デュアルスペース

In mathematics, vector space of linear forms

数学では、任意のベクトル空間 には、上のすべての線形形式と、定数による点ごとの加算とスカラー乗算のベクトル空間構造で構成される対応する双対ベクトル空間（または単に双対空間）があります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$

上記で定義された双対空間は、あらゆるベクトル空間に対して定義され、曖昧さを避けるために代数的双対空間とも呼ばれる。位相ベクトル空間に対して定義された場合、連続線型汎関数に対応する双対空間の部分空間が存在し、これを連続双対空間と呼ぶ。

双対ベクトル空間は、有限次元ベクトル空間を用いたテンソル解析など、ベクトル空間を用いる数学の多くの分野に応用されています。関数のベクトル空間（通常は無限次元）に適用された場合、双対空間は測度、超関数、ヒルベルト空間を記述するために用いられます。したがって、双対空間は関数解析において重要な概念です。

双対性を表す初期の用語には、極性空間（polarer Raum） [Hahn 1927]、共役空間（ espace conjugué）、随伴空間（adjoint space） [Alaoglu 1940]、そして転移空間（transponierter Raum） [Schauder 1930]および[Banach 1932]などがある。双対性という用語は、 Bourbaki 1938に由来する^[1]。

代数的双対空間

体上の任意のベクトル空間 に対して、（代数的）双対空間^[2]（あるいは^[3]または^{[4] [5]}と表記される）^{[注 1]は、すべての}線型写像（線型汎関数）の成す集合として定義される。線型写像はベクトル空間準同型なので、双対空間は と表記されることもある。^[3]双対空間自体は、以下の条件を満たす加法とスカラー乗算を備えたとき、上のベクトル空間となる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to F}$ ${\displaystyle \hom(V,F)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varphi +\psi )(x)&=\varphi (x)+\psi (x)\\(a\varphi )(x)&=a\left(\varphi (x)\right)\end{aligned}}}$

すべての、、 について。 ${\displaystyle \varphi ,\psi \in V^{*}}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$

代数双対空間の要素は、共ベクトル、1 形式、または線形形式と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle V^{*}}$

双対空間における関数と の要素とのペアリングは、括弧[ ^6]またはで表されることがあります。^[7]このペアリングは、自然なペアリングと呼ばれる非退化双線型写像^{[nb 2]}を定義します。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi (x)=[x,\varphi ]}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\langle x,\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V^{*}\to F}$

有限次元の場合

が有限次元の場合、 は と同じ次元を持つ。の基底が与えられれば、 の特定の基底を構築することができ、これは双対基底と呼ばれる。この双対基底は上の線型汎関数の集合であり、関係式によって定義される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}$

係数の任意の選択に対して。特に、これらの係数のそれぞれを1に等しくし、他の係数を0にすると、方程式の連立方程式が得られる。 ${\displaystyle c^{i}\in F}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}}$

ここではクロネッカーのデルタ記号です。この性質は双直交性と呼ばれます。 ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

証拠

V の基底を考えます。を次のように定義します。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}$。 これらは、次の理由の根拠となります。 ${\displaystyle V^{*}}$ は線形関数で、やなどをスカラーおよびに写像します。また、および も写像します。したがって、の場合、 が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i},i=1,2,\dots ,n,}$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle x=\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle y=\beta _{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +\beta _{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(y)=\beta _{i}}$ ${\displaystyle x+\lambda y=(\alpha _{1}+\lambda \beta _{1})\mathbf {e} _{1}+\dots +(\alpha _{n}+\lambda \beta _{n})\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(x+\lambda y)=\alpha _{i}+\lambda \beta _{i}=\mathbf {e} ^{i}(x)+\lambda \mathbf {e} ^{i}(y)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\in V^{*}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ と仮定する。この関数を の基底ベクトルに順次適用すると、 となる（に適用された関数は となる）。したがって、は に対して線形独立である。 ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {e} ^{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {e} ^{n}=0\in V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dots =\lambda _{n}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ 最後に、 を考えてみましょう。 ${\displaystyle g\in V^{*}}$ ${\displaystyle g(x)=g(\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {e} _{n})=\alpha _{1}g(\mathbf {e} _{1})+\dots +\alpha _{n}g(\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} ^{1}(x)g(\mathbf {e} _{1})+\dots +\mathbf {e} ^{n}(x)g(\mathbf {e} _{n})}$ となり、を生成します。したがって、 は の基底となります。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$

