自動詞のサイコロ

Game variations and descriptions of intransitive die and their behaviour

サイコロの集合が非推移的（または非推移的）であるとは、その集合に、より大きい目が出る確率が半分以上、より大きい目が出る確率が半分以上、などであり、より大きい目が出る確率が半分以上ないという特性を持つサイコロが含まれている場合です。言い換えれば、サイコロの集合は、その要素における二項関係（XはYよりも大きい目が出る確率が半分以上）が推移的でない場合に非推移的です。もっと簡単に言えば、通常は に勝ち、通常は に勝ちますが、は通常 に勝ちません。 ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

より強い性質を持つサイコロセットも存在します。それは、セット内の各サイコロに対し、半分以上の確率でそれよりも高い目が出る別のサイコロが存在するというものです。これは、「通常は勝てない」という性質ではなく、「通常は勝つ」という性質を持つという点で異なります。このようなサイコロセットを用いることで、自動詞的なサイコロに慣れていない人が予想しないような、偏りのあるゲームを創り出すことができます（例を参照）。^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}}$

例

自動詞的なサイコロの例（反対側の面は表示されているものと同じ値を持ちます）。

次のサイコロのセットを考えてみましょう。

• サイコロAの面は2、2、4、4、9、9です。
• サイコロBの面は1、1、6、6、8、8です。
• サイコロCの面は3、3、5、5、7、7です。

A がBよりも高い数を出す確率、 BがCよりも高い数を出す確率、 CがAよりも高い数を出す確率はすべて⁠5/9⁠なので、このサイコロの集合は非自動詞的です。実際、この集合にはさらに強い性質があり、集合内の各サイコロに対して、半分以上の確率でそれよりも高い目が出る別のサイコロが存在します。

ここで、サイコロのセットを使ってプレイする次のゲームを考えてみましょう。

1. 最初のプレイヤーはセットからサイコロを 1 つ選びます。
2. 2 番目のプレイヤーは残りのサイコロから 1 つのサイコロを選択します。
3. 両方のプレイヤーがサイコロを振り、より高い数字を出したプレイヤーが勝ちます。

このゲームを推移的なサイコロの組み合わせでプレイする場合、公平であるか、あるいは先攻プレイヤーに有利に偏っているかのどちらかです。なぜなら、先攻プレイヤーは常に、他のどのサイコロにも半分以上の確率で負けないサイコロを見つけることができるからです。しかし、上記のサイコロの組み合わせでプレイする場合、ゲームは後攻プレイヤーに有利に偏っています。なぜなら、後攻プレイヤーは常に、先攻プレイヤーのサイコロに確率で勝つサイコロを見つけることができるからです。5/9⁠ . 次の表は、3 組のサイコロすべてで起こり得るすべての結果を示しています。

プレイヤー1はサイコロA を選択し、プレイヤー2はサイコロCを選択します。					プレイヤー1はサイコロB を選択し、プレイヤー2はサイコロAを選択します。					プレイヤー1はサイコロC を選択し、プレイヤー2はサイコロBを選択します。
あ C	2	4	9		B あ	1	6	8		C B	3	5	7
3	C	あ	あ		2	あ	B	B		1	C	C	C
5	C	C	あ		4	あ	B	B		6	B	B	C
7	C	C	あ		9	あ	あ	あ		8	B	B	B

重み付けされたサイコロ、つまり各面の確率の重みが不均等なサイコロを許容する場合、3つのサイコロを交互に並べることで、サイクル内の各サイコロが次のサイコロに勝つ確率よりもさらに大きな確率を達成できます。最大の確率は黄金比の1/1 、つまり です。^[5] ${\displaystyle {\frac {5}{9}}\approx 0.56}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}\approx 0.62}$

バリエーション

エフロンのサイコロ

エフロンダイスは、ブラッドリー・エフロンによって発明された4つの自動詞ダイスのセットである。^[4]

