Non-linear second order differential equation and its attractor
ダフィング振動子のプロット。位相プロット、軌道、 ストレンジアトラクター、ポアンカレ断面、二重井戸 型ポテンシャルプロット が含まれています 。 パラメータは 、、、、、、 です 。 α = − 1 {\displaystyle \alpha =-1} β = 0.25 {\displaystyle \beta =0.25} δ = 0.1 {\displaystyle \delta =0.1} γ = 2.5 {\displaystyle \gamma =2.5} ω = 2 {\displaystyle \omega =2} 強制ダフィング方程式のポアンカレ断面はカオス的挙動を 示唆 し て いる （ 、、、、 および α = 1 {\displaystyle \alpha =1} ） 。 β = 5 {\displaystyle \beta =5} δ = 0.02 {\displaystyle \delta =0.02} γ = 8 {\displaystyle \gamma =8} ω = 0.5 {\displaystyle \omega =0.5} ダフィング振動子のストレンジアトラクター。4周期（ 時間）にわたって。色分けは点の流れを示しています。 （ 、、、、 。 アニメーション には時間オフセットがあるため、駆動力は で はなくです 。 ） 8 π {\displaystyle 8\pi } α = − 1 {\displaystyle \alpha =-1} β = 1 {\displaystyle \beta =1} δ = 0.02 {\displaystyle \delta =0.02} γ = 3 {\displaystyle \gamma =3} ω = 1 {\displaystyle \omega =1} sin ( ω t ) {\displaystyle \sin(\omega t)} cos ( ω t ) {\displaystyle \cos(\omega t)} ダフィング 方程式 （または ダフィング振動子 ）は、 ゲオルク・ダフィング （1861–1944）にちなんで名付けられた、 減衰振動子および駆動振動子 をモデル化するために用いられる 非線形 2階 微分方程式 です。この方程式は で与えられます。 ここで、（未知）関数 は時刻 t における変位 、は 時間に関する 1次 微分、すなわち 速度 、 は2次時間微分、 すなわち 加速度 です。数値 とには 定数が与えられます。 x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 = γ cos ( ω t ) , {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),} x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} x {\displaystyle x} x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} x , {\displaystyle x,} δ , {\displaystyle \delta ,} α , {\displaystyle \alpha ,} β , {\displaystyle \beta ,} γ {\displaystyle \gamma } ω {\displaystyle \omega }
この方程式は、単振動 （ の場合に相当） よりも複雑な ポテンシャル を持つ減衰振動子の運動を記述します 。物理的には、たとえば、 バネの 剛性が フックの法則 に 厳密に従わない 弾性振り子 をモデル化します。 β = δ = 0 {\displaystyle \beta =\delta =0}
ダフィング方程式は、 カオス的な挙動 を示す力学系の一例です。さらに、ダフィング系は 周波数応答 において、一種の周波数 ヒステリシス 挙動であるジャンプ共振現象を示します。
パラメータ 上記の式のパラメータは次のとおりです。
δ {\displaystyle \delta } 減衰 量を制御する 。 α {\displaystyle \alpha } 線形 剛性 を制御します。 β {\displaystyle \beta } 復元力の非線形性の量を制御する。 ダフィング方程式が減衰駆動単 振動子 を記述する場合、 β = 0 , {\displaystyle \beta =0,} γ {\displaystyle \gamma } 周期的な駆動力の 振幅 である。 系に駆動力がない場合は、 γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} ω {\displaystyle \omega } 周期的な駆動力の 角周波数 です。 ダフィング方程式は、非線形バネ と線形ダンパーに取り付けられた質量の振動を記述するものとみなすことができます 。非線形バネによってもたらされる復元力は、 α x + β x 3 . {\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}
と のとき、 ばねは 硬化ばね と呼ばれます。逆に、のときは 軟化ばね と呼ばれます （依然として）。したがって、ダフィング方程式全般において、 （および ）の値に依存して、 硬化 および 軟化という 形容詞 が用いられます。 [1] α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} β < 0 {\displaystyle \beta <0} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha }
