二重振り子

物理学と数学の力学系の分野において、二重振り子（カオス振り子とも呼ばれる）は、端に別の振り子が取り付けられた振り子であり、初期条件に対する強い敏感性を持つ豊かな動的挙動を示す複雑な物理系を形成する。^[1]二重振り子の運動は、一対の結合した常微分方程式によって支配され、カオス的である。

分析と解釈

二重振り子にはいくつかのバリエーションが考えられます。2本の振り子の長さと質量は等しい場合も不等な場合もあり、単振り子または複合振り子（複振り子とも呼ばれる）のいずれであってもよく、運動は3次元的であっても1つの垂直面に限定されている場合もあります。以下の解析では、2本の振り子は長さ $ℓ$ 、質量 $m$ の同一の複合振り子であり、運動は2次元に限定されているものとします。

複合振り子では、質量は振り子の長さに沿って分散されています。二重振り子の質量が均等に分散されている場合、各振り子の重心は振り子の中央に位置し、振り子の慣性モーメントは $I = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/12$ その点については $⁠$ $mℓ$ $2 です。$

ニュートン力学を用いて二重振り子の方程式を導出することは可能ですが、拘束力に関するベクトルの分解が必要となるため、扱いが煩雑です。そのため、各振り子の脚と鉛直方向との間の角度を、システムの構成を定義する一般座標として用いる方が便利です。これらの角度は $θ$ $1$ および $θ$ $2$ と表記されます。各振り子の質量中心の位置は、これらの2つの座標で表すことができます。直交座標系の原点を最初の振り子の吊り下げ点とすると、この振り子の質量中心は次のようになります。 ${\begin{aligned}x_{1}&={\tfrac {1}{2}}\ell \sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\tfrac {1}{2}}\ell \cos \theta _{1}\end{aligned}}$

そして、2 番目の振り子の質量の中心はです。これは、ラグランジアンを書くのに十分な情報です。 ${\begin{aligned}x_{2}&=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}$

ラグランジアン

ラグランジアンは次のように与えられる。最初の項は物体の重心の直線運動エネルギー、2番目の項は各棒の重心の周りの回転運動エネルギーである。最後の項は、一様重力場における物体の位置エネルギーである。ドット表記は、当該変数の時間微分を表す。 ${\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

上で定義したとの値を用いると、次の式が得られます。 $x_{1}$ $y_{1}$ ${\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \cos \theta _{1}\right)\\[1ex]{\dot {y}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \sin \theta _{1}\right)\end{aligned}}$ $v_{1}^{2}={\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\ell ^{2}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {1}{4}}\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}.$

同様に、およびについては、 $x_{2}$ $y_{2}$ ${\begin{aligned}{\dot {x}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\\{\dot {y}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\end{aligned}}$

そしてそれゆえ

${\begin{aligned}v_{2}^{2}&={\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right).\end{aligned}}$

上記の座標をラグランジアン定義に代入し、式を整理すると、 ${\begin{aligned}L&={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {1}{24}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\[1ex]&={\tfrac {1}{6}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{2}^{2}+4{\dot {\theta }}_{1}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).\end{aligned}}$

運動方程式は、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて導出することができる。これは次のように与えられる。まず、の運動方程式から始める。ラグランジアンの微分は次のように与えられ、したがって、これらの結果を組み合わせて簡略化すると、最初の運動方程式が得られる。 ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{i}}}=0,\quad i=1,2.$ $\theta _{1}$ ${\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {3}{2}}mg\ell \sin \theta _{1}$ ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}={\tfrac {4}{3}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}).$ ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}={\tfrac {4}{3}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2}).$ ${\tfrac {4}{3}}\ell {\ddot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}\ell {\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {1}{2}}\ell {\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {3}{2}}g\sin \theta _{1}=0.$

同様に、ラグランジアンのおよびに関する微分は、およびで与えられる。したがって、これらの結果をオイラー・ラグランジュ方程式に代入して簡略化すると、第2の運動方程式が得られる。 $\theta _{2}$ ${\dot {\theta }}_{2}$ ${\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}mg\ell \sin \theta _{2}$ ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}={\tfrac {1}{3}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}).$ ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}={\tfrac {1}{3}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2}).$ ${\tfrac {1}{3}}\ell {\ddot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}\ell {\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}\ell {\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {1}{2}}g\sin \theta _{2}=0.$

およびの時間の関数としての閉形式の解は知られていないため、このシステムはルンゲ・クッタ法または類似の技術を使用して数値的にのみ解くことができます。 $\theta _{1}$ $\theta _{2}$

