ヤング率

ヤング率（またはヤング率）は、固体材料の機械的特性であり、長さ方向に力が加えられたときの引張剛性または圧縮剛性を測定します。これは、引張または軸圧縮に対する弾性率です。ヤング率は、物体に加えられる応力（単位面積あたりの力）と、その結果生じる軸ひずみ（相対的な変形を定量化する無次元量）の比として定義されます。したがって、ヤング率はフックの法則におけるバネ定数に似ており、比例しますが、距離あたりの力ではなく圧力の次元を持ちます。

ヤング率は19世紀のイギリスの科学者トーマス・ヤングにちなんで名付けられましたが、その概念は1727年にレオンハルト・オイラーによって提唱されました。現代のヤング率の概念を用いた最初の実験は、1782年にイタリアの科学者ジョルダーノ・リカッティによって行われ、ヤングの研究より25年も前でした。^{[1]係数（modulus）という用語は、}ラテン語の 「測定」を意味する語根 「modus」 に由来しています。

意味

ヤング率は、材料の線形弾性領域における引張応力または圧縮応力（単位面積あたりの力）と軸方向ひずみ（比例変形）の関係を定量化します。 ^[2] $E$ $\sigma$ $\varepsilon$ $E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$

ヤング率は一般に国際単位系 (SI) のパスカル(Pa)の倍数で測定され、一般的な値はギガパスカル(GPa)の範囲にあります。

例:

ゴム（圧力の増加：長さの増加が大きく、低いことを意味する $E$ ）
アルミニウム（圧力の増加：長さの増加が小さい、つまり高い $E$ ）

線形弾性

固体材料は、圧縮または伸長の小さな荷重を受けると弾性変形を起こします。弾性変形は可逆的であり、荷重を取り除くと材料は元の形状に戻ります。

応力とひずみがほぼゼロの場合、応力-ひずみ曲線は直線となり、応力とひずみの関係はフックの法則、すなわち応力はひずみに比例するという法則で表されます。この比例係数がヤング率です。ヤング率が高いほど、同じ量のひずみを発生させるために必要な応力は大きくなります。理想的な剛体はヤング率が無限大になります。逆に、非常に柔らかい材料（流体など）は力が加わらなくても変形し、ヤング率はゼロになります。

使用法

ヤング率は、等方性弾性材料で作られた棒材に引張荷重または圧縮荷重がかかった場合の寸法変化を計算することを可能にします。例えば、材料サンプルが引張荷重下でどれだけ伸びるか、あるいは圧縮荷重下でどれだけ縮むかを予測します。ヤング率は、一軸応力、つまり一方向に引張応力または圧縮応力がかかり、他の方向には応力がかからない場合に直接適用されます。また、ヤング率は、梁の支持点間の一点に荷重がかかった際に静定梁に生じるたわみを予測するためにも使用されます。

その他の弾性計算では通常、せん断弾性率、体積弾性率、ポアソン比などの弾性特性をもう 1 つ使用する必要があります。これらのパラメータのうち 2 つがあれば、等方性材料の弾性を完全に記述するのに十分です。たとえば、癌性皮膚組織の物理的特性を計算すると、ポアソン比は 0.43±0.12、平均ヤング率は 52 KPa であることが測定されています。皮膚の弾性特性を定義することは、弾性を臨床ツールに変える第一歩となる可能性があります。^[3]均質な等方性材料の場合、弾性定数の間には単純な関係があり、2 つがわかっていればすべての定数を計算できます。 $G$ $K$ $\nu$

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).

線形と非線形

ヤング率は、応力とひずみを関連付けるフックの法則における比例係数を表します。ただし、フックの法則は、弾性的で線形な応答を仮定した場合にのみ有効です。実際の材料は、非常に長い距離または非常に大きな力で引き伸ばされると、最終的には破損して破壊しますが、すべての固体材料は、十分に小さいひずみまたは応力に対してほぼフックの挙動を示します。フックの法則が有効な範囲が、材料にかかると予想される典型的な応力に比べて十分に大きい場合、その材料は線形であると言われます。そうでない場合（適用される典型的な応力が線形範囲外である場合）、材料は非線形であると言われます。

鋼鉄、炭素繊維、ガラスなどは通常線形材料と考えられていますが、ゴムや土壌などの他の材料は非線形です。しかし、これは絶対的な分類ではありません。非線形材料に非常に小さな応力やひずみが適用された場合、応答は線形になりますが、線形材料に非常に高い応力やひずみが適用された場合、線形理論では不十分になります。たとえば、線形理論は可逆性を意味するため、高負荷がかかった鋼橋の破損を説明するのに線形理論を使用するのは不合理です。鋼鉄はほとんどの用途では線形材料ですが、このような壊滅的な破損の場合には線形材料ではありません。