例えば、が の場合、その基底を とします。基底ベクトルは互いに直交しません。すると、と は、、、 、 となるような一形式（ベクトルをスカラーに写す関数）となります。（注：ここでの上付き文字は指数ではなく添え字です。）この連立方程式は、行列表記を用いて次のように表すことができます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}=(1/2,1/2),\mathbf {e} _{2}=(0,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{1})=1}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{2})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{1})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{2})=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{11}&e^{12}\\e^{21}&e^{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{11}&e_{21}\\e_{12}&e_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

最初の行列の未知の値を解くと、双対基底は となることが分かります。と は汎関数なので、 およびと書き直すことができます。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1}=(2,0),\mathbf {e} ^{2}=(-1,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(x,y)=2x}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(x,y)=-x+y}$

一般に、が のとき、が列を基底ベクトルとする行列であり、 が列を双対基底ベクトルとする行列であるとき、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E=[\mathbf {e} _{1}|\cdots |\mathbf {e} _{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {E}}=[\mathbf {e} ^{1}|\cdots |\mathbf {e} ^{n}]}$

${\displaystyle {\hat {E}}^{\textrm {T}}\cdot E=I_{n},}$

ここで はの単位行列である。これら2つの基底関数の双直交性により、任意の点は次のように表される。 ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} ^{i}\rangle \mathbf {e} _{i}=\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} _{i}\rangle \mathbf {e} ^{i},}$

基底ベクトルが互いに直交しない場合でも、厳密に言えば、上記の記述は、後述の§ 双線型積と双対空間で説明するように、内積とそれに対応する双対性ペアリングが導入された場合にのみ意味を持ちます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

特に、は実数列の空間として解釈でき、その双対空間は通常、実数行の空間として表されます。このような行は、通常の行列乗算によって に対して線型関数として作用します。これは、関数がすべての -ベクトルを実数 に写像するためです。次に、この関数を行列、 を行列、 を行列（当然のことながら実数）と見なすと、次元上の理由から、は行列である必要があります。つまり、は行ベクトルである必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle Mx=y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle M}$

が平面上の幾何学的ベクトル空間からなる場合、の元の準位曲線はにおける平行線の族を形成します。これは、 の値域が1次元であり、その値域内の各点が任意の非零元の倍数となるためです。したがって、 の元は、平面を覆う特定の平行線の族として直感的に考えることができます。与えられたベクトル上の関数の値を計算するには、ベクトルがどの直線上にあるかを特定すれば十分です。非公式には、これはベクトルが何本の直線と交差するかを「数える」ことを意味します。より一般的には、 が任意の 次元のベクトル空間である場合、における線型関数の準位集合は における平行超平面であり、線型関数のベクトルへの作用はこれらの超平面を用いて視覚化できます。^[8] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

無限次元の場合

が有限次元ではなく、無限集合 でインデックス付けされた基底^{[nb 3]}を持つ場合、有限次元の場合と同じ構成により、双対空間の線形独立な元( ) が生成されますが、基底は形成されません。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$

例えば、有限個の非ゼロ要素のみを含む実数列を要素とする空間 を考えます。この空間は、自然数 でインデックス付けされた基底を持ちます。 の場合、は、 - 番目の位置（1）を除いてすべてゼロからなる列です。の双対空間は（と同型）であり、すべての実数列の空間です。各実数列は、の要素が数 に送られる関数を定義します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n},}$

これは有限和です。なぜなら、非零の数は有限個しかないからです。の次元は可算無限ですが、は可算な基底を持ちません。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

この観察は、任意の体上の任意の^{[nb 3]}無限次元ベクトル空間に一般化される。基底の選択は、有限個の に対してのみ が非ゼロとなるような関数の空間と同一視され、そのような関数はベクトルと同一視される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle f:A\to F}$ ${\displaystyle f_{\alpha }=f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}$

（の仮定により和は有限であり、基底の定義により任意の がこのように一意に表される）。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v\in V}$

