Mathematical model of how solid objects deform
線形弾性 は、固体が所定の荷重条件によってどのように 変形し 、内部 応力を 受けるかを数学的にモデル化するものです。これは、より一般的な 非線形弾性理論を簡略化したものであり、 連続体力学 の一分野です 。
線形弾性の基本的な仮定は、 微小ひずみ （つまり「小さな」変形）と、応力とひずみの成分間の線形関係です。これが線形弾性の名称の「線形」の由来です。線形弾性は、 降伏 を生じない応力状態に対してのみ有効です。その仮定は、多くの工学材料や工学設計のシナリオにおいて妥当です。そのため、線形弾性は 構造解析や工学設計において広く用いられており、多くの場合、 有限要素解析 が用いられます 。
線形弾性 境界値問題を支配する方程式は 、線形運動量の釣合い に関する3つの テンソル 偏微分方程式 と、6つの 微小ひずみ - 変位 関係に基づいています 。
この微分方程式系は、一連 の線形 代数的 構成関係 によって完成されます
座標系の選択に依存しない 直接 テンソル形式では、これらの支配方程式は次のようになります。 [1]
コーシー運動量方程式は、 ニュートン力学の第二法則 を表す 。対流形式では次のように表される。 ∇ ⋅ σ + F = ρ u ¨ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}} ひずみ-変位 方程式: ε = 1 2 [ ∇ u + ( ∇ u ) T ] {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]} 構成方程式 。弾性材料の場合、 フックの法則は 材料の挙動を表し、未知の応力とひずみを関連付けます。フックの法則の一般的な方程式は次のとおりです。 σ = C : ε , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},} ここで 、 は コーシー応力テンソル 、 は 微小ひずみ テンソル、 は 変位ベクトル 、 は 4 次 剛性テンソル 、 は 単位体積あたりの 体積力 、は質量密度、 は ナブラ 演算子 、 は転置 、は 時間 に関する 2 番目の 物質微分 、は 2 つの 2 次テンソルの内積です (繰り返されるインデックスの合計が暗黙的に計算されます)。 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} ε {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}} u {\displaystyle \mathbf {u} } C {\displaystyle {\mathsf {C}}} F {\displaystyle \mathbf {F} } ρ {\displaystyle \rho } ∇ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}} ( ∙ ) T {\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }} ( ∙ ) ¨ {\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}} A : B = A i j B i j {\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}
直交座標 系に関する成分で表すと 、線形弾性の支配方程式は次のようになります。 [1]
運動方程式 : ここで 、 下付き文字は の省略形であり 、 はコーシー 応力 テンソル、 は体積 力密度 、 は質量密度、 は変位を 示します。 σ j i , j + F i = ρ ∂ t t u i {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}} ( ∙ ) , j {\displaystyle {(\bullet )}_{,j}} ∂ ( ∙ ) / ∂ x j {\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}} ∂ t t {\displaystyle \partial _{tt}} ∂ 2 / ∂ t 2 {\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}} σ i j = σ j i {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}} F i {\displaystyle F_{i}} ρ {\displaystyle \rho } u i {\displaystyle u_{i}}
これらは、 6 つの独立した未知数 (応力) を持つ3 つの 独立した方程式です。
エンジニアリング表記法では、次のようになります。 ∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = ρ ∂ 2 u x ∂ t 2 ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = ρ ∂ 2 u y ∂ t 2 ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = ρ ∂ 2 u z ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}} ひずみ-変位 方程式： ここで はひずみです。これらは、ひずみと変位を9つの独立した未知数（ひずみと変位）と関連付ける6つの独立した方程式です。 ε i j = 1 2 ( u j , i + u i , j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})} ε i j = ε j i {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}
