電弱相互作用

Unified description of electromagnetism and the weak interaction

素粒子物理学において、電弱相互作用または電弱力は、自然界における2つの基本的な相互作用、すなわち電磁力（電磁相互作用）と弱い相互作用を統一的に記述するものです。これらの2つの力は、日常の低エネルギーでは非常に異なって見えますが、理論では同じ力の2つの異なる側面としてモデル化されます。統一エネルギー（約246  GeV）を超えると、^[a]これらは1つの力に融合します。したがって、温度が十分に高ければ（約10 ¹⁵ K）、電磁力と弱い力は融合して、複合的な電弱力となります。 

クォーク時代（ビッグバン直後）には、電弱力は電磁力と弱い力に分裂しました。必要な^10⁻15  Kの温度は、クォーク時代以前から宇宙全体で広く観測されておらず、現在、熱平衡状態にある人為的な最高温度は約10⁻15 Kであると考えられています。5.5 × 10 ¹²  K （大型ハドロン衝突型加速器から）。

シェルドン・グラショー^[1] 、アブドゥス・サラム^[2]、およびスティーブン・ワインバーグ^[3]は、ワインバーグ・サラム理論として知られる素粒子間の弱い相互作用と電磁相互作用の統一への貢献により、 1979年のノーベル物理学賞を受賞した。^{[4] [5]}電弱相互作用の存在は2段階で実験的に確立された。最初は1973年にガルガメル共同研究によりニュートリノ散乱で中性カレントが発見され、2番目は1983年にUA1およびUA2共同研究により、改造されたスーパープロトンシンクロトロンでの陽子-反陽子衝突でWおよびZゲージボソンが発見された。1999年、ジェラルドゥス・トホーフトとマルチヌス・フェルトマンは電弱理論がくりこみ可能であることを示したことでノーベル賞を受賞した。

歴史

1956年のウーの実験で弱い相互作用におけるパリティの破れが発見された後、弱い相互作用と電磁相互作用を関連付ける方法の探求が始まりました。博士課程の指導教官であったジュリアン・シュウィンガーの研究を発展させ、シェルドン・グラショーはまずカイラル対称性とアキラル対称性の2つの異なる対称性を導入し、それらを全体として対称性が破れないように組み合わせる実験を行いました。この実験では繰り込み可能な理論は得られず、自発的なメカニズムが知られていなかったため、ゲージ対称性は手動で破る必要がありましたが、 Zボソンという新しい粒子の存在を予言しました。しかし、これは実験的発見と一致しなかったため、ほとんど注目されませんでした。

1964年、サラムとジョン・クライブ・ワード^[6]は同じアイデアを思いついたが、質量のない光子と手動で破れた対称性を持つ3つの質量のあるゲージボソンを予測した。その後、1967年頃、自発的な対称性の破れを調査しているときに、ワインバーグは質量のない中性ゲージボソンを予測する一連の対称性を発見した。当初、彼はそのような粒子は役に立たないとして拒否したが、後に彼は自分の対称性が電弱力を生み出すことに気づき、WボソンとZボソンのおおよその質量を予測した。重要なのは、彼がこの新しい理論はくりこみ可能であると示唆したことだ。^[3] 1971年、ジェラルド・トホーフトは、自発的に破れたゲージ対称性は質量のあるゲージボソンでもくりこみ可能であることを証明した。

処方

ワインベルグの弱混合角θWと結合定数g、g′、e_の関係。Lee (1981)より引用。^[7]

既知の素粒子の弱アイソスピンT 3_と弱ハイパーチャージY W_のパターン。弱混合角に沿った電荷Qを示している。中性ヒッグス場（円で囲まれた部分）は電弱対称性を破り、他の粒子と相互作用して質量を与える。ヒッグス場の3つの成分は、質量を持つWボソンとZボソンの一部となる。

数学的には、電磁気学はSU(2) × U(1)ゲージ群を持つヤン・ミルズ場として弱い相互作用と統一され、これは系のダイナミクスを変えることなく電弱ゲージ場に適用できる形式的な操作を記述する。これらの場は、弱アイソスピン場W ₁、W ₂、W ₃、および弱ハイパーチャージ場Bである。この不変性は電弱対称性として知られている。