二重振り子の角度の時間発展を示すパラメトリックプロット。グラフがブラウン運動に似ていることに注目してください。

混沌とした動き

ほぼ同じ初期条件を持つ 3 つの二重振り子は時間の経過とともに発散し、システムの混沌とした性質を示します。

二重振り子はカオス的な運動をしており、初期条件に敏感に依存することが明らかです。右の図は、振り子が静止状態から放されたときの初期位置の関数として、振り子が反転するまでの経過時間を示しています。ここで、 $θ 1$ $の初期値はx$ 方向に沿って -3.14 から 3.14 の範囲です。θ $2 の$ $初期値はy$ 方向に沿って -3.14 から 3.14 の範囲です。各ピクセルの色は、どちらの振り子が反転するかを示しています $。$

${\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$ （黒）
$10{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$ （赤）
$100{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$ （緑）
$1000{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$ （青）または
$10000{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$ （紫）。

内部で反転につながらない初期条件は白でプロットされます。 $10000{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$

中央の白い領域の境界は、次の曲線でエネルギー保存則によって部分的に定義されます。 $3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.$

この曲線で定義される領域内では、どちらの振り子もエネルギー的に反転することは不可能です。この領域外では、振り子は反転する可能性がありますが、いつ反転するかを判断するのは複雑な問題です。同様の挙動は、質量が分散した2本の棒ではなく、2つの質点からなる二重振り子でも観察されます。 ^[2] $3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,$

固有の励起周波数が欠如しているため、建物の耐震設計では二重振り子システムが使用されるようになりました。このシステムでは、建物自体が主要な倒立振り子であり、二次質量が接続されて二重振り子が完成します。^{[引用が必要]}

参照

二重倒立振り子
振り子（力学）
トレビュシェット
ボーラス
マスダンパー
20世紀半ばの物理学の教科書では、「二重振り子」という用語が、V字型の紐に吊り下げられた紐に吊り下げられた1つの錘を指して使われています。リサージュ曲線を描くこのタイプの振り子は、現在ではブラックバーン振り子と呼ばれています。

参考文献

^ Levien, RB; Tan, SM (1993). 「二重振り子：カオスの実験」. American Journal of Physics . 61 (11): 1038. Bibcode :1993AmJPh..61.1038L. doi :10.1119/1.17335.
^ Alex Small,サンプル最終課題：二重振り子におけるカオスの特徴の一つ（2013年）。学生向けの例として作成されたレポート。運動方程式の導出、2つの質点を持つ二重振り子と2本の棒を持つ二重振り子の比較が含まれています。

さらに読む

メイロヴィッチ、レナード (1986). 『振動解析の要素』（第2版）. マグロウヒル社. ISBN 0-07-041342-8。
Eric W. Weisstein、「二重振り子」（2005 年）、ScienceWorld （関連する複雑な方程式の詳細が含まれています）および Rob Morris 著「二重振り子」、Wolfram Demonstrations Project、2007 年（これらの方程式のアニメーション）。
ピーター・リンチ、『二重振り子』（2001年）。（Javaアプレットシミュレーション）
ノースウェスタン大学、二重振り子、 Wayback Machineに 2007-06-03 アーカイブ、(Java アプレットシミュレーション)
UBC 理論高エネルギー天体物理学グループ、二重振り子(2005)。

外部リンク

マイク・ウィートランド（シドニー大学）による二重振り子と物理的な二重振り子（2枚の正方形板）のアニメーションと説明
インタラクティブなオープンソース物理学JavaScriptシミュレーション、詳細な方程式と二重振り子
二重振り子のインタラクティブなJavaScriptシミュレーション
オープンソースの JavaScript コードを使用した www.myphysicslab.com からの二重振り子物理シミュレーション
ロット振り子のシミュレーション、方程式、説明
YouTubeで同じ初期条件での二重振り子の比較動画
二重振り子シミュレーター - Qt ツールキットを使用してC++で書かれたオープンソースのシミュレーター。
オンライン Java シミュレーターは、架空の展覧会のWayback Machineで 2022 年 8 月 16 日にアーカイブされています。

[1] Levien, RB; Tan, SM (1993). 「二重振り子：カオスの実験」. American Journal of Physics . 61 (11): 1038. Bibcode :1993AmJPh..61.1038L. doi :10.1119/1.17335.

[2] Alex Small,サンプル最終課題：二重振り子におけるカオスの特徴の一つ（2013年）。学生向けの例として作成されたレポート。運動方程式の導出、2つの質点を持つ二重振り子と2本の棒を持つ二重振り子の比較が含まれています。