デュアルバンドル

数学において、双対束はベクトル空間の双対性の演算を拡張したベクトル束に対する演算である。

意味

ベクトル束の双対束とは、その繊維がの繊維に対する双対空間であるベクトル束のことです。 $\pi :E\to X$ $\pi ^{*}:E^{*}\to X$ $E$

同様に、ホムバンドル、すなわち、から自明直線バンドルへの射のベクトルバンドルとして定義することができる。 $E^{*}$ $\mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),$ $E$ $\mathbb {R} \times X\to X.$

構成と例

遷移関数を持つの局所自明化が与えられたとき、の局所自明化は、遷移関数を持つの同じ開被覆（転置の逆）によって与えられる。そして、ファイバー束構成定理を用いて双対束が構成される。特別な場合として、 $E$ $t_{ij},$ $E^{*}$ $X$ $t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}$ $E^{*}$

付随バンドルの双対バンドルは、構造群の双対表現に関連付けられたバンドルです。
微分可能多様体の接線束の双対束はその余接束である。

プロパティ

基底空間がパラコンパクトかつハウスドルフであるならば、実有限階数ベクトル束とその双対はベクトル束として同型である。しかし、ベクトル空間の場合と同様に、内積が備わらない限り、同型性は自然に選択されない。 $X$ $E$ $E^{*}$ $E$

これは複素ベクトル束の場合は当てはまりません。例えば、リーマン球面上の同語直線束はその双対と同型ではありません。複素ベクトル束の双対は確かに共役束と同型ですが、エルミート積を備えていない限り、同型性の選択は非標準的です。 $E^{*}$ $E$ ${\overline {E}},$ $E$

2つのベクトル束のHom束はテンソル積束と標準的に同型である $\mathrm {Hom} (E_{1},E_{2})$ $E_{1}^{*}\otimes E_{2}.$

同じ空間上のベクトル束の射が与えられた場合、それらの双対束の間にも（逆順で）射があり、各線型写像の転置としてファイバーごとに定義されます。したがって、双対束演算は、ベクトル束とその射のカテゴリからそれ自体への反変関数を定義します。 $f:E_{1}\to E_{2}$ $f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}$ $f_{x}:(E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.$

参考文献

今野宏 (2013).微分幾何学. 〈現代数学への入門〉。東京: 東京大学出版会. ISBN 9784130629713。