エフロンサイコロの図解。5・5・1のサイコロ（5の裏側は1、1の裏側は5）を除き、各サイコロの裏側は表側と同じ面になっています。

4 つのサイコロ A、B、C、D の 6 つの面には、次の数字が記されています。

• A: 4、4、4、4、0、0
• B: 3、3、3、3、3、3、3
• C: 6、6、2、2、2、2
• D: 5、5、5、1、1、1

各サイコロは、リスト内の前のサイコロにラップアラウンドで負けます。その確率は⁠2/3⁠ . C は A に勝つ確率⁠5/9⁠、BとDは互いに勝つ可能性が等しい。^[4]各プレイヤーがエフロンのサイコロを1セットずつ持っている場合、1人のプレイヤーにとって最適な戦略の連続体が存在し、その中で彼らは以下の確率でサイコロを選択する。ここで0 ≤ x ≤ ⁠3/7⁠ : ^[4]

P(Aを選択) = x

P(Bを選択) = ⁠1/2⁠ - ⁠5/6⁠ x

P(Cを選択) = x

P(Dを選択) = ⁠1/2⁠ - ⁠7/6⁠ x

ミウィンのサイコロ

ミウィンのサイコロ

ミウィンのサイコロは、1975 年に物理学者のマイケル・ウィンケルマンによって発明されました。

3つのサイコロIII、IV、Vのセットを考えてみましょう。

• サイコロIIIの面は1、2、5、6、7、9です
• サイコロIVの面は1、3、4、5、8、9です
• サイコロVの面は2、3、4、6、7、8です

それから：

• III が IV よりも高い数字を出す確率は⁠17/36⁠
• IVがVよりも高い数を出す確率は⁠17/36⁠
• VがIIIよりも高い数を出す確率は⁠17/36⁠

2人以上のプレイヤー向けの自動詞ダイスセット

複数の相手と競争できる自動詞サイコロのバリエーションを導入した人は数多くいます。

3人のプレイヤー

オスカーダイス

オスカー・ファン・デヴェンターは、7つのサイコロ（すべての面が確率⁠1/6⁠）は以下の通りである：^[6]

• A : 2、0、2、14、14、17、17
• B : 7、0、7、10、10、16、16
• C : 5、0、5、13、13、15、15
• D: 3, 0 3, 0 9, 0 9, 21, 21
• E : 1、0、1、12、12、20、20
• F: 6, 0 6, 0 8, 0 8, 19, 19
• G : 4、0、4、11、11、18、18

Aは{B,C,E}に勝ち、Bは{C,D,F}に勝ち、Cは{D,E,G}に勝ち、Dは{A,E,F}に勝ち、Eは{B,F,G}に勝ち、Fは{A,C,G}に勝ち、Gは{A,B,D}に勝つことが証明できます。したがって、任意に選んだ2つのサイコロに対して、その両方に勝つ3つ目のサイコロが存在します。つまり、

• G は {A,B} に勝ちます。F は {A,C} に勝ちます。G は {A,D} に勝ちます。D は {A,E} に勝ちます。D は {A,F} に勝ちます。F は {A,G} に勝ちます。
• A は {B,C} に勝ちます。G は {B,D} に勝ちます。A は {B,E} に勝ちます。E は {B,F} に勝ちます。E は {B,G} に勝ちます。
• B は {C,D} に勝ちます。A は {C,E} に勝ちます。B は {C,F} に勝ちます。F は {C,G} に勝ちます。
• C は {D,E} に勝ちます。B は {D,F} に勝ちます。C は {D,G} に勝ちます。
• D は {E,F} に勝ちます。C は {E,G} に勝ちます。
• Eは{F,G}に勝ちます。

2 人の対戦相手が何を選択しても、3 人目のプレイヤーは残りのサイコロのうち、2 人の対戦相手のサイコロよりも良いサイコロを 1 つ見つけます。

グライムダイス

ジェームズ・グライム博士は、次のような5つのサイコロのセットを発見しました。^{[7] [8]}

• A: 2、2、2、7、7、7
• B: 1、1、6、6、6、6
• C: 0、5、5、5、5、5、5
• D: 4、4、4、4、4、9
• E: 3、3、3、3、8、8

色は以下のように表示されることが多い

• A: 赤
• B: 青
• C: 緑
• D: 黄色
• E: マゼンタ

グライムダイス 1 セットを使用してゲームをプレイすると、次のことが確認できます。

• A は B に勝ち、B は C に勝ち、C は D に勝ち、E は A に勝ちます (最初のチェーン)。
• A は C に勝ち、C は E に勝ち、B は D に勝ち、D は A に勝ちます (2 番目のチェーン)。