SU(2)とU(1)の生成元は、それぞれ弱アイソスピン（Tと表記）と弱ハイパーチャージ（Yと表記）と呼ばれます。これらは、電弱相互作用を媒介するゲージボソン、すなわち弱アイソスピンの3つのWボソン（ W ₁、W ₂、W ₃）と弱ハイパーチャージのBボソンを生み出します。これらはすべて「初期」質量ゼロです。これらは、自発的対称性の破れとそれに関連するヒッグス機構が発現する前は、まだ物理場ではありません。

標準モデルでは、観測される物理粒子であるW^±
およびZ⁰
ボソンと光子は、ヒッグス機構（ヒッグス粒子も参照）によってもたらされる電弱対称性SU(2) × U(1) _YからU(1) _emへの自発的な対称性の破れによって生成されます。^[b]ヒッグス機構は、対称性の実現を「自発的に」変更し、自由度を再配置する精巧な量子場理論の現象です。^{[8] [9] [10] [11]}

電荷は、Y _W（弱い超電荷）と、ヒッグス粒子と結合しない弱いアイソスピン（）のT ₃成分との特定の線形結合（非自明）として生じる。つまり、ヒッグス粒子と電磁場は、基本的な力のレベル（「ツリーレベル」）では互いに影響を及ぼさないが、超電荷と弱いアイソスピンの他の組み合わせはヒッグス粒子と相互作用する必要がある。これにより、ヒッグス粒子と相互作用する弱い力と、相互作用しない電磁気力との間に、見かけ上の分離が生じる。数学的には、電荷は、図に示されている 超電荷とT _{3の特定の組み合わせである。} ${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}\,Y_{\mathrm {W} }}$

U(1) _em（電磁気学のみの対称群）は、この特別な線形結合によって生成される群として定義され、U(1) _em群によって記述される対称性は、ヒッグスと直接相互作用しないため、破られていない。 ^[c]

上記の自発的対称性の破れにより、W3_ボソンとBボソンは異なる質量を持つ2つの異なる物理的ボソン、すなわちZボソンに合体する。⁰
ボソンと光子（γ）は、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma \\Z^{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{\text{W}}&\sin \theta _{\text{W}}\\-\sin \theta _{\text{W}}&\cos \theta _{\text{W}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B\\W_{3}\end{pmatrix}},}$

ここで、θ _Wは弱混合角である。粒子を表す軸は、本質的には（W ₃ , B）平面内で角度θ _Wだけ回転している。これにより、Z軸の質量とZ軸の質量との間に不一致が生じる。⁰
そしてWの質量^±
粒子（それぞれm _Zおよびm _Wと表記）

${\displaystyle m_{\text{Z}}={\frac {m_{\text{W}}}{\,\cos \theta _{\text{W}}\,}}~.}$

W 1ボソンとW _{2ボソンは}結合して、荷電質量ボソンWを生成する。^±
: ^[12]

${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\,{\bigl (}\,W_{1}\mp iW_{2}\,{\bigr )}~.}$

ラグランジアン

電弱対称性の破れ以前

電弱相互作用のラグランジアンは、電弱対称性の破れが現れる前に4つの部分に分割されます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}~.}$

この用語は、3つのW ベクトルボソンとBベクトルボソンの間の相互作用を記述する。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{g}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{g}=-{\tfrac {1}{4}}W_{a}^{\mu \nu }W_{\mu \nu }^{a}-{\tfrac {1}{4}}B^{\mu \nu }B_{\mu \nu },}$

ここで、( ) とは、弱アイソスピンゲージ場と弱ハイパーチャージゲージ場の場強度テンソルです。 ${\displaystyle W_{a}^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle a=1,2,3}$ ${\displaystyle B^{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}$は標準模型のフェルミオンの運動項である。ゲージボソンとフェルミオンの相互作用はゲージ共変微分を介して行われる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}={\overline {Q}}_{j}iD\!\!\!\!/\;Q_{j}+{\overline {u}}_{j}iD\!\!\!\!/\;u_{j}+{\overline {d}}_{j}iD\!\!\!\!/\;d_{j}+{\overline {L}}_{j}iD\!\!\!\!/\;L_{j}+{\overline {e}}_{j}iD\!\!\!\!/\;e_{j},}$