ダフィング方程式のパラメータの数は、スケーリングによって2つ減らすことができます（バッキンガムπ定理 に従って ）。例えば、変位 と時間は 次のようにスケーリングできます。 [2] が正であると 仮定します （パラメータの範囲が異なる場合、または研究対象の問題の重点が異なる場合は、他のスケーリングも可能です）。すると、次のようになります。 [3] ここで x {\displaystyle x} t {\displaystyle t} τ = t α {\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}} y = x α / γ , {\displaystyle y=x\alpha /\gamma ,} α {\displaystyle \alpha } y ¨ + 2 η y ˙ + y + ε y 3 = cos ( σ τ ) , {\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}
η = δ 2 α , {\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},} ε = β γ 2 α 3 , {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},} そして σ = ω α . {\displaystyle \sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.} 点は を について微分した値を表します。これは、強制および減衰ダフィング方程式の解が、3 つのパラメータ ( 、、 および ) と 2 つの 初期条件 (つまり、 および の場合) で記述できることを示しています 。 y ( τ ) {\displaystyle y(\tau )} τ . {\displaystyle \tau .} ε {\displaystyle \varepsilon } η {\displaystyle \eta } σ {\displaystyle \sigma } y ( t 0 ) {\displaystyle y(t_{0})} y ˙ ( t 0 ) {\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}
解決方法 一般に、ダフィング方程式は正確な記号解を許しません。しかし、多くの近似解法がうまく機能します。
フーリエ級数 の展開により、 任意の精度の運動方程式が得られます。 ダフィング項 とも呼ばれる この項は 、小さいと近似することができ、このシステムは 摂動を受けた 単純な調和振動子として扱うことができます。 x 3 {\displaystyle x^{3}} フロベニウス 法は 複雑だが実行可能な解決策を生み出します。 オイラー法 や ルンゲ・クッタ法 などの さまざまな 数値計算法 を使用できます。 ホモトピー 解析法 （HAM）は、強い非線形性を持つダフィング方程式の近似解を得るのにも報告されている。 [4] [5] 減衰なし （ ）かつ駆動なし（ ）のダフィング方程式 の特殊なケースでは、 ヤコビの楕円関数 を用いて正確な解を得ることができます 。 [6] δ = 0 {\displaystyle \delta =0} γ = 0 {\displaystyle \gamma =0}
強制されていない振動子の解の有界性
非減衰振動子 減衰なし、力なしのダフィング方程式 を と掛け合わせると、次 式が得られる: [7] ここで H は 定数である。Hの値 は初期条件によって決まり 、 γ = δ = 0 , {\displaystyle \gamma =\delta =0,} x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} x ˙ ( x ¨ + α x + β x 3 ) = 0 ⟹ d d t [ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 ] = 0 ⟹ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 = H , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}} x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} x ˙ ( 0 ) . {\displaystyle {\dot {x}}(0).}
H の 置換は システムが ハミルトンで あることを示しています。 y = x ˙ {\displaystyle y={\dot {x}}} x ˙ = + ∂ H ∂ y , y ˙ = − ∂ H ∂ x ⟹ H = 1 2 y 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[1ex]\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}}
と が両方とも正の とき 、解は有界となる： [7] ハミルトニアン H が正である。この の有界は の項を省略することで得られる。 を含めると 、 を解くことで の二次方程式 が得られ、より小さくなるが複雑な有界となる 。 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } | x | ≤ 2 H / α and | x ˙ | ≤ 2 H , {\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},} x {\displaystyle x} β {\displaystyle \beta } ( β / 4 ) x 4 + ( α / 2 ) x 2 − H = 0 {\displaystyle (\beta /4)x^{4}+(\alpha /2)x^{2}-H=0} x 2 {\displaystyle x^{2}}