エンジニアリング表記法では、次のようになります。 ϵ x = ∂ u x ∂ x ϵ y = ∂ u y ∂ y ϵ z = ∂ u z ∂ z γ x y = ∂ u x ∂ y + ∂ u y ∂ x γ y z = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y γ z x = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}} 構成方程式 。フックの法則の式は次の通りです。 ここで は剛性テンソルです。これらは応力とひずみを関連付ける6つの独立した方程式です。応力テンソルとひずみテンソルの対称性の要件により、多くの弾性定数が等しくなり、異なる要素の数は21に削減されます [2] 。 σ i j = C i j k l ε k l {\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}} C i j k l {\displaystyle C_{ijkl}} C i j k l = C k l i j = C j i k l = C i j l k {\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}} 等方性均質媒体の弾性静力学的境界値問題は、15個の独立方程式と同数の未知数（3個の平衡方程式、6個のひずみ-変位方程式、および6個の構成方程式）からなる系である。境界条件を指定することにより、境界値問題は完全に定義される。この系を解くには、境界値問題の境界条件に応じて、 変位定式化 と 応力定式化の 2つのアプローチが考えられる。
円筒座標（ ）における運動方程式は [1] であり、 ひずみ-変位関係はであり 、構成関係は直交座標の場合と同じですが、添え字1、2、3がそれぞれ 、、、 を表す点が異なります r , θ , z {\displaystyle r,\theta ,z} ∂ σ r r ∂ r + 1 r ∂ σ r θ ∂ θ + ∂ σ r z ∂ z + 1 r ( σ r r − σ θ θ ) + F r = ρ ∂ 2 u r ∂ t 2 ∂ σ r θ ∂ r + 1 r ∂ σ θ θ ∂ θ + ∂ σ θ z ∂ z + 2 r σ r θ + F θ = ρ ∂ 2 u θ ∂ t 2 ∂ σ r z ∂ r + 1 r ∂ σ θ z ∂ θ + ∂ σ z z ∂ z + 1 r σ r z + F z = ρ ∂ 2 u z ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}} ε r r = ∂ u r ∂ r ; ε θ θ = 1 r ( ∂ u θ ∂ θ + u r ) ; ε z z = ∂ u z ∂ z ε r θ = 1 2 ( 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ) ; ε θ z = 1 2 ( ∂ u θ ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ θ ) ; ε z r = 1 2 ( ∂ u r ∂ z + ∂ u z ∂ r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } z {\displaystyle z}
球座標（ ）における運動方程式は [1]である r , θ , ϕ {\displaystyle r,\theta ,\phi } ∂ σ r r ∂ r + 1 r ∂ σ r θ ∂ θ + 1 r sin θ ∂ σ r ϕ ∂ ϕ + 1 r ( 2 σ r r − σ θ θ − σ ϕ ϕ + σ r θ cot θ ) + F r = ρ ∂ 2 u r ∂ t 2 ∂ σ r θ ∂ r + 1 r ∂ σ θ θ ∂ θ + 1 r sin θ ∂ σ θ ϕ ∂ ϕ + 1 r [ ( σ θ θ − σ ϕ ϕ ) cot θ + 3 σ r θ ] + F θ = ρ ∂ 2 u θ ∂ t 2 ∂ σ r ϕ ∂ r + 1 r ∂ σ θ ϕ ∂ θ + 1 r sin θ ∂ σ ϕ ϕ ∂ ϕ + 1 r ( 2 σ θ ϕ cot θ + 3 σ r ϕ ) + F ϕ = ρ ∂ 2 u ϕ ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
物理学 で一般的に用いられる 球座標（ r 、 θ 、 φ ） ：半径距離 r 、極角 θ （ シータ ）、方位角 φ （ ファイ ）。記号 ρ （ ロー）は r の代わりによく用いられる 。 球座標におけるひずみテンソルは ε r r = ∂ u r ∂ r ε θ θ = 1 r ( ∂ u θ ∂ θ + u r ) ε ϕ ϕ = 1 r sin θ ( ∂ u ϕ ∂ ϕ + u r sin θ + u θ cos θ ) ε r θ = 1 2 ( 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ) ε θ ϕ = 1 2 r [ 1 sin θ ∂ u θ ∂ ϕ + ( ∂ u ϕ ∂ θ − u ϕ cot θ ) ] ε r ϕ = 1 2 ( 1 r sin θ ∂ u r ∂ ϕ + ∂ u ϕ ∂ r − u ϕ r ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}
等方性 媒体では 、剛性テンソルは応力（結果として生じる内部応力）と歪み（結果として生じる変形）の関係を示します。等方性媒体の場合、剛性テンソルに優先方向はありません。つまり、力が加えられる方向に関係なく、加えられた力は（力の方向に対して）同じ変位を与えます。等方性の場合、剛性テンソルは次のように表記されます。 [ 要出典 ] ここで、 は クロネッカーのデルタ 、 K は 体積弾性率 （または非圧縮性）、は せん断弾性率 （または剛性）で、2 つの 弾性係数 です 。媒体が不均質で、媒体が区分的に一定または弱く不均質である場合は、等方性モデルが適切です。強く不均質な滑らかなモデルでは、異方性を考慮する必要があります。媒体が 均質 の場合、弾性係数は媒体内の位置に依存しません。構成方程式は次のように書けます。 C i j k l = K δ i j δ k l + μ ( δ i k δ j l + δ i l δ j k − 2 3 δ i j δ k l ) {\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} μ {\displaystyle \mu } σ i j = K δ i j ε k k + 2 μ ( ε i j − 1 3 δ i j ε k k ) . {\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}
