早期効果

Variation in the effective width of the base in a bipolar junction transistor

図1. 上：コレクタ・ベース間逆バイアスが低い場合のNPNベース幅。下：コレクタ・ベース間逆バイアスが大きい場合のNPNベース幅が狭い。網掛け部分は空乏領域。

2. BJTの出力特性図に見られるアーリー電圧（VA _）。

アーリー効果は、発見者であるジェームズ・M・アーリーにちなんで名付けられ、バイポーラ接合トランジスタ（BJT）において、ベース・コレクタ間電圧の変動によってベースの実効幅が変化する現象です。例えば、コレクタ・ベース接合間の逆バイアス電圧が大きくなると、コレクタ・ベース間の空乏幅が増加し、その結果、ベースの電荷キャリア部分の幅が減少します。

説明

図1では、中性（すなわち活性）ベースは緑色で、空乏化したベース領域は薄緑色の網掛けで示されています。中性エミッタ領域とコレクタ領域は濃青色で、空乏化した領域は薄青色の網掛けで示されています。コレクタ-ベース間の逆バイアス電圧を増加させると、図1の下段に示すように、ベース内の空乏領域が広がり、それに伴い中性ベース領域が狭くなっていることがわかります。

逆バイアス下では、コレクタの空乏領域もベースよりも大きく拡大します。これは、コレクタのドーピング濃度がベースよりも低いためです。この2つの幅を支配する原理は電荷の中性です。コレクタはベースよりもはるかに長いため、コレクタ幅の狭小化は大きな影響を与えません。エミッタ・ベース間電圧は同じであるため、エミッタ・ベース接合は変化しません。

ベースナローイングは、電流に影響を与える 2 つの結果をもたらします。

• 「小さい」塩基領域内では組換えが起こる可能性が低くなります。
• ベース全体の電荷勾配が増加し、その結果、コレクタ-ベース接合に注入される少数キャリアの電流が増加します。この正味電流は と呼ばれます。 ${\displaystyle I_{\text{CB0}}}$

これらの要因はどちらも、コレクタ電圧の上昇に伴ってトランジスタのコレクタ電流、つまり「出力」電流を増加させますが、後者のみがアーリー効果と呼ばれます。この電流増加は図2に示されています。高電圧における特性の接線は後方に外挿され、アーリー電圧と呼ばれる電圧で電圧軸と交差します。この電圧はしばしば記号V _Aで表されます。

大信号モデル

順方向活性領域では、アーリー効果によりコレクタ電流（）と順方向共通エミッタ電流利得（）が変化し、通常は次の式で表される：^{[1] [2]} ${\displaystyle I_{\mathrm {C} }}$ ${\displaystyle \beta _{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {C} }&=I_{\mathrm {S} }e^{\frac {V_{\mathrm {BE} }}{V_{\mathrm {T} }}}\left(1+{\frac {V_{\mathrm {CE} }}{V_{\mathrm {A} }}}\right)\\\beta _{\mathrm {F} }&=\beta _{\mathrm {F0} }\left(1+{\frac {V_{\mathrm {CE} }}{V_{\mathrm {A} }}}\right)\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle V_{\mathrm {CE} }}$コレクタ・エミッタ電圧
• ${\displaystyle V_{\mathrm {BE} }}$ベース・エミッタ電圧
• ${\displaystyle I_{\mathrm {S} }}$逆飽和電流
• ${\displaystyle V_{\mathrm {T} }}$は熱電圧であり、約26 mVである。熱電圧：半導体物理学における役割を参照。 ${\displaystyle \mathrm {kT/q} }$
• ${\displaystyle V_{\mathrm {A} }}$アーリー電圧（通常は15～150 V（小型デバイスの場合はそれ以下）
• ${\displaystyle \beta _{\mathrm {F0} }}$ゼロバイアスでの順方向共通エミッタ電流利得です。

一部のモデルでは、コレクタ電流補正係数をコレクタ・エミッタ間電圧V _CEではなく、コレクタ・ベース間電圧V _CB（ベース幅変調で説明されているように）に基づいて算出している。^[3] V _{CB を}使用する方が物理的に妥当である可能性があり、これはこの効果の物理的な起源、すなわちコレクタ・ベース間空乏層の広がりがV _CBに依存することと一致する。SPICEで使用されるようなコンピュータモデルでは、コレクタ・ベース間電圧V _CBが使用される。^[4]

小信号モデル

アーリー効果は、小信号回路モデル（ハイブリッドπモデルなど）では次のように定義される抵抗器として考慮される。^[5]