の双対空間は、 からまでのすべての関数の空間と同一視できる。上の線型関数はを基準として取る値によって一意に決定され、を持つ任意の関数は上の線型関数を によって定義する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }=T(\mathbf {e} _{\alpha })}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta :A\to F}$ ${\displaystyle \theta (\alpha )=\theta _{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle T\left(\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\theta _{\alpha }.}$

この場合も、がゼロでないのは有限個の に対してのみなので、合計は有限です。 ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

集合は（本質的に定義により）（それ自身の1次元ベクトル空間として見たときの）の無限個のコピーの直和で、 で添え字付けされたものと同一視される。つまり、線形同型が存在する。 ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle V\cong (F^{A})_{0}\cong \bigoplus _{\alpha \in A}F.}$

一方、は（これも定義により）、を添え字とするの無限個のコピーの直積であり、したがって、 ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle V^{*}\cong \left(\bigoplus _{\alpha \in A}F\right)^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^{A}}$

は、（モジュールの）直和と直積を 関連付ける一般的な結果の特殊なケースです。

ベクトル空間が有限次元でない場合、その（代数的）双対空間は常に元のベクトル空間よりも大きな次元（基数として）を持つ。これは、後述する連続双対空間の場合とは対照的である。連続双対空間は、元のベクトル空間が無限次元であっても、元のベクトル空間と同型となる場合がある。

この次元間の不等式の証明は、次のようになります。

が無限次元ベクトル空間である場合、基数の算術的性質から次のことが分かる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {dim} (V)=|A|<|F|^{|A|}=|V^{\ast }|=\mathrm {max} (|\mathrm {dim} (V^{\ast })|,|F|),}$

ここで、基数は絶対値として表される。それを証明するには、カントールの対角線論証に似た議論で証明できることを証明すれば十分である。^{[9]双対の正確な次元は}エルデシュ・カプランスキーの定理によって与えられる。 ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)<\mathrm {dim} (V^{*}),}$ ${\displaystyle |F|\leq |\mathrm {dim} (V^{\ast })|,}$

双線型積と双対空間

Vが有限次元ならば、 VはV ^∗に同型である。しかし、一般にこれら二つの空間の間には自然な同型性はない。^[10]上の任意の 双線型形式は、 その双対空間への写像を次のように 与える。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$

ここで右辺は、各を とするV上の汎関数として定義される。言い換えれば、双線型形式は線形写像を決定する。 ${\displaystyle w\in V}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle }$

${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$

定義

${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$

双線型形式が非退化であれば、これはV ^∗の部分空間への同型となる。V が有限次元であれば、これはV ^{∗全体への同型となる。逆に、} VからV ^∗の部分空間（ Vが有限次元であればV ^∗全体）への任意の同型は、 V上の唯一の非退化双線型形式を次のように 定義する。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$

^{したがって、}Vの(それぞれ全体の) 部分空間への同型性と V 上の非退化双線型形式との間には 1 対 1 の対応があります。

ベクトル空間V が複素体上にある場合、双線型形式ではなく二分線型形式を考える方が自然な場合がある。その場合、与えられた二分線型形式⟨·,·⟩は、 Vと双対空間の複素共役との同型を決定する。

${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$

双対空間の共役は、すべての加法複素数値関数f  : V → Cの集合と同一視することができ、 ${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$

${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$

ダブルデュアルへの注入

から二重双対 への自然な 準同型 が存在し、これはすべての に対してによって定義されます。言い換えると、が によって定義される評価写像である場合、 は写像 として定義されます。この写像は常に に単射であり、^{[注 3]}が有限次元である場合は常に同型です。^[11]確かに、有限次元ベクトル空間とその二重双対との同型は、自然同型の典型的な例です。無限次元ヒルベルト空間は、その代数的二重双対とは同型ではありませんが、その連続二重双対とは同型です。 ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}=\hom(V^{*},F)}$ ${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$ ${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$ ${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$ ${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

線形写像の転置

f  : V → Wが線型写像であるとき、転置写像（または双対写像）f ^∗  : W ^∗ → V ^∗は次のように定義される。

${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$

任意の に対して。 における結果として得られる汎関数はに沿ったのプルバックと呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$

