数学 において 、 多様体 M 上の ベクトル 値微分形式（ベクトルじょうかくへんしき） と は、 ベクトル空間 V に値を持つ M上の微分形式である。より一般的には、 M 上のある ベクトル束 E に値を持つ微分形式である。常微分形式は R 値微分形式 とみなすことができる。
ベクトル値微分形式の重要なケースは、 リー代数値形式 です( 接続形式 はそのような形式の一例です)。
意味 M を 滑らかな多様 体と し 、 E → M を M 上の 滑らかな ベクトル束 とする。束 Eの 滑らかな切断 の空間を Γ( E ) と表記する。p 次の E 値微分形式は、 E の テンソル積束と M の 余 接束 の p 次の 外冪 Λ p ( T ∗ M )との 滑らかな 切断である。このような形式の空間は
Ω p ( M , E ) = Γ ( E ⊗ Λ p T ∗ M ) . {\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).} Γは 強いモノイド関数なので [1] 、 これは次のようにも解釈できる。
Γ ( E ⊗ Λ p T ∗ M ) = Γ ( E ) ⊗ Ω 0 ( M ) Γ ( Λ p T ∗ M ) = Γ ( E ) ⊗ Ω 0 ( M ) Ω p ( M ) , {\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),} ここで、後者の2つのテンソル積は、 M上の滑らかな R 値関数の 環 Ω 0 ( M ) 上の 加群のテンソル積 である（7番目の例を参照 ） 。慣例により、 E 値0形式はバンドル E の切断に過ぎない。つまり、
Ω 0 ( M , E ) = Γ ( E ) . {\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,} 同様に、 E値微分形式は バンドル射 として定義できる。
T M ⊗ ⋯ ⊗ T M → E {\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E} これは完全に 歪対称 です。
V を 固定 ベクトル空間 とする 。p 次の V 値微分形式とは、 自明バンドル M × V に値を持つ p 次 の微分形式である 。そのような形式の空間は Ω p ( M , V ) と表記される 。V = R の とき 、 常 微分 形式 の定義が復元される。V が有限次元の場合 、 自然準同型が示すことができる。
Ω p ( M ) ⊗ R V → Ω p ( M , V ) , {\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),} ここで、最初のテンソル積は R 上のベクトル空間の同型である。 [2]
引き戻し ベクトル値形式の 引き戻しは 、通常の形式と同様に 滑らかな写像 によって定義できる。N 上の E 値形式の 滑らかな写像 φ : M → Nによる引き戻しは、 M 上の(φ* E ) 値形式である 。 ここで、 φ* Eは E のφ による 引き戻しバンドル である 。
式は通常の場合と同様に与えられる。N上の任意のE値p形式ωに対して、 引き戻し φ * ω は 次のように与えられる。
( φ ∗ ω ) x ( v 1 , ⋯ , v p ) = ω φ ( x ) ( d φ x ( v 1 ) , ⋯ , d φ x ( v p ) ) . {\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}
ウェッジ積 常微分形式と同様に、 ベクトル値形式の ウェッジ積を定義することができる。E 1 値の p 形式と E 2 値 の q 形式 の ウェッジ 積は、自然に ( E 1 ⊗ E 2 ) 値の ( p + q ) 形式となる。
∧ : Ω p ( M , E 1 ) × Ω q ( M , E 2 ) → Ω p + q ( M , E 1 ⊗ E 2 ) . {\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).} 定義は、実数乗算がテンソル積 に置き換えられることを除いて、通常の形式と同じです 。
( ω ∧ η ) ( v 1 , ⋯ , v p + q ) = 1 p ! q ! ∑ σ ∈ S p + q sgn ( σ ) ω ( v σ ( 1 ) , ⋯ , v σ ( p ) ) ⊗ η ( v σ ( p + 1 ) , ⋯ , v σ ( p + q ) ) . {\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).} 特に、通常の（ R 値） p 形式と E 値 q 形式とのウェッジ積は、自然に E 値（ p + q ）形式となる（ E と自明バンドル M × R のテンソル積は 自然に E と同型で あるため）。 E 1 と E 2のそれぞれに対する局所フレーム { e α } と { l β } に関して、 E 1 値 p 形式 ω = ω α e α と E 2 値 q 形式 η = η β l β のウェッジ積は 、
