Linear algebra concept
線型代数学 において 、 ベクトル空間が、 添え字集合 によって添え字付けされた ベクトル の 基底を 持つ ベクトル空間（ の 濃度 は の 次元 ）とすると、 の 双対集合 とは、同じ添え字集合を持つ 双対空間 内のベクトルの 集合で、 と が 双直交系 を形成するものを指す 。双対集合は常に 線型独立であるが、 を張る 必要はない 。 を張る場合 、 は 基底 の 双対基底 または 逆基底 と呼ばれる 。 V {\displaystyle V} B {\displaystyle B} I {\displaystyle I} I {\displaystyle I} V {\displaystyle V} B {\displaystyle B} B ∗ {\displaystyle B^{*}} V ∗ {\displaystyle V^{*}} I {\displaystyle I} B {\displaystyle B} B ∗ {\displaystyle B^{*}} V ∗ {\displaystyle V^{*}} V ∗ {\displaystyle V^{*}} B ∗ {\displaystyle B^{*}} B {\displaystyle B}
添え字付きベクトル集合を と と表記すると 、 双直交性を持つということは、 の要素のペア の内積 が、添え字が等しい場合は1、そうでない場合は0になることを意味します。記号的に言えば、 の双対ベクトルを 元の空間 のベクトルに対して評価すると 、
次のようになります。 B = { v i } i ∈ I {\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}} B ∗ = { v i } i ∈ I {\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}} V ∗ {\displaystyle V^{*}} V {\displaystyle V}
v i ⋅ v j = δ j i = { 1 if i = j 0 if i ≠ j , {\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}} クロネッカーのデルタ 記号はどこに ありますか 。 δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}}
導入 ベクトルの演算を行うには、その成分を計算する簡単な方法が必要です。直交座標系では、必要な演算は ベクトルと基底ベクトルの 内積です。 例えば、
x = x 1 i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 {\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}} は直交座標系における基底である 。の成分は 次のように求められる。 { i 1 , i 2 , i 3 } {\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}} x {\displaystyle \mathbf {x} }
x k = x ⋅ i k . {\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.} しかし、非直交座標系では、 すべての に対してが成り立つとは限らない。しかし、 双対空間において、 となる ベクトルは常に存在する。 e i ⋅ e j = 0 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0} i ≠ j {\displaystyle i\neq j} e i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
x i = e i ( x ) ( i = 1 , 2 , 3 ) . {\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).} s が s の双対基底である 場合、等式は成立します 。指数の位置の違いに注意してください 。 e i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} i {\displaystyle i}
存在と唯一性 双対集合は常に存在し、 Vから V ∗ への 射影、すなわち v i をv i へ 写す写像を与える。これは特に、双対空間の次元が V の次元以上であることを意味する 。
しかし、無限次元 Vの双対集合は、その双対空間 V ∗ を張らない 。例えば、 V から 基礎スカラー Fへの V ∗ における写像 w は、すべての iに対して w ( v i ) = 1 と なる 。この写像はすべての v i に対して明らかに非ゼロである。もし w が 、例えば I の有限部分集合 K に対する 双対基底ベクトル v i の有限 線形結合 であるとすると、 K に含まれない任意の j に対して となり、 w の定義に矛盾する 。したがって、この w は 双対集合のスパンには含まれない。 w = ∑ i ∈ K α i v i {\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}} w ( v j ) = ( ∑ i ∈ K α i v i ) ( v j ) = 0 {\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}
無限次元空間の双対は元の空間よりも次元が大きい（つまり無限基数が大きい）ため、同じ添字集合を持つ基底を持つことはできない。しかし、ベクトルの双対集合が存在し、これは元の空間と同型な双対の部分空間を定義する。さらに、 位相ベクトル空間 の場合、 連続双対空間 を定義でき、その場合双対基底が存在する可能性がある。
有限次元ベクトル空間 有限次元ベクトル空間の場合、双対集合は常に双対基底であり、一意である。これらの基底は および で表される 。 ベクトル上の共ベクトルの評価をペアリングと表記すると、双直交性条件は次のようになる。 B = { e 1 , … , e n } {\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}} B ∗ = { e 1 , … , e n } {\displaystyle B^{*}=\{e^{1},\dots ,e^{n}\}}
⟨ e i , e j ⟩ = δ j i . {\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.} 双対基底と基底との関連は、 V の基底空間から V ∗ の基底空間への写像を与え 、これも同型である。 実数などの 位相体の場合、双対空間は 位相空間であり、これはこれらの空間の基底の シュティーフェル多様体 間の 同相を 与える 。
