弾性率

弾性係数（弾性係数( MOE )とも呼ばれる）は、応力が加えられたときに物体または物質が弾性的に（つまり、永久的に）変形することに対する抵抗を表す量です。

意味

物体の弾性率は、弾性変形領域における応力-ひずみ曲線の傾きとして定義されます。 ^{[1] より}硬い材料はより高い弾性率を持ちます。弾性率は以下の式で表されます。

\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}

ここで、応力は変形を引き起こす力を力が加えられる面積で割ったものであり、ひずみは変形によって引き起こされるあるパラメータの変化とそのパラメータの元の値の比です。

ひずみは無次元量なので、の単位は応力の単位と同じになります。^[2] $\delta$

弾性定数と弾性率

弾性定数は、材料の応力に対する剛性を定量化する特定のパラメータであり、材料の弾性特性を定義する上で基本的なものです。これらの定数は、テンソル表記における剛性行列の要素を形成し、異方性材料において線形方程式を通して応力とひずみを関連付けます。一般的にC _ijklと表記され、i、j、k、lは座標方向です。これらの定数は、様々な荷重下での材料の変形を理解する上で不可欠です。^[3]

弾性率の種類

応力とひずみの測定方法（方向を含む）を規定することで、様々な種類の弾性係数を定義できます。主なものは以下の4つです。

ヤング率（ E）は、引張弾性と圧縮弾性、つまりある軸に沿って反対の力が加えられた際に物体が軸に沿って変形する傾向を表します。引張応力と引張ひずみの比として定義されます。単に弾性率と呼ばれることもあります。
せん断弾性係数（Gまたはラメの第二パラメータ）は、物体が反対の力を受けた際にせん断する傾向（定積における形状の変形）を表します。せん断弾性係数は、せん断応力とせん断ひずみの比として定義されます。せん断弾性係数は、粘性係数の導出に使用されます。 $\mu \,$
体積弾性率（K）は、体積弾性率、つまり物体があらゆる方向に均一な荷重を受けた際にあらゆる方向に変形する傾向を表します。体積弾性率は体積応力÷体積ひずみとして定義され、圧縮率の逆数です。体積弾性率は、ヤング率を3次元に拡張したものです。
曲げ弾性率( E _{flex ) は、}モーメントが作用したときに物体が曲がる傾向を表します。

他の2つの弾性係数は、ラメの第一パラメータλとP波弾性係数Mです。これらは、下記の参考文献に示す弾性係数比較表で使用されています。均質かつ等方性（全方向で相似）の材料（固体）は、その（線形）弾性特性が2つの弾性係数によって完全に記述され、任意のペアを選択できます。1つの弾性係数が与えられれば、他のすべての弾性係数は、ページ末尾の表の式に従って計算できます。

静止状態の流体は、せん断応力に耐えられないという点で特殊であり、せん断弾性率は常にゼロとなります。これは、このグループのヤング率も常にゼロであることを意味します。流体が固体表面に対して運動する場合、表面近傍のせん断応力を受け、粘性現象が生じます。

いくつかの文献では、弾性係数は弾性定数と呼ばれ、その逆の量は弾性係数と呼ばれます。

密度汎関数理論計算

密度汎関数理論（DFT）は、機械的応力に対する材料の反応の明確な特徴を示す様々な弾性係数を決定するための信頼性の高い手法を提供します。VASP、Quantum ESPRESSO、ABINITなどのDFTソフトウェアを活用しましょう。k 点メッシュの密度、平面波のカットオフエネルギー、シミュレーションセルのサイズなどの計算パラメータが結果に影響を及ぼすかどうかを確認するために、テストを実施してください。