ω ∧ η = ∑ α , β ( ω α ∧ η β ) ( e α ⊗ l β ) , {\displaystyle \omega \wedge \eta =\sum _{\alpha ,\beta }(\omega ^{\alpha }\wedge \eta ^{\beta })(e_{\alpha }\otimes l_{\beta }),} ここで ω α ∧ η β は -値形式の通常のウェッジ積である 。 ω ∈ Ω p ( M ) および η ∈ Ω q ( M , E ) に対して、通常の可換関係が成り立つ。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
ω ∧ η = ( − 1 ) p q η ∧ ω . {\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .} 一般に、2つの E 値形式のウェッジ積は、 別の E値形式で はなく 、( E ⊗ E )値形式である。しかし、 Eが 代数束 （つまり、単なるベクトル空間ではなく 代数 の束） である場合、 Eにおける乗法と合成することで E 値形式を得ることができる 。Eが可換かつ結合的な代数の束である場合 、 この 修正 さ れたウェッジ積を用いて、すべての E 値微分形式 の集合は
Ω ( M , E ) = ⨁ p = 0 dim M Ω p ( M , E ) {\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)} は次数可換な 結合代数となる 。E のファイバーが 可換でない場合、Ω( M , E ) は 次数可換ではない。
外微分 任意のベクトル空間 Vに対して、 V 値形式の全体にわたる自然な 外微分 が存在する 。これは、 V の任意の 基底 に対して成分ごとに作用する通常の外微分に等しい。具体的には、 { e α } が V の基底である場合、 V 値 p 形式 ω = ω α e α の微分は 次のように与えられる。
d ω = ( d ω α ) e α . {\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,} V 値形式の外微分は 、通常の関係によって完全に特徴付けられます。
d ( ω + η ) = d ω + d η d ( ω ∧ η ) = d ω ∧ η + ( − 1 ) p ω ∧ d η ( p = deg ω ) d ( d ω ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}} より一般的には、上記の注釈は E 値形式に適用される。ここで Eは M 上の任意の 平坦ベクトル束 （すなわち、遷移関数が定数であるベクトル束）である。外微分は、 E の任意の 局所自明化 に対して上記のように定義される 。
E が平坦でない場合、 E 値形式に作用する外微分という自然な概念は存在しません。必要なのは、 E 上の 接続 の選択です。 E 上の接続とは、 Eを E 値1形式に 切断する 線型 微分作用素 です。
∇ : Ω 0 ( M , E ) → Ω 1 ( M , E ) . {\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).} E が接続∇を備えている 場合、唯一の 共変外微分が存在する。
d ∇ : Ω p ( M , E ) → Ω p + 1 ( M , E ) {\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)} ∇を拡張する。共変外微分は 線形性 によって特徴付けられ、方程式
d ∇ ( ω ∧ η ) = d ∇ ω ∧ η + ( − 1 ) p ω ∧ d ∇ η {\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d_{\nabla }\eta } ここで、 ω は E 値 p 形式、 η は通常の q 形式である。一般に、 d ∇ 2 = 0 である必要はない。実際、これは接続 ∇ が平坦（すなわち 曲率 ゼロ）である場合にのみ成立する 。
E → M を M 上の階数 k の滑らかなベクトル束とし 、 π : F( E ) → Mを E の （ 付随 ） フレーム束（ これは M上の 主 GL k ( R ) 束）とします 。 E の π による 引き戻しは、[ u , v ] → u ( v )の逆を経て F( E ) × ρ R k に標準同型です。ここで ρ は標準表現です。したがって、 M上の E 値形式 の π による引き戻しにより、 F( E ) 上の R k 値形式が決定されます 。この引き戻された形式が GL k ( R ) の F( E ) × R k への自然作用 に関して 右同変であり、 垂直ベクトル（ d π の核内にある F( E ) へ の接ベクトル） 上で消えることは簡単に確認できます 。 F( E )上のこのようなベクトル値形式は特別な用語を必要とするほど重要であり、 F( E )上の 基本 形式または テンソル形式 と呼ばれます 。
π : P → M を（滑らかな） 主 G 束 とし、 V を 固定ベクトル空間とし、 ρ : G → GL( V )という 表現 を持つものとする。P 上の ρ 型の 基本 形式または テンソル形式は、 P上の V 値形式 ωであって、 次の意味で 同変かつ 水平 で ある。
( R g ) ∗ ω = ρ ( g − 1 ) ω {\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,} すべてのg ∈ G に対して 、そして ω ( v 1 , … , v p ) = 0 {\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0} v i の少なくとも1つが 垂直である場合（つまり、d π ( v i ) = 0）。 ここで R g は 、ある g ∈ Gに対する Gの P へ の右作用を表す 。0-形式の場合、2番目の条件は 空虚に真で あることに注意する。