減衰振動子 同様に、減衰振動子は、減衰に対して となるため、 リアプノフ関数 法 [8]によって大域的に収束する。強制を行わない場合、減衰ダフィング振動子は 安定 平衡点 （複数可）のいずれかに到達する 。安定平衡点と不安定平衡点は、それぞれ であり、 安定平衡点は で あり、安定平衡点は であり 、 安定平衡点は である 。 x ˙ ( x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 ) = 0 ⟹ d d t [ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 ] = − δ ( x ˙ ) 2 ⟹ d H d t = − δ ( x ˙ ) 2 ≤ 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}} δ ≥ 0 {\displaystyle \delta \geq 0} α x + β x 3 = 0. {\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} x = 0. {\displaystyle x=0.} α < 0 {\displaystyle \alpha <0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} x = + − α / β {\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}} x = − − α / β . {\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}
周波数応答 3次非線形性を持つ強制ダフィング振動子は、次の常微分方程式で記述されます。 x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 = γ cos ( ω t ) . {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}
この振動子の周波数応答は、与えられた励起周波数における方程式（すなわち ）の定常応答の振幅を表す 。 を 持つ 線形 振動 子 の 場合、 周波数応答も線形となる。しかし、3次係数 がゼロでない場合には 、周波数応答は非線形となる。非線形性の種類に応じて、ダフィング振動子は硬化、軟化、または硬化軟化混合の周波数応答を示す。いずれにせよ、 ホモトピー解析法 または 調和バランス を用いることで、次の形式の周波数応答方程式を導くことができる。 [9] [5] z {\displaystyle z} x ( t ) {\displaystyle x(t)} ω . {\displaystyle \omega .} β = 0 , {\displaystyle \beta =0,} β {\displaystyle \beta } [ ( ω 2 − α − 3 4 β z 2 ) 2 + ( δ ω ) 2 ] z 2 = γ 2 . {\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.}
ダフィング方程式のパラメータについては、上記の代数方程式は、 与えられた励起周波数における 定常状態の 振動振幅を与えます。 z {\displaystyle z}
周波数応答の導出 調和バランス法を用いて、ダフィング方程式の近似解は次の式で表される： [ 9 ] x = a cos ( ω t ) + b sin ( ω t ) = z cos ( ω t − ϕ ) , {\displaystyle x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),} z 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}} tan ϕ = b a . {\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}.}
ダフィング方程式に適用すると次のようになります。 ( − ω 2 a + ω δ b + α a + 3 4 β a 3 + 3 4 β a b 2 − γ ) cos ( ω t ) + ( − ω 2 b − ω δ a + 3 4 β b 3 + α b + 3 4 β a 2 b ) sin ( ω t ) + ( 1 4 β a 3 − 3 4 β a b 2 ) cos ( 3 ω t ) + ( 3 4 β a 2 b − 1 4 β b 3 ) sin ( 3 ω t ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\omega t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\omega t\right)=0.\end{aligned}}}
前の2項 の 高調波 を無視すると 、 ゼロになる。その結果、 3 ω , {\displaystyle 3\omega ,} cos ( ω t ) {\displaystyle \cos(\omega t)} sin ( ω t ) {\displaystyle \sin(\omega t)} − ω 2 a + ω δ b + α a + 3 4 β a 3 + 3 4 β a b 2 = γ and − ω 2 b − ω δ a + 3 4 β b 3 + α b + 3 4 β a 2 b = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}}