この式は、応力を、スカラー圧力に関連する可能性のある左側のスカラー部分と、せん断力に関連する可能性のある右側のトレースレス部分に分離します。より単純な式は [3] [4] で、λは ラメの第一パラメータ です。構成方程式は単なる線形方程式の集合であるため、ひずみは応力の関数として次のように表すことができます。 [5] これも、左側にスカラー部分、右側にトレースレスせん断部分です。より単純に言えば、 は ポアソン 比 、は ヤング率 です 。 σ i j = λ δ i j ε k k + 2 μ ε i j {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}} ε i j = 1 9 K δ i j σ k k + 1 2 μ ( σ i j − 1 3 δ i j σ k k ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)} ε i j = 1 2 μ σ i j − ν E δ i j σ k k = 1 E [ ( 1 + ν ) σ i j − ν δ i j σ k k ] {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]} ν {\displaystyle \nu } E {\displaystyle E}
弾性静力学 弾性静力学は、弾性体にかかるすべての力が合計でゼロになり、変位が時間の関数にならない平衡状態における線形弾性の研究です。 平衡方程式は、工学表記法（ せん断応力 をタウとする ） では、 σ j i , j + F i = 0. {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}
∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0} ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0} ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0} このセクションでは、等方性均質のケースについてのみ説明します。
この場合、変位は境界のすべての場所で規定されます。 この方法では、ひずみと応力が定式化から除去され、変位が支配方程式で解く未知数として残ります。 最初に、ひずみ - 変位方程式を構成方程式 (フックの法則) に代入し、ひずみを未知数として除去します。 を 微分すると (および が 空間的に均一であると仮定)、次の式が得られます。 を平衡方程式に代入すると、次の式が得られます。 または (シュワルツの定理 により、2 つの (ダミー) (= 合計) インデックス k,k を j,j に置き換え、 の後のインデックス ij を ji と入れ替えると ) 、次の式が得られます。 ここで 、 とは ラメ パラメータ です 。 このようにして、残る未知数は変位だけになるため、この定式化の名前が付けられています。 このようにして得られた支配方程式は、以下に示す定常 ナビエ–コーシー方程式 の特殊ケースである 弾性静力学方程式 と呼ばれます。 σ i j = λ δ i j ε k k + 2 μ ε i j = λ δ i j u k , k + μ ( u i , j + u j , i ) . {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).} λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } σ i j , j = λ u k , k i + μ ( u i , j j + u j , i j ) . {\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).} λ u k , k i + μ ( u i , j j + u j , i j ) + F i = 0 {\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0} μ u i , j j + ( μ + λ ) u j , j i + F i = 0 {\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0} λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu }
変位場が計算されると、変位をひずみ - 変位方程式に置き換えてひずみを解き、その後構成方程式で応力を解きます。
重調和方程式 弾性静力学方程式は次のように表すことができます ( α 2 − β 2 ) u j , i j + β 2 u i , m m = − F i . {\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}
弾性静力学方程式の両辺の 発散 を取り、体積力の発散がゼロ（領域内で同次） であると仮定すると（ ）、 F i , i = 0 {\displaystyle F_{i,i}=0\,\!} ( α 2 − β 2 ) u j , i i j + β 2 u i , i m m = 0. {\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}
合計したインデックスは一致する必要はなく、偏導関数は交換可能であることに注目すると、2つの微分項は同じであることがわかり、次の式が得られます。 ここから次のことが分かります。 α 2 u j , i i j = 0 {\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0} u j , i i j = 0. {\displaystyle u_{j,iij}=0.}
弾性静力学方程式の両辺の ラプラシアン をとり、さらに と仮定すると 、 F i , k k = 0 {\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!} ( α 2 − β 2 ) u j , k k i j + β 2 u i , k k m m = 0. {\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}
発散方程式から、左辺の最初の項はゼロであり (注: 繰り返しますが、合計されたインデックスは一致する必要はありません)、次の式が得られます 。 この式から次の式が導き出されます。 または、座標フリー表記では、 これは の 重調和方程式 に相当します。 β 2 u i , k k m m = 0 {\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0} u i , k k m m = 0 {\displaystyle u_{i,kkmm}=0} ∇ 4 u = 0 {\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0} u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