例: ρ が リー代数 G の 随伴表現である場合、接続形式 ω は最初の条件を満たす（ただし、2 番目の条件は満たさない）。付随する 曲率形式 Ω は両方の条件を満たすため、Ω は随伴型のテンソル形式である。2 つの接続形式の「差」はテンソル形式である。
上に示したように P と ρ が与えられれば、 付随するベクトル束 E = P × ρ Vを構築できる。P 上 のテンソル q 形式は、 M上の E 値 q 形式 と自然に一対一に対応する 。上に示した主束 F( E ) の場合と同様に、 E に値を持つ M 上の q 形式 が与えられれば、 P 上の φ を、 例えば u において、
次のようにファイバー単位で定義できる。 ϕ ¯ {\displaystyle {\overline {\phi }}}
ϕ = u − 1 π ∗ ϕ ¯ {\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}} ここで u は線型同型とみなせる 。φはρ型のテンソル形式となる。逆に、ρ型のテンソル形式φが与えられた場合、同じ式は M 上の E 値形式を定義する （ チャーン・ヴェイユ準同型を 参照）。特に、ベクトル空間には自然な同型が存在する。 V → ≃ E π ( u ) = ( π ∗ E ) u , v ↦ [ u , v ] {\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]} ϕ ¯ {\displaystyle {\overline {\phi }}}
Γ ( M , E ) ≃ { f : P → V | f ( u g ) = ρ ( g ) − 1 f ( u ) } , f ¯ ↔ f {\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f} 。 例: E を M の接バンドルとします 。このとき、恒等バンドル写像 id E : E → E は M上の E 値 1 形式となります 。 トートロジー 1 形式は、 id E に対応する E のフレームバンドル上の唯一の 1 形式です 。θ で表され、標準型のテンソル形式です。
さて、 P 上に接続があり、 P 上の（様々な）ベクトル値形式上に 外共変微分 D が存在すると仮定する 。上記の対応関係により、 D は E 値形式にも作用する 。∇ を次のように定義する。
∇ ϕ ¯ = D ϕ ¯ . {\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.} 特にゼロ形式の場合、
∇ : Γ ( M , E ) → Γ ( M , T ∗ M ⊗ E ) {\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)} 。 これはまさに ベクトル束 E 上の接続の 共変微分 である。 [3]
例 シーゲルモジュラー形式は シーゲルモジュラー多様体 上のベクトル値微分形式として現れる 。 [4]
注記 ^ 「滑らかな多様体上のベクトル束のテンソル積の全体断面」 math.stackexchange.com . 2014年 10月27日 閲覧 。 ^ 証明: p =0 の場合、 V の基底を V への定数関数の集合に変換することで これを検証できる。 これにより、上記の準同型写像の逆写像が構築できる。一般の場合は、次の式で証明できる。 Ω p ( M , V ) = Ω 0 ( M , V ) ⊗ Ω 0 ( M ) Ω p ( M ) , {\displaystyle \Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),} は定数関数を介して
Ω 0 ( M )の部分環である ため、 R {\displaystyle \mathbb {R} } Ω 0 ( M , V ) ⊗ Ω 0 ( M ) Ω p ( M ) = ( V ⊗ R Ω 0 ( M ) ) ⊗ Ω 0 ( M ) Ω p ( M ) = V ⊗ R ( Ω 0 ( M ) ⊗ Ω 0 ( M ) Ω p ( M ) ) = V ⊗ R Ω p ( M ) . {\displaystyle \Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).} ^ 証明: 任意のスカラー値テンソル零形式 f と ρ 型の任意のテンソル零形式 φ に対して、 f は M 上の関数に降順する ので Df = df 。この 補題 2 を 参照。 D ( f ϕ ) = D f ⊗ ϕ + f D ϕ {\displaystyle D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi } ^ Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). 「ジーゲルモジュラー多様体の幾何学」. 純粋数学の先端的研究 . 35 : 89–156 .
参考文献 
![{\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90ef851106585e54cc1995d1da8541a5e80cc13)
