アインシュタインテンソル

Tensor used in general relativity

微分幾何学において、アインシュタインテンソル（アルバート・アインシュタインにちなんで名付けられ、トレース反転リッチテンソルとも呼ばれる）は、擬リーマン多様体の曲率を表すために使用される。一般相対論においては、エネルギーと運動量保存則と整合的な方法で時空の曲率を記述する重力に関するアインシュタイン場の方程式に現れる。

意味

アインシュタインテンソルは、擬リーマン多様体上に定義される2次のテンソルです。添字なしの表記では、 と定義されます。ここで、 はリッチテンソル、は計量テンソル、はスカラー曲率で、 はリッチテンソルの軌跡として⁠ ⁠によって計算されます。成分形式では、前の式は次のように表されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {G}}={\boldsymbol {R}}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {g}}R,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

アインシュタインテンソルは対称であり、オンシェル応力エネルギーテンソルと同様に発散はゼロである。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$ $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

明示的な形式

リッチテンソルは計量テンソルのみに依存するため、アインシュタインテンソルは計量テンソルのみで直接定義できます。しかし、この表現は複雑で、教科書ではあまり引用されていません。この表現の複雑さは、リッチテンソルの式をクリストッフェル記号で表すことで示せます。ここではクロネッカーテンソル、クリストッフェル記号は と定義され 、またはの項はμ方向の偏微分を表します。例： $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\beta \gamma ,\mu }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

キャンセルが発生する前は、この計算式は個々の用語を算出します。キャンセルが発生すると、この数値はいくらか減少します。 ${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$

点の近くの局所慣性座標系の特別な場合には、計量テンソルの1次微分はゼロとなり、アインシュタインテンソルの成分形式は大幅に単純化される。 ここで、角括弧は慣例的に括弧内の添字に対する反対称化を表す。すなわち、 $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

トレース

アインシュタインテンソルのトレースは、定義の式を計量テンソル ⁠ ⁠ と縮約することで計算できます。次元（任意の符号）において： ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

したがって、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=4}$次元の特殊なケースでは、 ⁠ ⁠ と ${\displaystyle G=-R}$なります。つまり、アインシュタインテンソルのトレースはリッチテンソルのトレースの負になります。したがって、アインシュタインテンソルはトレース反転リッチテンソルとも呼ばれます。このケースは、一般相対性理論において特に重要です。 ${\displaystyle n=4}$

一般相対論での使用

アインシュタインテンソルにより、アインシュタイン場の方程式を簡潔な形式で記述することができます。ここで、 は宇宙定数、はアインシュタイン重力定数です。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

アインシュタインテンソルの明示的な形から、アインシュタインテンソルは計量テンソルの非線形関数であるが、計量の2階偏微分に関しては線形であることがわかる。対称2階テンソルであるアインシュタインテンソルは、4次元空間において10個の独立成分を持つ。したがって、アインシュタイン場の方程式は、計量テンソルに対する10個の準線形2階偏微分方程式の集合である。

縮約されたビアンキ恒等式もアインシュタインテンソルの助けを借りて簡単に表現できます。 $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

（縮約された）ビアンキ恒等式は、曲がった時空における応力エネルギーテンソルの共変保存を自動的に保証する。 $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

この恒等式によって、アインシュタインテンソルの物理的意義が強調されます。キリングベクトル ⁠ ⁠ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$に収縮された稠密化された応力テンソルに関して、通常の保存則が成り立ちます。 $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\ T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

ユニークさ

デイヴィッド・ラブロックは、4次元微分可能多様体において、アインシュタインテンソルが、その最大1次および2次偏導関数の唯一のテンソルかつ発散のない関数であることを示した。 ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

しかし、アインシュタイン場の方程式は、3つの条件を満たす唯一の方程式ではない。^[6]

1. ニュートン・ポアソン重力方程式に似ているが一般化している
2. すべての座標系に適用し、
3. 任意の計量テンソルに対してエネルギーと運動量の局所共変保存を保証します。

上記の条件を満たすアインシュタイン・カルタン理論など、多くの代替理論が提案されています。

参照

• 物理学ポータル

• 短縮されたビアンキのアイデンティティ
• ヴェルメイユの定理
• 一般相対性理論の数学
• 一般相対性理論のリソース

注記

1. ラブロック, D. (1971). 「アインシュタインテンソルとその一般化」.ジャーナル・オブ・マスマティカル・フィジックス. 12 (3): 498– 502. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 .
2. ラブロック, D. (1972). 「空間の4次元性とアインシュタインテンソル」 .数理物理学ジャーナル. 13 (6): 874– 876. Bibcode :1972JMP....13..874L. doi :10.1063/1.1666069.
3. Lovelock, D. (1969). 「4次元空間におけるアインシュタイン場の方程式の一意性」. Rational Mechanics and Analysis アーカイブ. 33 (1): 54– 70. Bibcode :1969ArRMA..33...54L. doi :10.1007/BF00248156. S2CID  119985583.
4. Farhoudi, M. (2009). 「一般化アインシュタインテンソルとしてのラブロックテンソル」.一般相対性理論と重力. 41 (1): 17– 29. arXiv : gr-qc/9510060 . Bibcode :2009GReGr..41..117F. doi :10.1007/s10714-008-0658-9. S2CID  119159537.
5. リンドラー、ヴォルフガング(2001). 『相対性理論：特殊相対性、一般相対性、そして宇宙論的相対性』オックスフォード大学出版局. p. 299. ISBN 978-0-19-850836-6。
6. シュッツ、バーナード（2009年5月31日）『一般相対性理論入門』（第2版）ケンブリッジ大学出版局、185ページ。ISBN 978-0-521-88705-2。

参考文献

• オハニアン、ハンス・C.、レモ・ルッフィーニ（1994年）『重力と時空』（第2版）WWノートン社ISBN 978-0-393-96501-8。
• マーティン、ジョン・レガット (1995).一般相対性理論：物理学者のための入門コース. プレンティス・ホール国際物理学・応用物理学シリーズ（改訂版）.プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-291196-2。

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