アイゼンシュタイン整数

数学において、アイゼンシュタイン整数（ゴットホルト・アイゼンシュタインにちなんで名付けられた）は、時にはオイラー整数（レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた）とも呼ばれ^、次の形式の複素数である。

z=a+b\omega ,

ここで $a$ と $b$ は整数であり、

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}

は、原始的な（したがって非実数の）1 の立方根です。

アイゼンシュタイン整数は複素平面上で三角格子を形成し、ガウス整数は複素平面上で正方格子を形成するのとは対照的である。アイゼンシュタイン整数は可算無限集合である。

プロパティ

アイゼンシュタイン整数は、代数体 $Q$ $($ $ω$ $)$ （第三円分体）における代数的整数の可換環を形成する。アイゼンシュタイン整数が代数的整数であることを確認するには、各 $z$ $=$ $a$ $+$ $bω$ がモニック多項式の根であることに注意する。

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.

特に、 $ωは$ 次の式を満たす。

\omega ^{2}+\omega +1=0~.

$2つのアイゼンシュタイン整数a + bω$ と $c + dω$ の積は次のように明示的に与えられる。

(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.

アイゼンシュタイン整数の2ノルムは、その2乗した係数であり、次のように与えられる。

{\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,

これは明らかに正の通常の（有理）整数です。

また、 $ω$ の複素共役は

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.

この環の単位群は、複素平面上の6乗根 ${\pm1, \pm$ $ω$ $, \pm$ $ω$ $2$ $} （ノルム$ $1$ のアイゼンシュタイン整数）によって形成される巡回群です。

ユークリッド領域

アイゼンシュタイン整数環はユークリッド領域を形成し、そのノルム $N$ は上記のように平方係数で与えられます。

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

任意の被除数 $α$ と除数 $β$ $\neq 0$ に適用された除算アルゴリズムは、次の式を満たす商 $κ$ と除数より小さい余り $ρ$ を生じます。

\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).

ここで、 $α$ 、 $β$ 、 $κ$ 、 $ρ$ はすべてアイゼンシュタイン整数です。このアルゴリズムはユークリッドの互除法を導き、ユークリッドの補題とアイゼンシュタイン整数からアイゼンシュタイン素数への一意因数分解を証明します。

除算アルゴリズムの一つは次のとおりです。まず複素数体で除算を行い、その商を $ω$ で表します。

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

有理数 $a 、 b\inQ について$ 、有理数係数を最も近い整数に丸めてアイゼンシュタイン整数商を求める $。$

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

ここでは、標準的な整数への丸め関数のいずれかを表すことができます。 $\lfloor x\rceil$

$これがN (ρ) < N (β)$ を満たす一方で、他のほとんどの二次整数環では類似の手順が失敗する理由は、次のとおりです。複素平面上で並進運動によって作用するイデアル $Z$ $[$ $ω$ $]$ $β$ $=$ $Z$ $β$ $+$ $Z$ $ωβ$ の基本領域は、頂点 $0$ 、 $β$ 、 $ωβ$ 、 $β$ $+$ $ωβ$ を持つ 60°–120° の菱形です。任意のアイゼンシュタイン整数 $α$ はこの平行四辺形の並進運動の 1 つの内側にあり、商 $κ$ はその頂点の 1 つです。剰余は $α$ からこの頂点までの 2 乗距離ですが、このアルゴリズムで可能な最大距離はだけなのでです。( $ρ$ のサイズは、 $κ を$ 最も近い角とすることでわずかに小さくすることができます。) ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$

アイゼンシュタインの素数

$小さなアイゼンシュタイン素数。緑の軸上にある素数は、 3 n + 2$ の形の自然素数と関連付けられます。それ以外の素数は、絶対値が3、または $3 n + 1$ の形の自然素数の平方根に等しくなります。

$x$ と $y が$ アイゼンシュタイン整数であるとき、 $y$ $=$ $zx$ を満たすアイゼンシュタイン整数 $z$ が存在するとき、 $x は$ $y を$ 割り切るといいます。単位のないアイゼンシュタイン整数 $xは、その唯一の単位のない約数が$ $uxの形（$ $u$ は6つの単位のいずれか）であるとき、アイゼンシュタイン素数と呼ばれます。これらは、ガウス整数におけるガウス素数に対応する概念です。