双対空間のカテゴリカルかつ代数的な構成 ベクトル空間（加群 ）の双対空間を導入する別の方法 は、圏論的な意味で導入することです。これを行うには、 を 環 上に定義された加群 （つまり、 は圏 の対象）とします。次に 、 の双対空間 を と定義します。これは 、から へのすべての -線型加群準同型 によって形成される加群です 。ここで、 の双対空間の双対を の二重双対と呼び 、 と書き 、 と定義できることに留意してください 。 A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} A {\displaystyle A} R - M o d {\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} } A {\displaystyle A} A ∗ {\displaystyle A^{\ast }} Hom R ( A , R ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)} R {\displaystyle R} A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} A {\displaystyle A} A ∗ ∗ {\displaystyle A^{\ast \ast }} Hom R ( A ∗ , R ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}
双対空間の基底を正式に構築するために、 が 有限次元の自由（左） - 加群であり、 が単位元を持つ環である場合に限って考察する。そして、 集合が の基底であると仮定する 。ここで、 かつ ならば 、 の基底上のクロネッカーのデルタ関数 を によって定義する 。すると、 集合は 各 に対して線型独立な集合を記述する 。 は有限次元であるため、 基底 は有限濃度である。すると、 集合は の基底であり 、 は自由（右） -加群である。 F {\displaystyle F} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} X {\displaystyle X} F {\displaystyle F} δ x y {\displaystyle \delta _{xy}} X {\displaystyle X} δ x y = 1 {\displaystyle \delta _{xy}=1} x = y {\displaystyle x=y} δ x y = 0 {\displaystyle \delta _{xy}=0} x ≠ y {\displaystyle x\neq y} S = { f x : F → R | f x ( y ) = δ x y } {\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace } f x ∈ Hom R ( F , R ) {\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)} F {\displaystyle F} X {\displaystyle X} S {\displaystyle S} F ∗ {\displaystyle F^{\ast }} F ∗ {\displaystyle F^{\ast }} R {\displaystyle R}
例 例えば、 （ 直交平面 ）
の 標準的な基底 ベクトルは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
{ e 1 , e 2 } = { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } {\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}} そしてその双対空間の標準基底ベクトル は ( R 2 ) ∗ {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}
{ e 1 , e 2 } = { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } . {\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}} 3次元 ユークリッド空間 では、与えられた基底に対して 、双直交（双対）基底は 以下の式で求められます。 { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}} { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}
e 1 = ( e 2 × e 3 V ) T , e 2 = ( e 3 × e 1 V ) T , e 3 = ( e 1 × e 2 V ) T . {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.} ここで Tは 転置 を表し 、
V = ( e 1 ; e 2 ; e 3 ) = e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) = e 2 ⋅ ( e 3 × e 1 ) = e 3 ⋅ ( e 1 × e 2 ) {\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})} は基底ベクトルによって形成される 平行六面体 の体積であり 、 e 1 , e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}} e 3 . {\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}
一般に有限次元ベクトル空間の基底の双対基底は次のように簡単に計算できる。基底 と対応する双対基底が与えられれば 、行列を構築できる。 f 1 , … , f n {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}} f 1 , … , f n {\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}
F = [ f 1 ⋯ f n ] G = [ f 1 ⋯ f n ] {\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}} そして、双対基底の定義的性質は、
G T F = I {\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I} したがって、双対基底の行列は 次のように計算できる。 G {\displaystyle G}
G = ( F − 1 ) T {\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}
参照
注記
参考文献 Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics . World Scientific. ISBN 978-981431312-4 。 「二重の根拠を見つける」。Stack Exchange 。2012年5月27日。 
