して、、ほぼどこでも μ が成り立ちます。 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$

すると、 と はすべてに含まれ、 の数列はの意味でに収束します。つまり、 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

証明のアイデア:支配関数 を持つ関数シーケンスに元の定理を適用します。 ${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$ ${\displaystyle (2g)^{p}}$

拡張機能

支配収束定理は、バナッハ空間に値を持つ可測関数にも適用されますが、支配関数は上記のように非負かつ可積分です。ほぼすべての点で収束するという仮定は、測度 における収束のみを要求するように弱めることができます。

優勢収束定理は条件付き期待値にも適用される。^[2]

参照

• 確率変数の収束、平均収束
• 単調収束定理（積分可能な関数による支配を必要とせず、代わりにシーケンスの単調性を仮定する）
• シェッフェの補題
• 均一な積分可能性
• ヴィタリ収束定理（ルベーグの優勢収束定理の一般化）

注記

1. 実際の例については、 Evans, Lawrence C. ; Gariepy, Ronald F (2015). Measure Theory and Fine Properties of Functions . CRC Press. pp. Theorem 1.19を参照。
2. Zitkovic 2013、命題10.5。

参考文献

• バートル, RG (1995). 『積分の原点とルベーグ測度』. ワイリー・インターサイエンス. ISBN 9780471042228。
• ロイデン, HL (1988). 実分析. プレンティス・ホール. ISBN 9780024041517。
• ウィアー、アラン・J. (1973). 「収束定理」.ルベーグ積分と測度. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. pp.  93– 118. ISBN 0-521-08728-7。
• ウィリアムズ, D. (1991).マルチンゲール法による確率論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-40605-6。
• ジトコビッチ、ゴードン（2013年秋）「講義10：条件付き期待値」（PDF） . 2020年12月25日閲覧。

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