アイゼンシュタイン素数には2つの種類があります。

$2 mod 3$ と一致する通常の素数(または有理数素数)もアイゼンシュタイン素数です。
$3と、$ $1 mod 3$ に合同な各有理数素数は、アイゼンシュタイン整数 $x$ $+$ $ωy$ のノルム $x 2 - xy + y 2$ $に等しい。したがって、このような素数は($ $x$ $+$ $ωy$ $)($ $x$ $+$ $ω$ $2$ $y$ $)$ と因数分解することができ、これらの因数はアイゼンシュタイン素数である。つまり、ノルムが有理数素数であるアイゼンシュタイン整数と全く同じである。

2番目のタイプでは、 $3$ 、およびの因数は:と関連しているため、一部の書籍では特別なタイプとみなされています。^[2]^[3] $1-\omega$ $1-\omega ^{2}$ $1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})$

$3 n - 1 の$ 形の最初のいくつかのアイゼンシュタイン素数は次のとおりです。

2、5、11、17、23、29、41、47、53、59、71、83、89、101、...（OEISのシーケンスA003627 ）。

$0$ または $1$ を法として $3$ と合同な自然素数はアイゼンシュタイン素数ではない。^{[4]これらは} $Z [ω]$ において非自明な因数分解を許す。例えば、

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 = (3 + ω)(2 - ω)

.

一般に、自然素数 $pが$ $3$ を法とする1で $あり、したがって$ $p$ $=$ $a$ $2$ $-$ $ab$ $+$ $b$ $2$ と書ける場合、 $Z$ $[$ $ω$ $]$ 上で因数分解すると

p = (a + bω)((a - b) - bω)

。

いくつかの非実数アイゼンシュタイン素数は

2 + ω

、

3 + ω

、

4 + ω

、

5 + 2 ω

、

6 + ω

、

7 + ω

、

7 + 3 ω

。

$共役性と単位倍数を除き、上に挙げた素数は、 2$ および $5$ とともに、絶対値が $7 を$ 超えないアイゼンシュタイン素数です。

2023年10月現在^[update]、最大の実アイゼンシュタイン素数は、ペーテル・サボルチとPrimeGridによって発見された12番目に大きい素数 $10223 \times 2 31172165 + 1$ である。^[5]

エイゼンシュタインシリーズ

$0を$ 除くすべてのアイゼンシュタイン整数の逆数の4乗の和は $0$ である。^[6]はj不変なの根である。一般にのとき、かつのときのみである。^[7] $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ $e^{2\pi i/3}$ $G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ $k\not \equiv 0{\pmod {6}}$

$0$ を除くすべてのアイゼンシュタイン整数の6乗の逆数の和はガンマ関数で表すことができます。ここで $E$ はアイゼンシュタイン整数、 $G6$ $は$ 重み6のアイゼンシュタイン級数です。^[8] $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}\approx 5.86303$

商 $C$ アイゼンシュタイン整数によって

複素平面 $C$ をすべてのアイゼンシュタイン整数を含む格子で割ったものは、実数次元 $2の$ 複素トーラスである。これは、そのような複素トーラスの中で最大の対称性を持つ2つのトーラスのうちの1つである。 ^[9]このトーラスは、正六角形の3組の対辺をそれぞれ特定することによって得られる。

もう1つの最大対称トーラスは、複素平面をガウス整数の加法格子で割った商であり、 $[0, 1] \times [0, 1]$ などの正方形基本領域の2組の反対側の辺をそれぞれ識別することによって得られます。