ここで、添え字jはフェルミオンの3世代にわたる和である。Q 、u、dはそれぞれ左巻き2重項、右巻き1重項アップ、右巻き1重項ダウンクォーク場である。Lとeはそれぞれ左巻き2重項と右巻き1重項電子場である。ファインマンスラッシュは、 4次元勾配をディラック行列で縮約したものを意味し、次のように定義される。 ${\displaystyle D\!\!\!\!/}$

${\displaystyle D\!\!\!\!/\equiv \gamma ^{\mu }\ D_{\mu },}$

そして共変微分（強い相互作用に対するグルーオンゲージ場を除く）は次のように定義される。

${\displaystyle \ D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }-i\ {\frac {g'}{2}}\ Y\ B_{\mu }-i\ {\frac {g}{2}}\ T_{j}\ W_{\mu }^{j}.}$

ここでは弱いハイパーチャージであり、 は弱いアイソスピンの成分です。 ${\displaystyle \ Y\ }$ ${\displaystyle \ T_{j}\ }$

この用語はヒッグス場とそれ自身およびゲージボソンとの相互作用を記述する。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}=|D_{\mu }h|^{2}-\lambda \left(|h|^{2}-{\frac {v^{2}}{2}}\right)^{2}\ ,}$

ここで、真空期待値です。 ${\displaystyle v}$

この用語は湯川とフェルミオンとの 相互作用を表す。 ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{y}\ }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{y}=-y_{u}^{ij}\epsilon ^{ab}\ h_{b}^{\dagger }\ {\overline {Q}}_{ia}u_{j}^{c}-y_{d}^{ij}\ h\ {\overline {Q}}_{i}d_{j}^{c}-y_{e}^{ij}\ h\ {\overline {L}}_{i}e_{j}^{c}+\mathrm {h.c.} ~,}$

そして、ヒッグス場が非ゼロの真空期待値を獲得したときに現れる質量を生成します。これについては次項で説明します。の項は湯川結合の行列です。 ${\displaystyle \ y_{k}^{ij}\ ,}$ ${\displaystyle \ k\in \{\mathrm {u,d,e} \}\ ,}$

電弱対称性の破れ後

ヒッグス場が前節のポテンシャルによって決まる非零の真空期待値を獲得するにつれて、ラグランジアンは再構成される。この書き換えの結果、対称性の破れが顕在化する。宇宙の歴史において、これはホットビッグバンの直後、宇宙が温度100℃であった時に起こったと考えられている。159.5 ± 1.5  GeV ^[13] （素粒子物理学の標準モデルを仮定）。

このラグランジアンはその複雑さゆえに、次のようにいくつかの部分に分割して記述するのが最適です。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {K} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {N} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {C} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {H} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {HV} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {WWV} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {WWVV} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Y} }~.}$

運動項にはラグランジアンのすべての二次項が含まれており、これには動的項（偏微分）と質量項（対称性が破れる前のラグランジアンには明らかに存在しない）が含まれる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {K} }=\sum _{f}{\overline {f}}(i\partial \!\!\!/\!\;-m_{f})\ f-{\frac {1}{4}}\ A_{\mu \nu }\ A^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\ W_{\mu \nu }^{+}\ W^{-\mu \nu }+m_{W}^{2}\ W_{\mu }^{+}\ W^{-\mu }\\\qquad -{\frac {1}{4}}\ Z_{\mu \nu }Z^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\ m_{Z}^{2}\ Z_{\mu }\ Z^{\mu }+{\frac {1}{2}}\ (\partial ^{\mu }\ H)(\partial _{\mu }\ H)-{\frac {1}{2}}\ m_{H}^{2}\ H^{2}~,\end{aligned}}}$

ここで、和は理論上のすべてのフェルミオン（クォークとレプトン）にわたっており、場とは次の式で与えられる。 ${\displaystyle \ A_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle \ Z_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle \ W_{\mu \nu }^{-}\ ,}$ ${\displaystyle \ W_{\mu \nu }^{+}\equiv (W_{\mu \nu }^{-})^{\dagger }\ }$