この場合、表面張力は表面境界上のあらゆる場所に規定されます。このアプローチでは、ひずみと変位は除去され、応力は支配方程式で解くべき未知数として残されます。応力場が求まれば、構成方程式を用いてひずみが求められます。
応力テンソルには6つの独立成分を決定する必要がありますが、変位の定式化では、変位ベクトルの3つの成分のみを決定する必要があります。これは、自由度を3に減らすために、応力テンソルにいくつかの制約を課す必要があることを意味します。構成方程式を用いることで、これらの制約は、同じく6つの独立成分を持つひずみテンソルに成立する、対応する制約から直接導かれます。ひずみテンソルの制約は、変位ベクトル場の関数としてのひずみテンソルの定義から直接導かれるため、これらの制約によって新たな概念や情報がもたらされることはありません。最も理解しやすいのは、ひずみテンソルの制約です。弾性媒体を、ひずみのない状態の微小立方体の集合として視覚化すると、媒体にひずみを与えた後、任意のひずみテンソルは、歪んだ立方体が重なり合うことなく互いにフィットする状態を生じさせる必要があります。言い換えれば、与えられたひずみに対して、そのひずみテンソルを導出できる連続的なベクトル場（変位）が存在しなければならないということです。このことを保証するために必要なひずみテンソルの制約は、サン・ヴナンによって発見され、「 サン・ヴナン適合方程式 」と呼ばれています。これらは81の方程式から成り、そのうち6つは独立した非自明な方程式であり、異なるひずみ成分を関連付けています。これらは指数表記で次のように表されます。 工学表記では、次のように表されます。 ε i j , k m + ε k m , i j − ε i k , j m − ε j m , i k = 0. {\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.} ∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ x y ∂ x ∂ y ∂ 2 ϵ y ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ y 2 = 2 ∂ 2 ϵ y z ∂ y ∂ z ∂ 2 ϵ x ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ z x ∂ z ∂ x ∂ 2 ϵ x ∂ y ∂ z = ∂ ∂ x ( − ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ) ∂ 2 ϵ y ∂ z ∂ x = ∂ ∂ y ( ∂ ϵ y z ∂ x − ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ) ∂ 2 ϵ z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ z ( ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y − ∂ ϵ x y ∂ z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}
この式におけるひずみは、構成方程式を用いて応力で表され、応力テンソルに対する対応する拘束条件が得られる。これらの応力テンソルに対する拘束条件は、 適合性の ベルトラミ・ミッチェル 方程式として知られている。
体積力が均一である特殊な状況では、上記の式は [6]のように簡約される。 σ i j , k k + 1 1 + ν σ k k , i j + F i , j + F j , i + ν 1 − ν δ i , j F k , k = 0. {\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.} ( 1 + ν ) σ i j , k k + σ k k , i j = 0. {\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}
この状況下での適合性に必要な条件は、 またはであるが、それだけでは不十分である 。 [1] ∇ 4 σ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}} σ i j , k k ℓ ℓ = 0 {\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}
これらの拘束条件は、平衡方程式（弾性力学における運動方程式）とともに、応力 テンソル場 を計算することを可能にする。これらの方程式から応力場が計算されると、構成方程式からひずみを、ひずみ-変位方程式から変位場を得ることができる。
別の解法として、応力テンソルを応力関数 で表現する方法があります 。この応力関数は自動的に平衡方程式の解を導きます。すると、応力関数は適合方程式に対応する単一の微分方程式に従います。
弾性静的ケースのソリューション
トムソンの解 - 無限等方性媒質における点力 トムソン解あるいはケルビン解は、ナビエ・コーシー方程式あるいは弾性静力学方程式の最も重要な解であり、無限等方性媒体内の一点に作用する力の解である。この解は、 ウィリアム・トムソン（後のケルビン卿）が1848年に発見した（Thomson 1848）。この解は、 静電気学 における クーロンの法則 の類似物である 。導出は、Landau & Lifshitz に示されている。 [7] ：§8 を定義すると
、ポアソン比を とすると、解は 次 のように表される。 は、その点に作用する力のベクトルであり、 は、 直交座標 で次のように表される テンソル グリーン関数 である。 a = 1 − 2 ν {\displaystyle a=1-2\nu } b = 2 ( 1 − ν ) = a + 1 {\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1} ν {\displaystyle \nu } u i = G i k F k {\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}} F k {\displaystyle F_{k}} G i k {\displaystyle G_{ik}} G i k = 1 4 π μ r [ ( 1 − 1 2 b ) δ i k + 1 2 b x i x k r 2 ] {\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}
