双対四元数の2次元幾何学への応用

Four-dimensional algebra over the real numbers

平面四元数乗算

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle -\varepsilon j}$
${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle -\varepsilon k}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

平面四元数は、実数上の4次元代数を構成する。^{[1] [2]}主な応用は、2次元空間における剛体の運動の表現である。本稿では、双対四元数代数の2次元幾何学への応用について論じる。現時点では、本稿は双対四元数の4次元部分代数（後に平面四元数と呼ばれる）に焦点を当てている。

双対数や複素数の乗算とは異なり、平面四元数の乗算は非可換です。

意味

本稿では、平面四元数集合を と表記する。の一般元はの形を持つ。ここで、、 、は実数であり、は平方するとゼロになる双対数であり、 、、 は四元数の標準的な基底元である。 ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

乗算は四元数の場合と同様に行われますが、指数 の冪零性、すなわち という規則が追加されます。これは、状況によっては無限小数と同等になります。したがって、平面四元数の乗法逆数は次のように与えられます。 ${\textstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 2}$ ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\textstyle \varepsilon }$ $${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$$

この集合は、スカラーが実数である平面四元数のベクトル空間の基底を形成します。 ${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$

平面四元数の大きさは次のように定義される。 ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

コンピュータグラフィックスのアプリケーションでは、数値は通常 4組として表されます。 ${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle (A,B,C,D)}$

行列表現

平面四元数は、2x2 複素行列として次のように表現されます。 ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$$

これは 2×2 の双対数行列として表すこともできます。上記の 2 つの行列表現は、それぞれメビウス変換とラゲール変換に関連しています。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.}$$

用語

この記事で論じる代数は、双対複素数と呼ばれることがあります。この名称は、代数が次のいずれかの形を取ることを示唆するため、誤解を招く可能性があります。

1. 複素数のエントリを持つ双対数
2. 複素数だが、二重数のエントリがある

いずれかの記述を満たす代数が存在する。そして、両方の記述は同値である。（これは、代数のテンソル積が同型を除いて可換であるという事実による。）この代数は、環の商を用いてと表記することができる。結果として得られる代数は可換積を持つが、これ以上議論しない。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

剛体運動の表現

を単位長さの平面四元数とすると、 $${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$ $${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

ユークリッド平面は集合 で表すことができます。 ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$

上の要素は、直交座標を持つユークリッド平面上の点を表します。 ${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle q}$を によってに作用させることができ、は 上の他の点に写像されます。 ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle qvq^{-1},}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Pi }$

には次の（複数の）極形式があります。 ${\displaystyle q}$

1. のとき、要素は と表記され、点 の周りの角度 の回転を表します。 ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,y)}$
2. のとき、要素はベクトルによる並進を表すように書くことができる。 ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i\left({\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon k\right)\\={}&1-{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon k,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}}.}$

幾何学的構成

平面四元数の原理的な構成は、まずそれが双対四元数のサブセットであることに気づくことによって見つけることができます。

双対四元数には 2 つの幾何学的解釈があり、どちらも平面四元数の平面上での作用を導くために使用できます。

• 3次元空間における剛体運動を表現する方法として、平面四元数はこれらの剛体運動のサブセットを表現するものとみなすことができます。これには、双対四元数がユークリッド空間にどのように作用するかについてのある程度の知識が必要です。このアプローチについては他の場所で十分に説明されているため、ここでは説明しません。
• 双対四元数は、四元数の「無限小の厚み」として理解することができます。^{[3] [4] [5]}四元数は3次元空間の回転を表すのに使用できるのに対し、双対数は「無限小」を表すのに使用できることを思い出してください。これらの特徴を組み合わせることで、回転を無限小に変化させることができます。 を単位球面上にある無限小平面とします。これは に等しいです。 は平坦であるにもかかわらず、球面の部分集合であることに注意してください（これは双対数無限小の振る舞いによるものです）。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Pi }$
  双対四元数の部分集合として、平面四元数は平面をそれ自身に回転させることに注目してください。これが に及ぼす影響は、における の値に依存します。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle v\in \Pi }$ ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$
  1. のとき、回転軸は上のある点を指すので、 上の点はの周りを回転します。 ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle p}$
  2. のとき、回転軸は平面から遠ざかり、回転角は無限小となります。この場合、 上の点は平行移動します。 ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle \Pi }$

参照

• エドゥアルド研究
• クォータニオン
• 二重番号
• 双対四元数
• クリフォード代数
• ユークリッド平面等長変換
• アフィン変換
• 射影平面
• 同次座標
• SLERP
• 共形幾何代数

参考文献

1. 松田 元樹; 梶 静雄; 落合 博之 (2014)、安生 健 (編)、「反可換双対複素数と2次元剛体変換」、表現画像合成における数学的進歩I：シンポジウムMEIS2013の拡張および選択された結果、Mathematics for Industry、Springer Japan、pp.  131– 138、arXiv : 1601.01754、doi :10.1007/978-4-431-55007-5_17、ISBN 9784431550075、S2CID  2173557
2. Gunn C. (2011) ユークリッド幾何学の同次モデルについて. Dorst L., Lasenby J. (eds) Guide to Geometric Algebra in Practice. Springer, London
3. 「ユークリッド群SE(2)の直線」. What's new . 2011年3月6日. 2019年5月28日閲覧。
4. 研究、E. (1891 年 12 月)。 「フォン・デン・ベーヴェグンゲンとウムレグンゲン」。数学アンナレン。39 (4): 441–565 .土井:10.1007/bf01199824。ISSN  0025-5831。S2CID  115457030。
5. ザウアー、R. (1939)。 「Wilhelm Blaschke 博士、ハンブルク大学教授、Ebene Kinematik、eine Vorlesung (Hamburger Math. Einzelschriften, 25. Heft, 1938). 56 S. m. 19 Abb. Leipzig-Berlin 1938, Verlag BG Teubner. Preis br. 4 M.」。ZAMM - 数学と機械に関する知識。19 (2): 127。書誌コード:1939ZaMM...19R.127S。土井：10.1002/zamm.19390190222。ISSN  0044-2267。

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