${\displaystyle r_{\text{O}}={\frac {V_{\text{A}}+V_{\text{CE}}}{I_{\text{C}}}}\approx {\frac {V_{\text{A}}}{I_{\text{C}}}}}$

トランジスタのコレクタ・エミッタ接合に並列に接続される。この抵抗は、単純なカレントミラー回路やアクティブ負荷の共通エミッタ増幅器の有限な出力抵抗を考慮できる。

SPICEで使用されるモデルに従い、上で説明したように抵抗を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle V_{CB}}$

${\displaystyle r_{\text{O}}={\frac {V_{\text{A}}+V_{\text{CB}}}{I_{\text{C}}}}}$

これは教科書的な結果とほぼ一致しています。どちらの定式化においても、DC逆バイアスに応じて変化し、これは実際に観察される値です。^[要出典] ${\displaystyle r_{O}}$ ${\displaystyle V_{CB}}$

MOSFETの出力抵抗はShichman-Hodgesモデル^[6]（非常に古い技術では正確）で次のように表されます。

${\displaystyle r_{\text{O}}={\frac {1+\lambda V_{\text{DS}}}{\lambda I_{\text{D}}}}={\frac {1}{I_{\text{D}}}}\left({\frac {1}{\lambda }}+V_{\text{DS}}\right)}$

ここで、 = ドレイン-ソース間電圧、= ドレイン電流、=チャネル長変調パラメータであり、通常はチャネル長Lに反比例すると見なされます。バイポーラの結果との類似性から、「アーリー効果」という用語がMOSFETにも適用されることがよくあります。 ${\displaystyle V_{\text{DS}}}$ ${\displaystyle I_{\text{D}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

電流-電圧特性

これらの式はPNPトランジスタについて導出されている。NPNトランジスタの場合、以下の式においてnをpに、pをnに置き換える必要がある。BJTの理想的な電流-電圧特性を導出する際には、以下の仮定が用いられる^[7]。

• 低レベル注入
• 急峻な接合部を持つ各領域における均一なドーピング
• 一次元電流
• 空間電荷領域における再結合生成は無視できる
• 空間電荷領域外の電界は無視できます。

キャリアの注入によって誘起される少数拡散電流の特性評価は重要です。

pn接合ダイオードに関しては、拡散方程式という重要な関係があります。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Delta p_{\text{B}}(x)}{dx^{2}}}={\frac {\Delta p_{\text{B}}(x)}{L_{\text{B}}^{2}}}}$

この方程式の解は以下であり、 2 つの境界条件を使用して解いて および を求めます。 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)=C_{1}e^{\frac {x}{L_{\text{B}}}}+C_{2}e^{-{\frac {x}{L_{\text{B}}}}}}$

次の式はそれぞれエミッタ領域とコレクタ領域に適用され、原点、、はベース、コレクタ、エミッタに適用されます。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0'}$ ${\displaystyle 0''}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta n_{\text{B}}(x'')&=A_{1}e^{\frac {x''}{L_{\text{B}}}}+A_{2}e^{-{\frac {x''}{L_{\text{B}}}}}\\\Delta n_{\text{c}}(x')&=B_{1}e^{\frac {x'}{L_{\text{B}}}}+B_{2}e^{-{\frac {x'}{L_{\text{B}}}}}\end{aligned}}}$

エミッターの境界条件は次のとおりです。

${\displaystyle \Delta n_{\text{E}}(0'')=n_{{\text{E}}O}\left(e^{{\frac {1}{kT}}qV_{\text{EB}}}-1\right)}$

定数およびの値は、エミッタ領域とコレクタ領域の次の条件により、ゼロになります。 ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle x''\rightarrow 0}$ ${\displaystyle x'\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta n_{\text{E}}(x'')&\rightarrow 0\\\Delta n_{\text{c}}(x')&\rightarrow 0\end{aligned}}}$

なので、との値はそれぞれとです。 ${\displaystyle A_{1}=B_{1}=0}$ ${\displaystyle \Delta n_{\text{E}}(0'')}$ ${\displaystyle \Delta n_{\text{c}}(0')}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta n_{\text{E}}(x'')&=n_{{\text{E}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)e^{-{\frac {x''}{L_{\text{E}}}}}\\\Delta n_{\text{C}}(x')&=n_{{\text{C}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)e^{-{\frac {x'}{L_{\text{C}}}}}\end{aligned}}}$