しかし、このようなサイコロを2つ使ってゲームをプレイする場合、最初の連鎖はDがCに勝つという点を除いて同じですが、2番目の連鎖は逆になります（つまり、AがDに勝ち、BがEに勝ち、CがAに勝ちます）。その結果、2人の対戦相手がどんなサイコロを選んでも、3人目のプレイヤーは残りのサイコロの中から必ず2人とも勝つサイコロを1つ見つけることができます（ただし、プレイヤーが1つのサイコロを使うか2つのサイコロを使うかを選択できる場合）。

対戦相手が選んだセット		勝利のサイコロセット
		タイプ	番号
あ	B	E	1
あ	C	E	2
あ	D	C	2
あ	E	D	1
B	C	あ	1
B	D	あ	2
B	E	D	2
C	D	B	1
C	E	B	2
D	E	C	1

4人のプレイヤー

4人プレイでは少なくとも19個のサイコロが必要であることが証明されている。^{[7] [9]} 2024年7月にGitHubユーザーのNGeorgescuは、4人プレイの非推移的サイコロ問題の制約を満たす23個の11面サイコロのセットを公開した。^[10]このセットは学術雑誌に掲載されておらず、査読も受けていない。

ジョルジェスクダイス

2024年、アメリカの科学者ニコラス・S・ジョルジェスクは、4人のプレイヤーによる非推移的サイコロ問題を解決する23個のサイコロのセットを発見した。^[11]

4人プレイの自動詞的サイコロ勝利グラフ

0	40	61	83	105	116	158	173	203	213	234
1	29	46	89	109	119	153	175	196	226	243
2	41	54	72	113	122	148	177	189	216	252
3	30	62	78	94	125	143	179	205	229	238
4	42	47	84	98	128	138	181	198	219	247
5	31	55	90	102	131	156	183	191	209	233
6	43	63	73	106	134	151	162	184	222	242
7	32	48	79	110	137	146	164	200	212	251
8	44	56	85	114	117	141	166	193	225	237
9	33	64	91	95	120	159	168	186	215	246
10	45	49	74	99	123	154	170	202	228	232
11	34	57	80	103	126	149	172	195	218	241
12	23	65	86	107	129	144	174	188	208	250
13	35	50	69	111	132	139	176	204	221	236
14	24	58	75	92	135	157	178	197	211	245
15	36	66	81	96	115	152	180	190	224	231
16	25	51	87	100	118	147	182	206	214	240
17	37	59	70	104	121	142	161	199	227	249
18	26	67	76	108	124	160	163	192	217	235
19	38	52	82	112	127	155	165	185	207	244
20	27	60	88	93	130	150	167	201	220	230
21	39	68	71	97	133	145	169	194	210	239
22	28	53	77	101	136	140	171	187	223	248

李サイコロ

その後、Youhua Liは、4人対戦問題を解く、171面を持つ19個のサイコロのセットを開発した。これは、n個のノードを持つ支配グラフが与えられた場合、任意の数のサイコロに拡張可能であり、 n(n−1)/2面を持つサイコロを生成することが示された。^[12]

自動詞の12面サイコロ

自動詞的な6面サイコロと同様に、自動詞的な12面サイコロとして機能する正十二面体も存在します。それぞれのサイコロの目の合計は114になります。それぞれの正十二面体には重複する数字はありません。

Miwin の 12 面体 (セット 1) は、35:34 の比率で互いに周期的に勝ちます。

miwin の 12 面体 (セット 2) は、71:67 の比率で互いに周期的に勝ちます。

セット1:

D III	紫	1	2			5	6	7		9	10	11			14	15	16		18
D IV	赤	1		3	4	5			8	9	10		12	13	14			17	18
暴力	ダークグレー		2	3	4		6	7	8			11	12	13		15	16	17