参照

注記

^ スラーニ、ラースロー (1997)。代数。タイポテックス。 p. 73.およびミハイ・ザライ (1991)。シャーメルメレット。タンコニフキアド。 p. 75.これらの数を「オイラー整数」、つまりオイラー整数と呼ぶ。後者は、オイラーが証明においてこれらの数を用いたと主張している。
^ ワイスタイン、エリック・W.「アイゼンシュタイン整数」.マスワールド。
^ Cox, David A. (1997-05-08). 素数 x²+ny²：フェルマー、類体理論、複素乗算(PDF) . Wiley. p. 77. ISBN 0-471-19079-9。
^ 「 X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} は F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} において p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} の場合に限って可約である」。
^ 「既知の最大素数」. The Prime Pages . 2023年2月27日閲覧。
^ 「j 関数のゼロとは何ですか?」
^ 「G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} 、G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} 、ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} であることを示してください」。
^ 「Entry 0fda1b – Fungrim: The Mathematical Functions Grimoire」. fungrim.org . 2023年6月22日閲覧。
^ "18.783 楕円曲線講義 18" (PDF) . MIT 数学. p. 8.の複雑な構造を定義するために、に注目することができます。問題を複雑にする3つの点があります。補題をにおけるの安定因子とします。およびとします。すると $X(1)$ ${\mathcal {F}}^{*}$ $i,\rho :=e^{2\pi i/3},\infty$ $G_{\tau }$ $\tau \in {\mathcal {F}}^{*}$ $\Gamma$ $S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$ $T=\left({\begin{array}{ll}1&1\\0&1\end{array}}\right)$ $G_{\tau }={\begin{cases}\{\pm I\}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau \notin \{i,\rho ,\infty \}\\\langle S\rangle \simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =i;\\\langle ST\rangle \simeq \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =\rho \\\langle \pm T\rangle \simeq \mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =\infty \end{cases}}$
^ Weeks, Jeffrey (2001). The Shape of Space . CRC Press. p. 115.図7.13 六角形の反対側の辺を物理的に接着するには、六角形をドーナツ面の形状に変形する必要があります。したがって、抽象的に接着された辺を持つ六角形は、トーラスと同じ大域的位相を持ちます。

外部リンク

アイゼンシュタイン整数 - MathWorldより

[euler-name-1] スラーニ、ラースロー (1997)。代数。タイポテックス。 p. 73.およびミハイ・ザライ (1991)。シャーメルメレット。タンコニフキアド。 p. 75.これらの数を「オイラー整数」、つまりオイラー整数と呼ぶ。後者は、オイラーが証明においてこれらの数を用いたと主張している。

[2] ワイスタイン、エリック・W.「アイゼンシュタイン整数」.マスワールド。

[3] Cox, David A. (1997-05-08). 素数 x²+ny²：フェルマー、類体理論、複素乗算(PDF) . Wiley. p. 77. ISBN 0-471-19079-9。

[4] 「 X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} は F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} において p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} の場合に限って可約である」。

[5] 「既知の最大素数」. The Prime Pages . 2023年2月27日閲覧。

[6] 「j 関数のゼロとは何ですか?」

[7] 「G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} 、G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} 、ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} であることを示してください」。

[8] 「Entry 0fda1b – Fungrim: The Mathematical Functions Grimoire」. fungrim.org . 2023年6月22日閲覧。

[9] "18.783 楕円曲線講義 18" (PDF) . MIT 数学. p. 8.の複雑な構造を定義するために、に注目することができます。問題を複雑にする3つの点があります。補題をにおけるの安定因子とします。およびとします。すると $X(1)$ ${\mathcal {F}}^{*}$ $i,\rho :=e^{2\pi i/3},\infty$ $G_{\tau }$ $\tau \in {\mathcal {F}}^{*}$ $\Gamma$ $S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$ $T=\left({\begin{array}{ll}1&1\\0&1\end{array}}\right)$ $G_{\tau }={\begin{cases}\{\pm I\}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau \notin \{i,\rho ,\infty \}\\\langle S\rangle \simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =i;\\\langle ST\rangle \simeq \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =\rho \\\langle \pm T\rangle \simeq \mathbb {Z} &{\text{ if }}\tau =\infty \end{cases}}$

[10] Weeks, Jeffrey (2001). The Shape of Space . CRC Press. p. 115.図7.13 六角形の反対側の辺を物理的に接着するには、六角形をドーナツ面の形状に変形する必要があります。したがって、抽象的に接着された辺を持つ六角形は、トーラスと同じ大域的位相を持ちます。

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