簡潔に次のように書くこともできます。 また、明示的に次のように書くこともできます。 G i k = 1 4 π μ [ δ i k r − 1 2 b ∂ 2 r ∂ x i ∂ x k ] {\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]} G i k = 1 4 π μ r [ 1 − 1 2 b + 1 2 b x 2 r 2 1 2 b x y r 2 1 2 b x z r 2 1 2 b y x r 2 1 − 1 2 b + 1 2 b y 2 r 2 1 2 b y z r 2 1 2 b z x r 2 1 2 b z y r 2 1 − 1 2 b + 1 2 b z 2 r 2 ] {\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}
円筒座標 ( ) では次のように表記されます。 ここで r は点までの総距離です。 ρ , ϕ , z {\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!} G i k = 1 4 π μ r [ 1 − 1 2 b z 2 r 2 0 1 2 b ρ z r 2 0 1 − 1 2 b 0 1 2 b z ρ r 2 0 1 − 1 2 b ρ 2 r 2 ] {\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}
Z軸に沿った 点力の変位を円筒座標で表すと特に便利です。 と をそれぞれ と方向の 単位ベクトルとして定義すると 、 次の式が得られます。 F z {\displaystyle F_{z}} ρ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}} z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} ρ {\displaystyle \rho } z {\displaystyle z} u = F z 4 π μ r [ 1 4 ( 1 − ν ) ρ z r 2 ρ ^ + ( 1 − 1 4 ( 1 − ν ) ρ 2 r 2 ) z ^ ] {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}
力の方向の変位成分が存在することがわかります。この成分は、静電気学における電位の場合と同様に、 r が大きい場合、1/ r として減少します。また、ρ方向の成分も存在します。
周波数領域グリーン関数 ナビエ・コーシー方程式を成分形式で書き直す [8]
( λ + μ ) ∂ i ∂ j u j + μ ∂ j ∂ j u i = − F i {\displaystyle (\lambda +\mu )\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}=-F_{i}}
これを周波数領域に変換すると、導関数は にマッピングされ 、 は波数ベクトル ∂ i {\displaystyle \partial _{i}} − 1 q i {\displaystyle {\sqrt {-1}}q_{i}} q {\displaystyle q} ( λ + μ ) q i q j u j + μ | q | 2 u i = F i {\displaystyle (\lambda +\mu )q_{i}q_{j}u_{j}+\mu |q|^{2}u_{i}=F_{i}}
空間周波数領域の力と変位のグリーン関数は上記の逆である。
G i j ( q ) = 1 μ [ δ i j | q | 2 − 1 b q i q j | q | 4 ] {\displaystyle G_{ij}(q)={\frac {1}{\mu }}{\bigg [}{\frac {\delta _{ij}}{|q|^{2}}}-{\frac {1}{b}}{\frac {q_{i}q_{j}}{|q|^{4}}}{\bigg ]}}
応力-ひずみグリーン関数 は [9] Γ {\displaystyle \Gamma } Γ k h i j = 1 4 μ | q | 2 ( δ k i q h q j + δ h i q k q j + δ k j q h q i + δ h j q k q i ) − λ + μ μ ( λ + 2 μ ) q i q j q k q h | q | 4 {\displaystyle \Gamma _{khij}={\frac {1}{4\mu |q|^{2}}}(\delta _{ki}q_{h}q_{j}+\delta _{hi}q_{k}q_{j}+\delta _{kj}q_{h}q_{i}+\delta _{hj}q_{k}q_{i})-{\frac {\lambda +\mu }{\mu (\lambda +2\mu )}}{\frac {q_{i}q_{j}q_{k}q_{h}}{|q|^{4}}}}
ここで ϵ k h = Γ k h i j σ i j {\displaystyle \epsilon _{kh}=\Gamma _{khij}\sigma _{ij}}
ブシネスク・セルッティ解 - 無限等方性半空間の原点における点力 もう一つの有用な解は、無限半空間の表面に作用する点力の解である。 [6] これは、法線力については ブシネスク [10]によって、接線力についてはセルッティによって導出されており、導出はランダウ＆リフシッツ [7]に示されている 。§8 この場合、解は再びグリーンテンソルとして表され、これは無限遠でゼロとなり、応力テンソルの表面に垂直な成分はゼロとなる。この解は、直交座標系では次のように表される（思い出してほしい： そして 、 ＝ポアソン比）。 a = ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle a=(1-2\nu )} b = 2 ( 1 − ν ) {\displaystyle b=2(1-\nu )} ν {\displaystyle \nu }