固体力学において、任意の点における応力-ひずみ曲線の傾きは接線弾性係数と呼ばれます。これは、材料サンプルの引張試験中に得られる応力-ひずみ曲線の傾きから実験的に決定することができます。

方向性材料

ヤング率は、材料のすべての方向で常に同じではありません。ほとんどの金属やセラミックは、他の多くの材料と同様に等方性であり、その機械的特性はすべての方向で同じです。ただし、金属やセラミックには特定の不純物を処理でき、金属は機械的に加工して粒子構造に方向性を持たせることができます。するとこれらの材料は異方性になり、ヤング率は力のベクトルの方向に応じて変化します。^[4]異方性は多くの複合材料にも見られます。たとえば、炭素繊維は、力が繊維に平行（木目に沿って）に負荷された場合、はるかに高いヤング率（はるかに剛性）を示します。その他のそのような材料には、木材や鉄筋コンクリートなどがあります。エンジニアはこの方向性現象を構造物の作成に有利に利用できます。

計算

ヤング率は、物理的応力-ひずみ曲線の弾性（初期、線形）部分における引張応力を工学的伸長ひずみで割ることによって計算されます。 $\sigma (\varepsilon )$ $\varepsilon$

$E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}$ どこ

$E$ ヤング率（弾性係数）です。
$F$ 張力がかかっている物体に働く力です。
$A$ 実際の断面積であり、これは加えられた力に垂直な断面の面積に等しくなります。
$\Delta L$ 物体の長さが変化する量です（材料が伸びた場合は正、圧縮された場合は負になります）。 $\Delta L$
$L_{0}$ オブジェクトの元の長さです。

ヤング率の同等の定義は、材料のエネルギーです。 $E={\frac {L_{0}}{A}}\left.{\frac {d^{2}U}{dL^{2}}}\right|_{L_{0}}$ $U$

伸びたり縮んだりした物質によって及ぼされる力

材料のヤング率は、特定の歪みのもとで材料が及ぼす力を計算するために使用できます。

F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}

ここで、は、によって収縮または伸長したときに材料によって及ぼされる力です。 $F$ $\Delta L$

伸張したワイヤーに対するフックの法則は、次の式から導き出されます。

F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx

飽和状態になる場所

k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,

そして

x\equiv \Delta L.

コイルばねの弾性は、ヤング率ではなく、せん断弾性率によって決まることに注意してください。ばねが引き伸ばされると、線材の長さは変化しませんが、形状は変化します。そのため、ばねの伸びにはせん断弾性率のみが関係します。^[要出典]

弾性位置エネルギー

線形弾性材料に蓄えられた弾性位置エネルギーは、フックの法則の積分によって与えられます。

U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.

次に、強度変数について説明します。

U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}

つまり、弾性位置エネルギー密度（つまり、単位体積あたり）は次のように表されます。

{\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {E\,{\Delta L}}{L_{0}}}\times {\frac {\Delta L}{L_{0}}}={\frac {1}{2}}\times \sigma (\varepsilon )\times \varepsilon

または、単純な表記で言えば、線形弾性材料の場合はとなります。これは、ひずみがと定義されているためです。 ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$ ${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$

非線形弾性材料ではヤング率はひずみの関数であるため、2番目の同値性は成立せず、弾性エネルギーはひずみの2次関数ではありません。

u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}

例

ヤング率は、サンプルの組成や試験方法の違いにより多少変動する可能性があります。特にポリマーにおいては、変形速度が収集データに最も大きな影響を与えます。ここで示す値は概算値であり、相対的な比較のみを目的としています。