${\displaystyle X_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }X_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }X_{\mu }^{a}+gf^{abc}X_{\mu }^{b}X_{\nu }^{c}~,}$

を関連する場（）に置き換え、 f abc ^を適切なゲージ群の構造定数に置き換える。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle W^{\pm }}$

ラグランジアンの中性カレントと荷電カレント成分はフェルミオンとゲージボソン間の相互作用を含み、 ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {N} }\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {C} }\ }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {N} }=e\ J_{\mu }^{\mathrm {em} }\ A^{\mu }+{\frac {g}{\ \cos \theta _{W}\ }}\ (\ J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{W}\ J_{\mu }^{\mathrm {em} }\ )\ Z^{\mu }~,}$

ここで電磁流は ${\displaystyle ~e=g\ \sin \theta _{\mathrm {W} }=g'\ \cos \theta _{\mathrm {W} }~.}$ ${\displaystyle \;J_{\mu }^{\mathrm {em} }\;}$

${\displaystyle J_{\mu }^{\mathrm {em} }=\sum _{f}\ q_{f}\ {\overline {f}}\ \gamma _{\mu }\ f~,}$

フェルミオンの電荷はどこにあるか。中性弱電流は ${\displaystyle \ q_{f}\ }$ ${\displaystyle \ J_{\mu }^{3}\ }$

${\displaystyle J_{\mu }^{3}=\sum _{f}\ T_{f}^{3}\ {\overline {f}}\ \gamma _{\mu }\ {\frac {\ 1-\gamma ^{5}\ }{2}}\ f~,}$

フェルミオンの弱アイソスピンはどこにありますか。 ^[d] ${\displaystyle T_{f}^{3}}$

ラグランジアンの荷電電流部分は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {C} }=-{\frac {g}{\ {\sqrt {2\;}}\ }}\ \left[\ {\overline {u}}_{i}\ \gamma ^{\mu }\ {\frac {\ 1-\gamma ^{5}\ }{2}}\;M_{ij}^{\mathrm {CKM} }\ d_{j}+{\overline {\nu }}_{i}\ \gamma ^{\mu }\;{\frac {\ 1-\gamma ^{5}\ }{2}}\;e_{i}\ \right]\ W_{\mu }^{+}+\mathrm {h.c.} ~,}$

ここで、右手一重項ニュートリノ場であり、CKM行列はクォークの質量と弱い固有状態間の混合を決定する。^[d] ${\displaystyle \ \nu \ }$ ${\displaystyle M_{ij}^{\mathrm {CKM} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {H} }}$ヒッグスの3点および4点の自己相互作用項を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {H} }=-{\frac {\ g\ m_{\mathrm {H} }^{2}\,}{\ 4\ m_{\mathrm {W} }\ }}\;H^{3}-{\frac {\ g^{2}\ m_{\mathrm {H} }^{2}\ }{32\ m_{\mathrm {W} }^{2}}}\;H^{4}~.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {HV} }}$ヒッグス粒子とゲージベクトル粒子との相互作用を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {HV} }=\left(\ g\ m_{\mathrm {HV} }+{\frac {\ g^{2}\ }{4}}\;H^{2}\ \right)\left(\ W_{\mu }^{+}\ W^{-\mu }+{\frac {1}{\ 2\ \cos ^{2}\ \theta _{\mathrm {W} }\ }}\;Z_{\mu }\ Z^{\mu }\ \right)~.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WWV} }}$ゲージの3点自己相互作用を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WWV} }=-i\ g\ \left[\;\left(\ W_{\mu \nu }^{+}\ W^{-\mu }-W^{+\mu }\ W_{\mu \nu }^{-}\ \right)\left(\ A^{\nu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z^{\nu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)+W_{\nu }^{-}\ W_{\mu }^{+}\ \left(\ A^{\mu \nu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z^{\mu \nu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)\;\right]~.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WWVV} }}$ゲージ4点自己相互作用を含み、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {WWVV} }=-{\frac {\ g^{2}\ }{4}}\ {\Biggl \{}\ &{\Bigl [}\ 2\ W_{\mu }^{+}\ W^{-\mu }+(\ A_{\mu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z_{\mu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ )^{2}\ {\Bigr ]}^{2}\\&-{\Bigl [}\ W_{\mu }^{+}\ W_{\nu }^{-}+W_{\nu }^{+}\ W_{\mu }^{-}+\left(\ A_{\mu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z_{\mu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)\left(\ A_{\nu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z_{\nu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)\ {\Bigr ]}^{2}\,{\Biggr \}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Y} }\ }$フェルミオンとヒッグス場の間の湯川相互作用を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Y} }=-\sum _{f}\ {\frac {\ g\ m_{f}\ }{2\ m_{\mathrm {W} }}}\;{\overline {f}}\ f\ H~.}$