ヤング率（E） - 特定の軸に沿って格子定数に小さな増分変化を与え、DFTを用いて対応する応力応答を計算する。ヤング率はE = σ / ϵとして計算される。ここでσは応力、ϵはひずみである。^[4]
1. 初期構造：物質の緩和構造から始める。変形を加える前に、すべての原子は最小エネルギー状態（つまり、原子に力が全くかからない最小エネルギー状態）にあるべきである。^[5]
2. 増分一軸ひずみ：結晶格子に特定の軸に沿って小さな増分ひずみを加える。このひずみは通常一軸性であり、他の寸法は一定または周期的に維持しながら、格子を一方向に伸縮させる。
3. 応力の計算：各ひずみ状態について、DFT計算を実行し、結果として得られる応力テンソルを計算します。これには、コーン・シャム方程式を解き、ひずみ状態における基底状態の電子密度とエネルギーを求めることが含まれます。
4. 応力-ひずみ曲線：計算された応力と印加ひずみの関係をプロットして、応力-ひずみ曲線を作成します。この曲線の最初の直線部分の傾きがヤング率となります。数学的には、ヤング率 EはE = σ / ϵという式で計算されます。ここで、σは応力、ϵはひずみです。
せん断弾性率（G）
1. 初期構造：物質の緩和構造から始めます。変形を加える前は、すべての原子は残留力がゼロの最小エネルギー状態（つまり、原子に作用する力がゼロの最小エネルギー状態）にある必要があります。
2. せん断ひずみの適用：材料に小さなせん断ひずみを加える。せん断ひずみは通常、ひずみテンソルの非対角成分であり、結晶セルの形状には影響しますが、体積には影響しません。^[6]
3. 応力計算:せん断ひずみが適用された各構成について、DFT 計算を実行して結果として得られる応力テンソルを決定します。
4. せん断応力対せん断ひずみ曲線：計算されたせん断応力を、各増分における印加せん断ひずみに対してプロットします。応力-ひずみ曲線の線形領域における傾きは、せん断弾性率G = τ / γを与えます。ここで、 τはせん断応力、γは印加せん断ひずみです。
体積弾性率（K）
1. 初期構造：材料を緩和した状態から始めます。材料が完全に最適化され、体積の変化が加えられた圧力のみによるものであることが不可欠です。
2. 体積変化：結晶セルの体積を段階的に変化させ、圧縮または膨張させます。これは通常、格子定数を均一にスケーリングすることによって行われます。
3. 圧力の計算：変更された体積ごとにDFT計算を実行し、その体積を維持するために必要な圧力を決定します。DFTでは、内部圧力を直接測定できる応力テンソルを計算できます。
4. 圧力-体積曲線：印加圧力と体積変化の関係をプロットする。体積弾性率は、線形弾性領域におけるこの曲線の傾きから計算できる。体積弾性率はK =− VdV / dPと定義される。ここで、Vは元の体積、dPは圧力変化、dVは体積変化である。^[7]

参照

参考文献

^ アスケランド, ドナルド・R.; フーレ, プラディープ・P. (2006). 『材料の科学と工学』（第5版）. Cengage Learning. p. 198. ISBN 978-0-534-55396-8。
^ ビール, フェルディナンド・P.; ジョンストン, E.・ラッセル; デウルフ, ジョン; マズレク, デイヴィッド (2009). 『材料力学』マグロウヒル. p. 56. ISBN 978-0-07-015389-9。
^ シュライバー, エドワード; アンダーソン, O.L.; 曽我, 直弘 (1974).弾性定数とその測定. ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 978-0-07-055603-4。
^ Alasfar, Reema H.; Ahzi, Said; Barth, Nicolas; Kochkodan, Viktor; Khraisheh, Marwan; Koç, Muammer (2022-01-18). 「ポリマーおよびポリマーナノ複合材料の弾性係数と降伏応力のモデリングに関するレビュー：温度、荷重速度、および多孔度の影響」. Polymers . 14 (3): 360. doi : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360. PMC 8838186. PMID 35160350 .
^ Hadi, MA; Christopoulos, S.-RG; Chroneos, A.; Naqib, SH; Islam, AKMA (2022-08-18). 「Sc系初のMAX相Sc2SnCにおける電子構造、機械的挙動、格子ダイナミクス、および欠陥プロセスに関するDFTによる知見」. Scientific Reports . 12 (1): 14037. doi :10.1038/s41598-022-18336-z. ISSN 2045-2322. PMC 9388654. PMID 35982080 .
^ Ahmed, Razu; Mahamudujjaman, Md; Afzal, Md Asif; Islam, Md Sajidul; Islam, RS; Naqib, SH (2023年5月). 「DFTに基づくいくつかの二元遷移金属炭化物XC (X = Nb, Ta, Ti)の物理的特性の比較分析」. Journal of Materials Research and Technology . 24 : 4808– 4832. doi : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854.
^ Choudhary, Kamal; Cheon, Gowoon; Reed, Evan; Tavazza, Francesca (2018-07-12). 「ファンデルワールス密度汎関数法を用いたバルクおよび低次元材料の弾性特性」. Physical Review B. 98 ( 1) 014107. arXiv : 1804.01033 . Bibcode :2018PhRvB..98a4107C. doi :10.1103/PhysRevB.98.014107. ISSN 2469-9950. PMC 7067065. PMID 32166206 .