• 
  D III
• 
  D IV
• 
  暴力

セット2:

D VI	シアン	1	2	3	4					9	10	11	12	13	14			17	18
D VII	洋ナシグリーン	1	2			5	6	7	8	9	10					15	16	17	18
D VIII	ライトグレー			3	4	5	6	7	8			11	12	13	14	15	16

• 
  D VI
• 
  D VII
• 
  D VIII

自動詞的な素数12面サイコロ

重複する数が存在せず、すべての数が素数であるような、自動詞的十二面体の集合を構成することも可能である。ミウィンの自動詞的素数十二面体は、互いに35:34の比率で周期的に勝利する。

セット 1: 数字を合計すると 564 になります。

PD 11	灰色から青	13	17	29	31	37	43	47	53	67	71	73	83
PD 12	灰色から赤	13	19	23	29	41	43	47	59	61	67	79	83
PD 13	灰色から緑	17	19	23	31	37	41	53	59	61	71	73	79

• 
  PD 11
• 
  PD 12
• 
  PD 13

セット 2: 数字を合計すると 468 になります。

PD1	オリーブからブルー	7	11	19	23	29	37	43	47	53	61	67	71
PD2	青緑色から赤色	7	13	17	19	31	37	41	43	59	61	67	73
PD3	紫から緑へ	11	13	17	23	29	31	41	47	53	59	71	73

• 
  PD1
• 
  PD2
• 
  PD3

一般化されたムニョス・ペレラの自動詞ダイス

面を持つ非推移的なサイコロの集合の一般化は可能である。^[13]が与えられているとき、サイコロの集合を、集合内の各値を取る確率変数として定義する 。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\geq 3}$ ${\displaystyle \{D_{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{v_{n,j}\}_{j=1}^{J}}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left[D_{n}=v_{n,j}\right]={\frac {1}{J}}}$、

つまり、公平なサイコロの面を持つことになります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle J}$

自動詞のサイコロのセットを得るには、式の 値を設定するだけで十分です。 ${\displaystyle v_{n,j}}$ ${\displaystyle n,j=1,2,\ldots ,N}$

${\displaystyle v_{n,j}=(j-1)N+(n-j){\text{mod}}(N)+1}$、

公平な面のサイコロのセットを入手する ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

この式を使うと、

${\displaystyle \mathbb {P} \left[D_{m}<D_{n}\right]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2N}}-{\frac {(n-m){\text{mod}}(N)}{N^{2}}}}$、

つまり、各サイコロはセット内のサイコロに勝ちます。 ${\displaystyle \lfloor N/2-1\rfloor }$

例

3つの顔

${\displaystyle D_{1}}$	1	6	8
${\displaystyle D_{2}}$	2	4	9
${\displaystyle D_{3}}$	3	5	7

この場合に得られるサイコロの集合は、このページの最初の例と同等ですが、重複する面を除いたものになります。 であることが確認できます。 ${\displaystyle D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{and}}\ D_{1}>D_{3}}$

4つの顔

${\displaystyle D_{1}}$	1	8	11	14
${\displaystyle D_{2}}$	2	5	12	15
${\displaystyle D_{3}}$	3	6	9	16
${\displaystyle D_{4}}$	4	7	10	13

ここでも次のことが確認できます。 ${\displaystyle D_{4}>D_{3},D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{and}}\ D_{1}>D_{4}}$

6つの顔

${\displaystyle D_{1}}$	1	12	17	22	27	32
${\displaystyle D_{2}}$	2	7	18	23	28	33
${\displaystyle D_{3}}$	3	8	13	24	29	34
${\displaystyle D_{4}}$	4	9	14	19	30	35
${\displaystyle D_{5}}$	5	10	15	20	25	36
${\displaystyle D_{6}}$	6	11	16	21	26	31

また。さらに。 ${\displaystyle D_{6}>D_{5},D_{5}>D_{4},D_{4}>D_{3},D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{and}}\ D_{1}>D_{6}}$ ${\displaystyle D_{6}>\{D_{5},D_{4}\},D_{5}>\{D_{4},D_{3}\},D_{4}>\{D_{3},D_{2}\},D_{3}>\{D_{2},D_{1}\},D_{2}>\{D_{1},D_{6}\}\ {\text{and}}\ D_{1}>\{D_{6},D_{5}\}}$