参照

• 電弱星
• 基本的な力
• 量子場理論の歴史
• 標準モデルの数学的定式化
• ユニタリーゲージ
• ワインベルグ角
• ヤン＝ミルズ理論

注記

1. 246 GeVという特定の数値は、ヒッグス場の真空期待値 であると考えられる（ここで、はフェルミ結合定数である）。 ${\displaystyle v=(G_{\text{F}}{\sqrt {2}})^{-1/2}}$ ${\displaystyle G_{\text{F}}}$
2. U(1) _YとU(1) _{emは一般的な}U(1)の異なるインスタンスであることに注意してください。2つの力のそれぞれは、ユニタリグループの独自の独立したコピーを取得します。
3. 電磁気学（例えば光子）はヒッグス粒子と直接相互作用しませんが、量子ゆらぎを通じて間接的に相互作用します。
4. 弱結合公式における因子に注意してください。これらの因子は、スピノル場の左カイラル成分を消去するために意図的に挿入されています。これが、電弱理論が「カイラル理論」と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\ (1-\gamma ^{5})~}$

参考文献

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2. Salam, A. ; Ward, JC (1959). 「弱い相互作用と電磁相互作用」. Nuovo Cimento . 11 (4): 568– 577. Bibcode :1959NCim...11..568S. doi :10.1007/BF02726525. S2CID  15889731.
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5. 「1979年のノーベル物理学賞」ノーベル財団. 2008年12月16日閲覧。
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12. DJグリフィス（1987年）『素粒子入門』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-60386-4。
13. D'Onofrio, Michela; Rummukainen, Kari (2016). 「格子上の標準模型クロスオーバー」. Phys. Rev. D . 93 (2) 025003. arXiv : 1508.07161 . Bibcode :2016PhRvD..93b5003D. doi :10.1103/PhysRevD.93.025003. hdl : 10138/159845 . S2CID  119261776.

さらに読む

一般読者

• BAシュム（2004年）『深淵なるもの：素粒子物理学の息を呑むような美しさ』ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-7971-X。標準模型の多くを、正式な数学的説明を一切せずに伝えています。弱い相互作用について非常に詳細に解説されています。

テキスト

• DJグリフィス（1987年）『素粒子入門』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ISBN 0-471-60386-4。
• W. Greiner; B. Müller (2000).弱い相互作用のゲージ理論. Springer. ISBN 3-540-67672-4。
• EA Paschos (2023). 電弱理論.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-009-40237-8。

記事

• ES Abers; BW Lee (1973). 「ゲージ理論」. Physics Reports . 9 (1): 1– 141. Bibcode :1973PhR.....9....1A. doi :10.1016/0370-1573(73)90027-6.
• Y. Hayato; et al. (1999). 「大型水チェレンコフ検出器におけるp → νK ^{+による陽子崩壊の探索」.} Physical Review Letters . 83 (8): 1529– 1533. arXiv : hep-ex/9904020 . Bibcode :1999PhRvL..83.1529H. doi :10.1103/PhysRevLett.83.1529. S2CID  118326409.
• J. Hucks (1991). 「標準模型の大域構造、異常性、そして電荷量子化」. Physical Review D. 43 ( 8): 2709– 2717. Bibcode :1991PhRvD..43.2709H. doi :10.1103/PhysRevD.43.2709. PMID  :10013661.
• SF ノヴァエス (2000)。 「標準モデル: 入門」。arXiv : hep-ph/0001283。
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