さらに読む

ハルツイカー、C. JW ウェルマン (2001)。工学力学。 2巻。スプリンガー。ISBN 978-1-4020-4123-5。

De Jong, M.; Chen, Wei (2015). 「無機結晶化合物の完全な弾性特性の図表化」. Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode :2013NatSD...2E0009D. doi :10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348 .

変換式
均質等方性線形弾性材料の弾性特性は、これらのうちの任意の 2 つの係数によって一意に決定されます。したがって、任意の 2 つの係数が与えられれば、他の任意の弾性係数は、3D 材料 (表の最初の部分) と 2D 材料 (2 番目の部分) の両方で提供されているこれらの式に従って計算できます。
3D式	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	注記
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ 有効な解は2つあります。プラス記号はとなります。 $\nu \geq 0$ マイナス記号はにつながります。 $\nu \leq 0$
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	使用できないとき $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D式	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	注記
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	使用できないとき $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] アスケランド, ドナルド・R.; フーレ, プラディープ・P. (2006). 『材料の科学と工学』（第5版）. Cengage Learning. p. 198. ISBN 978-0-534-55396-8。

[2] ビール, フェルディナンド・P.; ジョンストン, E.・ラッセル; デウルフ, ジョン; マズレク, デイヴィッド (2009). 『材料力学』マグロウヒル. p. 56. ISBN 978-0-07-015389-9。

[3] シュライバー, エドワード; アンダーソン, O.L.; 曽我, 直弘 (1974).弾性定数とその測定. ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 978-0-07-055603-4。

[4] Alasfar, Reema H.; Ahzi, Said; Barth, Nicolas; Kochkodan, Viktor; Khraisheh, Marwan; Koç, Muammer (2022-01-18). 「ポリマーおよびポリマーナノ複合材料の弾性係数と降伏応力のモデリングに関するレビュー：温度、荷重速度、および多孔度の影響」. Polymers . 14 (3): 360. doi : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360. PMC 8838186. PMID 35160350 .

[5] Hadi, MA; Christopoulos, S.-RG; Chroneos, A.; Naqib, SH; Islam, AKMA (2022-08-18). 「Sc系初のMAX相Sc2SnCにおける電子構造、機械的挙動、格子ダイナミクス、および欠陥プロセスに関するDFTによる知見」. Scientific Reports . 12 (1): 14037. doi :10.1038/s41598-022-18336-z. ISSN 2045-2322. PMC 9388654. PMID 35982080 .

[6] Ahmed, Razu; Mahamudujjaman, Md; Afzal, Md Asif; Islam, Md Sajidul; Islam, RS; Naqib, SH (2023年5月). 「DFTに基づくいくつかの二元遷移金属炭化物XC (X = Nb, Ta, Ti)の物理的特性の比較分析」. Journal of Materials Research and Technology . 24 : 4808– 4832. doi : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854.

[7] Choudhary, Kamal; Cheon, Gowoon; Reed, Evan; Tavazza, Francesca (2018-07-12). 「ファンデルワールス密度汎関数法を用いたバルクおよび低次元材料の弾性特性」. Physical Review B. 98 ( 1) 014107. arXiv : 1804.01033 . Bibcode :2018PhRvB..98a4107C. doi :10.1103/PhysRevB.98.014107. ISSN 2469-9950. PMC 7067065. PMID 32166206 .