G i k = 1 4 π μ r [ b r + z r + z + ( 2 r ( ν r + z ) + z 2 ) x 2 r 2 ( r + z ) 2 ( 2 r ( ν r + z ) + z 2 ) x y r 2 ( r + z ) 2 x z r 2 − a x r + z ( 2 r ( ν r + z ) + z 2 ) y x r 2 ( r + z ) 2 b r + z r + z + ( 2 r ( ν r + z ) + z 2 ) y 2 r 2 ( r + z ) 2 y z r 2 − a y r + z z x r 2 + a x r + z z y r 2 + a y r + z b + z 2 r 2 ] {\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})x^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})xy}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{2}}}-{\frac {ax}{r+z}}\\{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})yx}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})y^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {yz}{r^{2}}}-{\frac {ay}{r+z}}\\{\frac {zx}{r^{2}}}+{\frac {ax}{r+z}}&{\frac {zy}{r^{2}}}+{\frac {ay}{r+z}}&b+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}
その他の解 無限等方性半空間内の点力。 [11] 2つの弾性体の接触：ヘルツ解（Matlabコード参照）。 [12] 接触力学 のページも参照 。
変位の観点から見た弾性力学 弾性力学は弾性波 の研究分野であり 、時間とともに変化する線形弾性を扱います。 弾性波は、弾性体または 粘弾性 体中を伝播する 力学的波 の一種です 。材料の弾性が 波の復元 力を生み出します。 地震 やその他の擾乱によって 地球上で発生する弾性波は、通常、 地震波 と呼ばれます 。
線形運動量方程式は、慣性項が追加された単純な平衡方程式です。 σ j i , j + F i = ρ u ¨ i = ρ ∂ t t u i . {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}
材料が異方性フックの法則（材料全体で剛性テンソルが均一）に従う場合、 弾性力学の変位方程式 が得られます。 ( C i j k l u ( k , l ) ) , j + F i = ρ u ¨ i . {\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}
物質が等方性かつ均質である場合、（一般または過渡的） ナビエ・コーシー方程式 が得られる。 μ u i , j j + ( μ + λ ) u j , i j + F i = ρ ∂ t t u i or μ ∇ 2 u + ( μ + λ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) + F = ρ ∂ 2 u ∂ t 2 . {\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}
弾性力学波動方程式は、 のように表すこともできます。 ここで 、 は 音響微分演算子 、 は クロネッカーのデルタ です 。 ( δ k l ∂ t t − A k l [ ∇ ] ) u l = 1 ρ F k {\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}} A k l [ ∇ ] = 1 ρ ∂ i C i k l j ∂ j {\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}} δ k l {\displaystyle \delta _{kl}}
等方性 媒体では 、剛性テンソルは次式で表される。 ここで、 は 体積弾性率 （または非圧縮性）、は せん断弾性率 （または剛性）、 は2つの 弾性係数 である 。材料が均質な場合（つまり、剛性テンソルが材料全体にわたって一定である場合）、音響演算子は次のようになる。 C i j k l = K δ i j δ k l + μ ( δ i k δ j l + δ i l δ j k − 2 3 δ i j δ k l ) {\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})} K {\displaystyle K} μ {\displaystyle \mu } A i j [ ∇ ] = α 2 ∂ i ∂ j + β 2 ( ∂ m ∂ m δ i j − ∂ i ∂ j ) {\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}
平面波 の場合 、上記の微分作用素は 音響代数作用素 となる。 ここで は の 固有値 であり、 固有ベクトル は それぞれ伝播方向 に平行および直交する。これらに関連する波は、 縦 弾性波および 横 弾性波と呼ばれる。地震学の文献では、対応する平面波はP波およびS波と呼ばれる（ 地震波 を 参照 ）。 A i j [ k ] = α 2 k i k j + β 2 ( k m k m δ i j − k i k j ) {\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})} α 2 = ( K + 4 3 μ ) / ρ β 2 = μ / ρ {\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho } A [ k ^ ] {\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]} u ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}} k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
応力の観点から見た弾性力学 支配方程式から変位とひずみを除去すると、 弾性力学のイグナチャック方程式が得られる [13]。 ( ρ − 1 σ ( i k , k ) , j ) − S i j k l σ ¨ k l + ( ρ − 1 F ( i ) , j ) = 0. {\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}
局所等方性の場合、これは次のように帰着する。 ( ρ − 1 σ ( i k , k ) , j ) − 1 2 μ ( σ ¨ i j − λ 3 λ + 2 μ σ ¨ k k δ i j ) + ( ρ − 1 F ( i ) , j ) = 0. {\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}