様々な材料のヤング率の近似値
材料	ヤング率（GPa）	メガポンド/平方インチ ( M psi ) ^[5]	参照
アルミニウム（_13Al）	68	9.86	^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]
アミノ酸分子結晶	21～44	3.05～6.38	^[12]
アラミド（例：ケブラー）	70.5～112.4	10.2～16.3	^[13]
芳香族ペプチドナノスフェア	230～275	33.4～39.9	^[14]
芳香族ペプチドナノチューブ	19～27	2.76～3.92	^[15]^[16]
バクテリオファージカプシド	1～3	0.145～0.435	^[17]
ベリリウム（_4Be）	287	41.6	^[18]
骨、人間の皮質	14	2.03	^[19]
真鍮	106	15.4	^[20]
ブロンズ	112	16.2	^[21]
窒化炭素（CN ₂）	822	119	^[22]
炭素繊維強化プラスチック（CFRP）、50/50繊維/マトリックス、二軸織物	30～50	4.35～7.25	^[23]
炭素繊維強化プラスチック（CFRP）、70/30繊維/マトリックス、一方向、繊維に沿って	181	26.3	^[24]
コバルトクロム（CoCr）	230	33.4	^[25]
銅（Cu）、焼きなまし	110	16	^[26]
ダイヤモンド（C）、合成	1050–1210	152～175	^[27]
珪藻殻、主にケイ酸	0.35～2.77	0.051～0.058	^[28]
亜麻繊維	58	8.41	^[29]
フロートガラス	47.7～83.6	6.92～12.1	^[30]
ガラス強化ポリエステル（GRP）	17.2	2.49	^[31]
金	77.2	11.2	^[32]
グラフェン	1050	152	^[33]
麻繊維	35	5.08	^[34]
高密度ポリエチレン（HDPE）	0.97～1.38	0.141～0.2	^[35]
高強度コンクリート	30	4.35	^[36]
鉛（_82Pb）、化学	13	1.89	^[11]
低密度ポリエチレン（LDPE）、成形	0.228	0.0331	^[37]
マグネシウム合金	45.2	6.56	^[38]
中密度繊維板（MDF）	4	0.58	^[39]
モリブデン（Mo）、焼鈍	330	47.9	^[40]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]
モネル	180	26.1	^[11]
真珠層（主に炭酸カルシウム）	70	10.2	^[41]
ニッケル（₂₈ Ni）、商業用	200	29	^[11]
ナイロン66	2.93	0.425	^[42]
オスミウム（₇₆ Os）	525–562	76.1～81.5	^[43]
窒化オスミウム（OsN ₂）	194.99～396.44	28.3～57.5	^[44]
ポリカーボネート（PC）	2.2	0.319	^[45]
ポリエチレンテレフタレート（PET）、非強化	3.14	0.455	^[46]
ポリプロピレン（PP）、成形	1.68	0.244	^[47]
ポリスチレン、クリスタル	2.5～3.5	0.363～0.508	^[48]
ポリスチレン、発泡体	0.0025～0.007	0.000363～0.00102	^[49]
ポリテトラフルオロエチレン（PTFE）、成形	0.564	0.0818	^[50]
ゴム、小さな歪み	0.01～0.1	0.00145～0.0145	^[12]
シリコン、単結晶、異なる方向	130～185	18.9～26.8	^[51]
炭化ケイ素（SiC）	90～137	13.1～19.9	^[52]
単層カーボンナノチューブ	$>$ 1000	$>$ 140	^[53]^[54]
スチール、A36	200	29	^[55]
イラクサ繊維	87	12.6	^[29]
チタン（_22Ti）	116	16.8	^[56]^[57]^[7]^[9]^[8]^[11]^[10]
チタン合金、グレード5	114	16.5	^[58]
歯のエナメル質、主にリン酸カルシウム	83	12	^[59]
炭化タングステン（WC）	600–686	87～99.5	^[60]
木材、アメリカンブナ	9.5～11.9	1.38～1.73	^[61]
木材、ブラックチェリー	9～10.3	1.31～1.49	^[61]
木材、赤カエデ	9.6～11.3	1.39～1.64	^[61]
錬鉄	193	28	^[62]
イットリウム鉄ガーネット（YIG）、多結晶	193	28	^[63]
イットリウム鉄ガーネット（YIG）、単結晶	200	29	^[64]
亜鉛（₃₀ Zn）	108	15.7	^[65]
ジルコニウム（₄₀ Zr）、商業用	95	13.8	^[11]

参照

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さらに読む

ASTM E 111、「ヤング率、接線係数、弦係数の標準試験方法」
ASMハンドブック（複数巻）には、様々な材料のヤング率と計算に関する情報が掲載されています。オンライン版（購読が必要です）

外部リンク

Matweb: 175,000種類以上の材料の工学特性に関する無料データベース
材料群のヤング率とそのコスト

変換式
均質等方性線形弾性材料の弾性特性は、これらのうちの任意の 2 つの係数によって一意に決定されます。したがって、任意の 2 つの係数が与えられれば、他の任意の弾性係数は、3D 材料 (表の最初の部分) と 2D 材料 (2 番目の部分) の両方で提供されているこれらの式に従って計算できます。
3D式	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	注記
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ 有効な解は2つあります。プラス記号はとなります。 $\nu \geq 0$ マイナス記号はにつながります。 $\nu \leq 0$
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	使用できないとき $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D式	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	注記
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	使用できないとき $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

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