すべてのおよびに対して次の恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$

ここで、左側の括弧[·,·]はVとその双対空間との自然な対であり、右側の括弧[·,·]はWとその双対空間との自然な対である。この恒等式は転置^{[12]を特徴づけるものであり、形式的には}随伴の定義と類似している。

割り当てf ↦ f ^{∗ は、} VからWへの線型作用素の空間とW ^∗からV ^∗への線型作用素の空間との間の単射線型写像を生成する。この準同型は、Wが有限次元である場合に限り同型である。 V = Wの場合、線型写像の空間は実際には写像の合成による代数であり、割り当ては代数の反準同型、つまり( fg ) ^∗ = g ^∗ f ^∗となる。圏論の言語では、ベクトル空間の双対と線型写像の転置を取ることは、したがって、F上のベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手である。二重双対への自然な注入を使用して、 ( f ^∗ ) ^{∗ を}fと同一視することができる。

線型写像fがVとWの2つの基底に関する行列 Aで表される場合、f ^{∗ は}W ^∗とV ^∗の双対基底に関する転置行列A ^Tで表されるため、この名前が付けられます。あるいは、fが列ベクトルの左側に作用するAで表されるように、 f ^∗は行ベクトルの右側に作用する同じ行列で表される。これらの観点は、R ⁿ上の標準内積によって関連しており、これは列ベクトルの空間と行ベクトルの双対空間を同一視します。

商空間と消滅空間

を のサブセットとします。におけるの消滅関数（ここでは と表記）は、すべての に対してとなる線型関数の集合です。つまり、への制約が消えるすべての線型関数から構成されます。有限次元ベクトル空間内では、消滅関数は直交補集合と双対（同型）です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle [f,s]=0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}=0}$

部分集合の消滅子はそれ自体がベクトル空間である。零ベクトルの消滅子は双対空間全体である：、そして空間全体の消滅子は零共ベクトルである：。さらに、消滅子を の部分集合に割り当てると包含関係が逆転するため、 ならば、 ${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V}$

${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$

とがの2つの部分集合である場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}$

が によってインデックスされたの部分集合の族であり、何らかのインデックス集合に属している場合、 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$

特に、 と がの部分空間である場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}$

および^[注3]

${\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}$

が有限次元でベクトル部分空間である場合、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W^{00}=W}$

二重双対同型の下で第二双対空間におけるその像と同一視した後、 となる。特に、消滅子を形成することは有限次元ベクトル空間の部分集合格子上のガロア接続である。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\approx V^{**}}$

が の部分空間であるならば、商空間はそれ自体ベクトル空間であり、したがって双対となる。第一同型定理によれば、函数が を因数分解できるのは、が の核に含まれる場合のみである。したがって、同型が存在する 。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$

特別な結果として、 が2 つの部分空間と の直和である場合、 はとの直和になります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle B^{0}}$

次元解析

双対空間は「負」次元空間に類似しています。最も単純な表現として、ベクトルはコベクトルと自然なペアリングによって スカラー値を得ることができるため、コベクトルは分数を約分するのと同様に、ベクトルの次元を「キャンセル」することができます。したがって、直和は⁠ ⁠次元空間ですが（ ⁠ ⁠が⁠ ⁠次元の場合）、⁠ ⁠ は⁠ ⁠ の次元を⁠ ⁠の次元に対してキャンセルできるという意味で⁠ ⁠次元空間として振る舞います。これはテンソル収縮によって形式化されます。 ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle :=\varphi (x)\in F}$ ${\displaystyle V\oplus V^{*}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle (-n)}$ ${\displaystyle V}$

これは物理学において次元解析によって生じ、そこでは双対空間は逆単位を持ちます。^[13]自然なペアリングではこれらの単位は打ち消され、結果として得られるスカラー値は予想どおり無次元 になります。たとえば、（連続）フーリエ解析、またはより広義には時間周波数解析: ^{[nb 4]}単位時間が ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$である 1 次元ベクトル空間が与えられると、双対空間は周波数の単位:時間単位あたりの発生回数 ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1/t}$の単位) を持ちます。たとえば、時間が秒で測定される場合、対応する双対単位は逆秒: 3 秒間に、1 秒あたり 2 回発生するイベントが合計 6 回発生し、 に対応します。同様に、主空間が長さを測定する場合、双対空間は長さの逆数 を測定します。 ${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$