この定式化の主な特徴は次のとおりです。(1)コンプライアンスの勾配は回避されますが、質量密度の勾配が導入されます。(2)変分原理から導出できます。(3)牽引初期境界値問題の処理に有利です。(4)弾性波のテンソル分類が可能です。(5)弾性波伝播問題にさまざまなアプリケーションを提供します。(6)さまざまなタイプ(熱弾性、流体飽和多孔質、圧電弾性など)の相互作用場と非線形媒体を持つ古典的またはマイクロポーラ固体のダイナミクスに拡張できます。
異方性媒体の場合、剛性テンソルは より複雑になります。応力テンソルの対称性 は、応力の要素が最大6つあることを意味します。同様に、ひずみテンソルの要素も最大6つあります 。したがって、4次の剛性テンソルは 行列 （2次のテンソル）として表すことができます。 フォークト表記法 は、テンソルのインデックスの標準的なマッピングです C i j k l {\displaystyle C_{ijkl}} σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} ε i j {\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!} C i j k l {\displaystyle C_{ijkl}} C α β {\displaystyle C_{\alpha \beta }} i j = ⇓ α = 11 22 33 23 , 32 13 , 31 12 , 21 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 1 2 3 4 5 6 {\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}
この表記法を用いると、任意の線形弾性媒体の弾性行列は次のように表すことができます。 C i j k l ⇒ C α β = [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 ] . {\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}
示されているように、行列は 対称です。これは、 を満たすひずみエネルギー密度関数が存在する結果です 。したがって、 には最大21個の異なる要素があります 。 C α β {\displaystyle C_{\alpha \beta }} σ i j = ∂ W ∂ ε i j {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}} C α β {\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}
等方性の特殊なケースには 2 つの独立した要素があります。 C α β = [ K + 4 μ / 3 K − 2 μ / 3 K − 2 μ / 3 0 0 0 K − 2 μ / 3 K + 4 μ / 3 K − 2 μ / 3 0 0 0 K − 2 μ / 3 K − 2 μ / 3 K + 4 μ / 3 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ ] . {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}
最も単純な異方性の場合、立方対称には 3 つの独立した要素があります。 C α β = [ C 11 C 12 C 12 0 0 0 C 12 C 11 C 12 0 0 0 C 12 C 12 C 11 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 ] . {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}
横等方性（ 極性異方性とも呼ばれる）の場合 （対称軸が 1 つ（3 軸））、独立した要素が 5 つあります。 C α β = [ C 11 C 11 − 2 C 66 C 13 0 0 0 C 11 − 2 C 66 C 11 C 13 0 0 0 C 13 C 13 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 66 ] . {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}
横方向の等方性が弱い（つまり等方性に近い）場合、波の速度の式には、 トムセンパラメータ を利用した代替パラメータ化が便利です。
直交異方性（レンガの対称性）の場合、9 つの独立した要素があります。 C α β = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] . {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}
弾性力学 異方性媒体の弾性力学波動方程式は次のように表すことができます。 ここで は 音響微分演算子 、 は クロネッカーのデルタ です 。 ( δ k l ∂ t t − A k l [ ∇ ] ) u l = 1 ρ F k {\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}} A k l [ ∇ ] = 1 ρ ∂ i C i k l j ∂ j {\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}} δ k l {\displaystyle \delta _{kl}}
平面波とクリストッフェル方程式 平面 波は 、単位長さ