両方の式を二乗して加算すると、振幅周波数応答は 次のようになります。 [ ( ω 2 − α − 3 4 β z 2 ) 2 + ( δ ω ) 2 ] z 2 = γ 2 , {\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2},}
ダフィング方程式の 関数としての 周波数応答。ここで、 は減衰 である 。周波数応答の破線部分は不安定である。 [3] z / γ {\displaystyle z/\gamma } ω / α {\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}} α = γ = 1 {\displaystyle \alpha =\gamma =1} δ = 0.1 {\displaystyle \delta =0.1} 3D図と同じプロットです。変化は 別の軸に沿って表示されます。 β {\displaystyle \beta }
周波数応答をグラフで解く 平面 上の2本の曲線の交点を グラフで解くと、次の式が得られます。 を固定すると 、2本目の曲線は第一象限の固定双曲線となります。1本目の曲線は、形状 の放物線で 、頂点は の位置にあります 。 を固定し 、 を変化させると 、放物線の頂点は直線 に沿って移動します 。 z 2 {\displaystyle z^{2}} ( z 2 , y ) {\displaystyle (z^{2},y)} { y = ( ω 2 − α − 3 4 β z 2 ) 2 + ( δ ω ) 2 y = γ 2 z 2 {\displaystyle {\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}} α , δ , γ {\displaystyle \alpha ,\delta ,\gamma } y = 9 16 β 2 ( z 2 ) 2 {\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}} ( 4 3 β ( ω 2 − α ) , δ 2 ω 2 ) {\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})} β {\displaystyle \beta } ω {\displaystyle \omega } y = 3 4 β δ 2 ( z 2 ) + δ 2 α {\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }
グラフ上では、が大きな正の数の 場合、 が変化するにつれて、放物線は双曲線と1点で交差し、次に3点で交差し、最後に再び1点で交差することがわかります。同様に、 が大きな負の数 の場合も分析できます。 β {\displaystyle \beta } ω {\displaystyle \omega } β {\displaystyle \beta }
ジャンプ 周波数応答のジャンプ。パラメータは、、、 および である 。 [9] α = γ = 1 , {\displaystyle \alpha =\gamma =1,} β = 0.04 {\displaystyle \beta =0.04} δ = 0.1 {\displaystyle \delta =0.1} ダフィング方程式のパラメータの特定の範囲では、周波数応答はもはや 強制周波数の 単価関数 ではなくなる可能性がある。硬化バネ振動子（ および十分に大きい正の ）の場合、周波数応答は高周波側にオーバーハングし、軟化バネ振動子（ および ）の場合、低周波側にオーバーハングする。オーバーハングする低周波側（すなわち周波数応答の図中の破線部分）は不安定であり、持続的に実現することはできない。その結果、ジャンプ現象が発生する。 ω . {\displaystyle \omega .} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > β c + > 0 {\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β < β c − < 0 {\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}
角周波数を ゆっくりと増加させると（他のパラメータは固定）、応答 振幅は AからBに急激に低下します。 ω {\displaystyle \omega } z {\displaystyle z} 周波数 がゆっくりと減少すると、C で振幅が D まで急上昇し、その後は周波数応答の上側の枝に従います。 ω {\displaystyle \omega } A-BジャンプとC-Dジャンプは一致しないため、システムは 周波数掃引方向に応じて ヒステリシスを示します。 [9]
混沌への移行 上記の解析では、基本周波数応答が支配的であり（これは調和バランスをとるために必要）、高周波数応答は無視できると仮定しました。しかし、この仮定は、外力が十分に強い場合には成り立ちません。高次高調波は無視できず、ダイナミクスはカオス状態になります。カオス状態への遷移には様々な方法がありますが、最も一般的なのは周期の倍化です。 [10]