連続二重空間

位相ベクトル空間を扱う場合、空間 から基底体(または) への連続線型汎関数が特に重要です。これにより、「連続双対空間」または「位相双対」という概念が生じます。これは代数双対空間 の線型部分空間であり、 と表記されます。ユークリッドn空間などの有限次元ノルムベクトル空間または位相ベクトル空間では、連続双対と代数双対は一致します。しかし、不連続線型写像の例で示されるように、無限次元ノルム空間ではこれは当てはまりません。それでも、位相ベクトル空間の理論では、「連続双対空間」および「位相双対空間」という用語はしばしば「双対空間」に置き換えられます。 ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$

位相ベクトル空間 の場合、その連続双対空間^[14]または位相双対空間^[15]あるいは単に双対空間^{[14] [15] [16] [17]}（位相ベクトル空間の理論の意味で）は、すべての連続線型関数の成す空間として定義されます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to {\mathbb {F} }}$

連続双対空間の重要な例としては、コンパクトにサポートされているテスト関数 の空間とその双対である任意分布の空間（一般化関数）、任意テスト関数の空間とその双対であるコンパクトにサポートされている分布の空間、一般化関数の理論における急速に減少するテスト関数の空間であるシュワルツ空間とその双対である緩和分布（緩やかに増加する分布）の空間が挙げられます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}',}$

プロパティ

Xがハウスドルフ 位相ベクトル空間（TVS）ならば、 Xの連続双対空間はXの完備化の連続双対空間と同一である。^[1]

デュアル上のトポロジー

位相ベクトル空間 の連続双対 上に位相を導入するための標準的な構成法がある。の有界部分集合の集合を固定する。これはから への集合上の一様収束の位相、あるいは同じことであるの形式の半ノルムによって生成される位相を与える。 ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$

${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$

ここでは 上の連続線型関数であり、クラス ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

これは、関数のネットが関数に近づくのは、 ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\qquad \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}$

通常 (必ずしもそうとは限りませんが)、クラスは次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• の各点は何らかの集合に属します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

  ${\displaystyle {\text{ for all }}x\in V\quad {\text{ there exists some }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}x\in A.}$

• 2つの集合と はそれぞれ何らかの集合 に含まれます。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$

  ${\displaystyle {\text{ for all }}A,B\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ there exists some }}C\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}A\cup B\subseteq C.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$スカラーによる乗算の演算に対して閉じている：

  ${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ and all }}\lambda \in {\mathbb {F} }\quad {\text{ such that }}\lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}$

これらの要件が満たされる場合、対応する位相はハウスドルフであり、集合 ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle U_{A}~=~\left\{\varphi \in V'~:~\quad \|\varphi \|_{A}<1\right\},\qquad {\text{ for }}A\in {\mathcal {A}}}$

地域拠点を形成する。

ここでは最も重要な 3 つの特殊なケースを示します。

• 上の強位相は、の有界部分集合上の一様収束の位相です(したがって、ここでは のすべての有界部分集合のクラスとして を選択できます)。 ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

がノルムベクトル空間（例えば、バナッハ空間やヒルベルト空間）である場合、上の強位相はノルム（スカラー体が完備であればバナッハ空間）であり、ノルムは ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$

• 上のステレオタイプ位相は、内の完全に有界な集合上の一様収束の位相です(したがって、ここで は 内のすべての完全に有界な部分集合のクラスとして選択できます)。 ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$
• 上の弱位相は、 の有限部分集合上の一様収束の位相である（したがって、ここで は のすべての有限部分集合のクラスとして を選択できる）。 ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

上の位相のこれら 3 つの選択はそれぞれ、位相ベクトル空間の反射性特性の変形につながります。 ${\displaystyle V'}$

• が強位相を持つ場合、対応する反射性の概念は標準的なものとなる。この意味で反射的な空間は単に反射的と呼ばれる。^[18] ${\displaystyle V'}$
• にステレオタイプ双対位相が備わっている場合、対応する反射性がステレオタイプ空間の理論で提示されます。この意味で反射的な空間はステレオタイプと呼ばれます。 ${\displaystyle V'}$
• に弱位相が備わっている場合、対応する反射性は双対理論で提示されます。^[19]この意味で反射的な空間は、弱位相を持つ任意の（ハウスドルフ）局所凸空間です。^[20] ${\displaystyle V'}$