参照

• ブロットゲーム
• フライヴァルドのアルゴリズム
• 先攻サイコロ
• 非推移ゲーム
• じゃんけん
• コンドルセの投票パラドックス

参考文献

1. Weisstein, Eric W.「Efron's Dice」. Wolfram MathWorld . 2021年1月12日閲覧。
2. Bogomolny, Alexander . 「非推移的ダイス」. Cut the Knot . 2016年1月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。
3. サベージ、リチャード・P. (1994年5月). 「非推移的ダイスのパラドックス」.アメリカ数学月刊. 101 (5): 429– 436. doi :10.2307/2974903. JSTOR  2974903.
4. Rump, Christopher M. (2001年6月). 「エフロンダイスを振るための戦略」. Mathematics Magazine . 74 (3): 212– 216. doi :10.2307/2690722. JSTOR  2690722. 2021年1月12日閲覧。
5. トリブラ、スタニスワフ (1961)。 「3 つの確率変数のパラドックスについて」。アプリケーション数学。4 (5): 321–332。土井:10.4064/am-5-4-321-332。
6. Pegg, Ed Jr. (2005年7月11日). 「トーナメントダイス」.数学ゲーム.アメリカ数学協会. 2005年8月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年7月6日閲覧。
7. グライム、ジェームズ. 「非推移的ダイス」. 2016年5月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。
8. パシュート、ニコラス (2016). 「非推移的なグライムダイスの謎」.学部レビュー. 12 (1): 107– 115 – ブリッジウォーター州立大学経由.
9. Reid, Kenneth; McRae, AA; Hedetniemi, SM; Hedetniemi, Stephen (2004-01-01). 「トーナメントにおける支配と冗長性」. The Australasian Journal of Combinatorics [電子版のみ] . 29 .
10. Georgescu, Nicholas. "math_problems/intransitive.ipynb at main · NGeorgescu/math_problems". GitHub . 2025年3月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2025年3月27日閲覧。
11. ジョージスク、ニコラス S. (2024)。 「Georgescu Dice - 4 プレイヤー自動詞ソリューション」。GitHub。
12. 李佑華 (2024). 「Li Dice - 一般的な n プレイヤー拡張機能」。GitHub。
13. ムニョス・ペレラ、アドリアン。 「自動詞サイコロの一般化」(PDF) 。2024 年12 月 15 日に取得。

出典

• ガードナー、マーティン(2001). 『コロッサル・ブック・オブ・マスマティクス：古典的なパズル、パラドックス、そして問題：数論、代数、幾何学、確率、位相幾何学、ゲーム理論、無限大、そしてその他のレクリエーション数学の話題』（第1版）. ニューヨーク: WW Norton & Company. p. 286–311.^{[ ISBN がありません]}
• Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln (ドイツ語)。 Bildungsverlag Lemberger。ISBN 978-3-85221-531-0。

外部リンク

• MathWorldページ
• アイヴァース・ピーターソンの MathTrek - トリッキーダイス再考 (2002 年 4 月 15 日)
• ジム・ロイのパズルページ
• Miwin公式サイト（ドイツ語）
• オープンソースの非推移的サイコロファインダー
• ジェームズ・グライム著『非推移的ダイス』
• 数学ギア
• Conrey, B., Gabbard, J., Grant, K., Liu, A., & Morrison, K. (2016). Intransitive dice. Mathematics Magazine, 89(2), 133-143. アメリカ数学会賞^{[ permanent dead link ]}
• ティモシー・ガワーズの自動詞サイコロに関するプロジェクト
• エリカ・クラライヒ(2023年1月19日). 「数学者はサイコロを振ってじゃんけんをする」. Quanta Magazine .
• アドリアン・ムニョス・ペレラのサイト
• ブルース・カーリー著『マジシャンのための非推移的ギャンブルベット入門』。このテーマを扱った唯一の書籍です。

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