の 波動方程式 の解である。これは、波動方程式の零外力解であるためには、 音響代数演算子の固有値/固有ベクトル対と、この波動方程式の固有ベクトル対が音響代数演算子 の 固有値/固有ベクトル対となる必要がある。 この 伝播条件（ クリストッフェル方程式 とも呼ばれる）は 、伝播方向、位相速度を表す波動方程式の 解 として表される 。 u [ x , t ] = U [ k ⋅ x − ω t ] u ^ {\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}} u ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!} ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} u ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}} A k l [ k ] = 1 ρ k i C i k l j k j . {\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.} A [ k ^ ] u ^ = c 2 u ^ {\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}} k ^ = k / k ⋅ k {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}} c = ω / k ⋅ k {\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}
参照
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![{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723da856c3591d5b6d338a054450eafcda8054bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeff6e05d12be13c23e0e9934f192af0cdfd89d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon_{rr}&={\frac{\partialu_{r}}{\partialr}}\\\varepsilon_{\theta\theta}&={\frac{1}{r}}\left({\frac{\partialu_{\theta}}{\partial\theta}}+u_{r}\right)\\\varepsilon_{\phi\phi}&={\frac{1}{r\sin\theta}}\left({\frac{\partialu_{\phi}}{\partial\phi}}+u_{r}\sin\theta+u_{\theta}\cos\theta\right)\\\varepsilon_{r\theta}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa90ca80dd65296f4517746b485f85f251972d8)
![{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe88a3285b79201e7c5ce6006f71f213e5f3469)
![{\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}}{\frac {x_{i}x_{k}}}{r^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09318d1a5bbc2480ee34601e06a2b2919c15e1ee)
![{\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu}}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01709be91fa16951f8daa978ef6627be53d4c36)
![{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8431e9c95967db2d6c8f563b9c016da98fd55e0c)
![{\displaystyle G_{ij}(q)={\frac {1}{\mu }}{\bigg [}{\frac {\delta _{ij}}{|q|^{2}}}-{\frac {1}{b}}{\frac {q_{i}q_{j}}{|q|^{4}}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5a52283c0babf867f8215e9ec2d1443f105080)
![{\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2164a9d2877536a28ad8a729396ded783ba7e3)
![{\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2076a92b96baea73708b16ae9523f010d2b627a)
![{\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec4cdf746891ffeabe2766c264491c3ba7d0db2)
![{\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k}]=\alpha^{2}k_{i}k_{j}+\beta^{2}(k_{m}k_{m}\delta_{ij}-k_{i}k_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb65c8cd57f9fa2e0c81565b2d2009683f2b4a47)
![{\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293081d36ba89658f43c20a9427f9f933d848eef)
![{\displaystyle (\delta_{kl}\partial_{tt}-A_{kl}[\nabla])\,u_{l}={\frac{1}{\rho}}F_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe7fafcbea8b562114cd763d58898eb23475713)
![{\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6956e3d78df705544527732eb4688c2ba0afbb07)
![{\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho}}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97692acb27e756074f8ffd93856db2ff758817b1)
![{\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb51b8efe978661f7d4c2005e7b60cef76bebfc6)