例

1 < p < ∞を実数とし、すべての数列a = ( a _n )のバナッハ空間ℓ ^pを考える。

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

数q を1/ p + 1/ q = 1で定義する。すると、 ℓ ^pの連続双対はℓ ^qと自然に同一視される。元 が与えられたとき、 ℓ ^qの対応する元は数列である。ここで はn番目の項が 1 で、その他はすべて 0 である数列を表す。逆に、元a = ( a _n ) ∈ ℓ ^qが与えられたとき、 ℓ ^p上の対応する連続線型汎関数は次のように定義される 。 ${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$ ${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$

すべてのb = ( b _n )∈ℓpに対して（ヘルダーの不等式を^参照）。

同様に、ℓ ^{1の連続双対は、} ℓ ^∞（有界列の空間）と自然に同一視される。さらに、バナッハ空間c （すべての収束列から成り、上限ノルムは）とc ₀（ゼロに収束する列）の連続双対は、どちらもℓ ¹と自然に同一視される。

リースの表現定理によれば、ヒルベルト空間の連続双対は、元の空間と反同型なヒルベルト空間となる。これは、物理学者が量子力学の数学的定式化において用いるブラケット記法の由来である。

リース・マルコフ・角谷表現定理により、連続関数の特定の空間の連続双対は測度を用いて記述できる。

連続線形写像の転置

T  : V → W が2つの位相ベクトル空間間の連続線型写像である場合、（連続）転置 T′  : W′ → V′は前と同じ式で定義されます。

${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$

結果として得られる汎関数T′ ( φ )はV′に含まれる。T → T′の割り当ては、VからWへの連続線型写像の空間とW′からV′への線型写像の空間との間の線型写像を生成する。TとU が合成可能な連続線型写像である場合、

${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$

VとWがノルム空間であるとき、 L ( W′ , V′ )における転置のノルムは、L ( V , W )におけるTのノルムに等しい。転置のいくつかの性質は、ハーン＝バナッハの定理に依存する。例えば、有界線型写像Tが稠密な値域を持つためには、転置T′が単射でなければならない。

T が2つのバナッハ空間VとWの間のコンパクト線型写像であるとき、転置写像T′はコンパクトである。これはアルツェラ・アスコリの定理を用いて証明できる。

Vがヒルベルト空間であるとき、 Vからその連続双対V′への反線型同型i _Vが存在する。V上の任意の有界線型写像Tに対して、転置作用素と随伴作用素は次のように結び付けられる。

${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$

T が2 つの位相ベクトル空間VとWの間の連続線型写像である場合、 W′とV′が「両立する」位相を備えているとき、転置T′ は連続である。たとえば、X = VおよびX = Wのとき、両方の双対X′はXの有界集合上で一様収束する強位相β ( X′ , X )を持つか、または両方ともX上で点ごとに収束する 弱 ∗ 位相σ ( X′ , X )を持つ。転置T′はβ ( W′ , W )からβ ( V′ , V )へ、またはσ ( W′ , W )からσ ( V′ , V )へ連続である。

殲滅者

W がノルム空間 Vの閉線型部分空間であると仮定し、 V′におけるWの消滅を考える。

${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$

すると、商V  /  W の双対はW ^⊥と同一視でき、Wの双対は商V′  /  W ^⊥と同一視できる。^[21]実際、P をVから商V  /  Wへの標準射影とすると、転置P′ は( V  /  W  )′からV′への等長同型写像であり、その範囲はW ^⊥に等しい。jをWからVへの注入写像とすると、転置j′の核はWの消滅子である。 