およびの式は評価できます。 ${\displaystyle I_{{\text{E}}n}}$ ${\displaystyle I_{{\text{C}}n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{\text{E}}n}&=\left.-qAD_{\text{E}}{\frac {d\Delta _{\text{E}}(x'')}{dx}}\right|_{x''=0''}\\I_{{\text{C}}n}&=-qA{\frac {D_{\text{C}}}{L_{\text{C}}}}n_{{\text{C}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\end{aligned}}}$

わずかな再結合が起こるため、 の2次導関数はゼロになります。したがって、過剰正孔密度と の間には線形関係があります。 ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)=D_{1}x+D_{2}}$

以下は の境界条件です。 ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p_{\text{B}}(0)&=D_{2}\\\Delta p_{\text{B}}(W)&=D_{1}W+\Delta p_{\text{B}}(0)\end{aligned}}}$

Wは底辺の幅です。上記の線形関係に代入します。

${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(x)=-{\frac {1}{W}}\left[\Delta p_{\text{B}}(0)-\Delta p_{\text{B}}(W)\right]x+\Delta p_{\text{B}}(0)}$

この結果から、 の値を導出します。 ${\displaystyle I_{{\text{E}}p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{\text{E}}p}(0)&=\left.-qAD_{\text{B}}{\frac {d\Delta p_{\text{B}}}{dx}}\right|_{x=0}\\I_{{\text{E}}p}(0)&={\frac {qAD_{\text{B}}}{W}}\left[\Delta p_{\text{B}}(0)-\Delta p_{\text{B}}(W)\right]\end{aligned}}}$

、、、の式を使用して、エミッタ電流の式を作成します。 ${\displaystyle I_{{\text{E}}p}}$ ${\displaystyle I_{{\text{E}}n}}$ ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(0)}$ ${\displaystyle \Delta p_{\text{B}}(W)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p_{\text{B}}(W)&=p_{{\text{B}}0}e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}\\\Delta p_{\text{B}}(0)&=p_{{\text{B}}0}e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}\\I_{\text{E}}&=qA\left[\left({\frac {D_{\text{E}}n_{{\text{E}}0}}{L_{\text{E}}}}+{\frac {D_{\text{B}}p_{{\text{B}}0}}{W}}\right)\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)-{\frac {D_{\text{B}}}{W}}p_{{\text{B}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\right]\end{aligned}}}$

同様にコレクタ電流の式も導出されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{\text{C}}p}(W)&=I_{{\text{E}}p}(0)\\I_{\text{C}}&=I_{{\text{C}}p}(W)+I_{{\text{C}}n}(0')\\I_{\text{C}}&=qA\left[{\frac {D_{\text{B}}}{W}}p_{{\text{B}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)-\left({\frac {D_{\text{C}}n_{{\text{C}}0}}{L_{\text{C}}}}+{\frac {D_{\text{B}}p_{{\text{B}}0}}{W}}\right)\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\right]\end{aligned}}}$

ベース電流の式は、これまでの結果から求められます。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{B}}&=I_{\text{E}}-I_{\text{C}}\\I_{\text{B}}&=qA\left[{\frac {D_{\text{E}}}{L_{\text{E}}}}n_{{\text{E}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{EB}}}{kT}}-1\right)+{\frac {D_{\text{C}}}{L_{\text{C}}}}n_{{\text{C}}0}\left(e^{\frac {qV_{\text{CB}}}{kT}}-1\right)\right]\end{aligned}}}$

参考文献と注釈

1. RC JaegerとT.N. Blalock (2004). マイクロエレクトロニクス回路設計. McGraw-Hill Professional. p. 317. ISBN 0-07-250503-6。
2. Massimo Alioto、Gaetano Palumbo (2005). 『バイポーラおよびMOS電流モードロジックのモデルと設計：CML、ECL、SCLデジタル回路』 Springer. ISBN 1-4020-2878-4。
3. Paolo Antognetti、Giuseppe Massobrio (1993). Spiceによる半導体デバイスモデリング. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-134955-3。
4. Wayback Machineにアーカイブ)このマニュアルは、Orcad PSpice の無料バージョンに含まれています。
5. RC Jaeger、T.N. Blalock (2004). Microelectronic Circuit Design (Second ed.). McGraw-Hill Professional. pp. Eq. 13.31, p. 891. ISBN 0-07-232099-0。
6. Shichman-Hodges Enhancement MOSFETモデルとSwitcherCAD III SPICE、レポートNDT14-08-2007、NanoDotTek、2007年8月12日^{[永久リンク切れ]}
7. RS Muller, Kamins TI & Chan M (2003). 集積回路用デバイスエレクトロニクス（第3版）. ニューヨーク: Wiley. p. 280 ff. ISBN 0-471-59398-2。

参照

• 小信号モデル

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