例 ダフィング方程式の 時系列 と 位相図 の典型的な例をいくつか 下図に示す。 周期倍分岐 による 分数調波 の出現、そして カオス的挙動 を示している。強制振幅は からまで増加する 。 その他のパラメータの値は 、 、 である 。 初期 条件 は と である 。 位相図の赤い点は、 周期 の 整数 倍の時刻におけるものである 。 [11] γ = 0.20 {\displaystyle \gamma =0.20} γ = 0.65 {\displaystyle \gamma =0.65} α = − 1 {\displaystyle \alpha =-1} β = + 1 {\displaystyle \beta =+1} δ = 0.3 {\displaystyle \delta =0.3} ω = 1.2 {\displaystyle \omega =1.2} x ( 0 ) = 1 {\displaystyle x(0)=1} x ˙ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.} t {\displaystyle t} T = 2 π / ω {\displaystyle T=2\pi /\omega }
参考文献
引用 ^ トンプソン, JMT; スチュワート, HB (2002). 非線形ダイナミクスとカオス . ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 66. ISBN 9780471876847 。 ^ Lifshitz, R.; Cross, MC (2008). 「ナノメカニクスおよびマイクロメカニクス共振器の非線形力学」. Schuster, HG (編). Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity . Wiley. pp. 8– 9. ISBN 9783527407293 。 LCCN 2008459659。 ^ ab Brennan, MJ; Kovacic, I.; Carrella, A.; Waters, TP (2008). 「ダフィング発振器のジャンプアップおよびジャンプダウン周波数について」. Journal of Sound and Vibration . 318 ( 4–5 ): 1250– 1261. Bibcode :2008JSV...318.1250B. doi :10.1016/j.jsv.2008.04.032. ^ Kovacic, I.; Brennan, MJ編 (2011) 『ダフィング方程式：非線形振動子とその挙動 』 Wiley, pp. 123– 127, ISBN 978-0-470-71549-9 ^ ab Tajaddodianfar, F.; Yazdi, MRH; Pishkenari, HN (2016). 「MEMS/NEMS共振器の非線形ダイナミクス：ホモトピー解析法による解析解」. Microsystem Technologies . 23 (6): 1913– 1926. doi :10.1007/s00542-016-2947-7. S2CID 113216381. ^ Rand, RH (2012), 非線形振動に関する講義ノート (PDF) 、53、コーネル大学、pp. 13– 17 ^ ab Bender, CM ; Orszag, SA (1999), 科学者とエンジニアのための高度な数学的手法 I: 漸近法と摂動論 、Springer、p. 546、 Bibcode :1999amms.book.....B、 ISBN 9780387989310 ^ 金丸隆志（編）. 「ダフィングオシレーター」。 スカラーペディア 。 ^ abcd ジョーダン＆スミス 2007、223–233ページ ^ 上田義介 (1991年1月1日). 「強制ダフィング振動子における規則現象とカオス現象の概観」 . カオス・ソリトン・フラクタル . 1 (3): 199– 231. Bibcode :1991CSF.....1..199U. doi :10.1016/0960-0779(91)90032-5. ISSN 0960-0779. ^ Jordan & Smith 2007、pp. 453-462に示されている例に基づく。
参考文献 Duffing, G. (1918)、 Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung [ 可変固有周波数による強制振動とその技術的関連性 ] (ドイツ語)、vol. Heft 41/42、ブラウンシュヴァイク: Vieweg、vi+134 pp、 OCLC 12003652 アディソン、P.S.（1997）『 フラクタルとカオス：イラスト入りコース 』CRC Press、pp. 147– 148、 ISBN 9780849384431 ジョーダン、DW; スミス、P. (2007)、 非線形常微分方程式 - 科学者とエンジニアのための入門 （第4版）、オックスフォード大学出版局、 ISBN 978-0-19-920824-1
外部リンク Scholarpediaのダフィング発振器 MathWorldページ Pchelintsev, AN; Ahmad, S. (2020). 「べき級数法によるダフィング方程式の解法」 (PDF) . TSTU論文集 . 26 (1): 118– 123. ダフィング振動子とポアンカレ断面のビデオ
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![ダフィング方程式の関数としての周波数応答（減衰あり）周波数応答の破線部分は不安定である。[3]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Duffing_frequency_response.svg/1280px-Duffing_frequency_response.svg.png)
![{\displaystyle {\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd3ec81bede4767074dbc99db1ee9a33b5e7abc)