${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$

そしてハーン・バナッハの定理から、 j′ は等長同型V′  /  W ^⊥ → W′を誘導することがわかる。

その他の特性

ノルム空間Vの双対が可分であれば、空間V自体も可分である。逆は成り立たない。例えば、空間ℓ ¹は可分であるが、その双対であるℓ ^{∞ は}可分ではない。

ダブルデュアル

これはベクトル空間からその二重双対へのベクトル加法の自然な変換である。⟨ x ₁ , x ₂ ⟩は2つのベクトルの順序付き対を表す。加法 + はx ₁とx _2をx ₁ + x ₂に変換する。この変換によって生じる加法 +′ は、双対空間の任意のベクトルに対して と定義できる。 ${\displaystyle [\Psi (x_{1})+'\Psi (x_{2})](\varphi )=\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$

代数的二重双対の場合と同様に、ノルム空間Vからその連続二重双対V′′への自然に定義された連続線型作用素Ψ : V → V′′が常に存在し、これは次のように定義される。

${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$

ハーン・バナッハの定理の結果として、この写像は実際には等長写像であり、すべてのx ∈ Vに対して‖ Ψ( x ) ‖ = ‖ x ‖が成り立つことを意味します。写像 Ψ が全単射となるノルム空間は反射的写像と呼ばれます。

Vが位相ベクトル空間の場合でも、任意のx ∈ Vに対してΨ( x ) は同じ式で定義できますが、いくつかの困難が生じます。まず、V が局所凸でない場合、連続双対は {0} に等しくなり、写像 Ψ は自明になる可能性があります。しかし、Vがハウスドルフかつ局所凸である場合、写像 Ψ はVから連続双対の代数的双対V′ ^∗へ単射となり、これもハーン・バナッハの定理の帰結となります。^{[注 5]}

第二に、局所凸設定であっても、連続双対V′上にはいくつかの自然なベクトル空間位相が定義できるため、連続二重双対V′′は集合として一意に定義されない。 Ψ がVからV′′に写像されること、言い換えれば、任意のx ∈ Vに対してΨ( x ) がV′上で連続であることは、 V′の位相に関する合理的な最小要件であり、評価写像が

${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$

V′上の選択された位相に対して連続である。さらに、 V′′上の位相の選択は依然として存在し、 Ψ の連続性はこの選択に依存する。結果として、この枠組みにおける反射性の定義は、ノルムの場合よりも複雑になる。

参照

• ベクトルの共変性と反変性
• デュアルモジュール
• 二重規範
• 双対性（数学）
• 双対性（射影幾何学）
• ポンチャギンの二重性
• 逆格子- 結晶学における双対空間基底

注記

1. のこの用法については、 『多様体入門』（Tu 2011, p. 19）を参照。この表記法は、 が他の意味に留保されている場合にも使用されることがある。例えば、上記のテキストでは、は の共微分を表すために頻繁に使用されるため、 は形式 の引き戻しを表す。Halmos (1974, p. 20) はの代数的双対を表すためにを使用している。しかし、他の著者は を連続双対に使用し、を代数的双対に留保している（Trèves 2006, p. 35）。 ${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{*}\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{*}}$
2. 量子力学などの多くの分野では、は上で定義されたセスティリニア形式に対して予約されています。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V\times V}$
3. この記事におけるいくつかの主張は、その正当性を証明するために選択公理を必要とする。選択公理は、任意のベクトル空間が基底を持つことを示すために必要であり、特に、が基底を持つことを示すために必要である。また、無限次元ベクトル空間の双対が非零であること、したがって、からその二重双対への自然写像が単射であることを示すためにも必要である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
4. 関数の空間と、双対ベクトル空間上の関数の空間を研究します。
5. Vが局所凸だがハウスドルフでない場合、Ψ の核は{0} を含む最小の閉部分空間です。

参考文献

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8. ミスナー、ソーン、ウィーラー 1973、§2.5
9. ニコラ・ブルバキ (1974). ヘルマン編. 『数学の原点：代数I、第1章～第3章』. アディソン・ウェズリー出版社. p. 400. ISBN 0201006391。
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14. ロバートソン＆ロバートソン 1964, II.2より
15. シェーファー 1966, II.4より
16. ルディン 1973, 3.1
17. ブルバキ 2003, II.42
18. シェーファー 1966, IV.5.5
19. シェーファー 1966, IV.1
20. シェーファー 1966, IV.1.2
21. ルディン 1991、第4章

参考文献

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外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「双対ベクトル空間」。MathWorld。

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